장대경 선생님 특강 · 미분가능성 — "이어져만 있으면 안 된다, 매끄러워야 한다"

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오늘은 미분가능성

"이 부분은 엄청나게 중요하다 … 어마어마하게 중요하니까 문제를 풀어 보도록 해라."
— 선생님이 강의 끝에 이렇게 못 박으셨다.

미분이 되는 자리 와 안 되는 자리 를 가르는 법 · 그것 하나만 오늘 확실히 잡는다

먼저 · 미분계수는 「극한」이다

f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a)) ∕ h

이 한 줄이 오늘의 전부다.
그런데 여기서 "h가 0으로 간다" 는 말을 다시 잘 봐야 한다.

미분계수는 값을 대입한 것이 아니라 극한 이다 → 그러니 극한의 규칙 을 그대로 따른다

그래서 · 길이 두 갈래로 갈린다

좌미분계수 와 우미분계수 가 같아야 미분이 된다

좌미분계수 · 왼쪽에서 다가간다

lim_h→0− (f(a+h) − f(a)) ∕ h
h가 음수 인 채로 0에 다가간다

우미분계수 · 오른쪽에서 다가간다

lim_h→0+ (f(a+h) − f(a)) ∕ h
h가 양수 인 채로 0에 다가간다

둘 다 있고 값까지 같을 때 만 f′(a) 가 있다 · 하나라도 없거나 둘이 다르면 미분 불가능

왜 그런가 · 극한에서 배운 그대로다

극한 — 좌극한 = 우극한 이어야 극한값이 있다
미분 — 좌미분계수 = 우미분계수 여야 미분계수가 있다
→ 이름만 바뀐 것이다. 미분계수 자체가 극한이니 당연한 일이다.

문제 · "미분가능성과 연속성을 조사하시오"

f(x) = x² − 3x + 2 (x ≥ 0)
f(x) = x² + 3x + 2 (x < 0)
→ 한 줄로 쓰면 f(x) = x² − 3|x| + 2

갈리는 자리는 x = 0

두 조각이 맞붙는 곳이 딱 한 군데다.
나머지 자리는 그냥 이차함수이니 연속·미분 둘 다 당연하다.

조사할 것은 단 한 점, x = 0 뿐이다. — 여기서 위가 같은지, 그리고 밑이 같은지 본다.

첫째 · 연속부터 조사한다 (위가 같나)

x 대신에 0 을 넣어 본다

보는 것	계산	값
우극한 (x → 0+)	0² − 3·0 + 2	2
좌극한 (x → 0−)	0² + 3·0 + 2	2
함숫값 f(0)	x ≥ 0 쪽 식에 0 대입	2

좌극한 = 우극한 = f(0) = 2 → x = 0 에서 연속이다 ✓

둘째 · 미분을 조사한다 (밑이 같나)

각각 미분한 뒤 다시 0 을 넣는다

조각	원래 식	미분하면	x = 0 을 넣으면
x > 0 (오른쪽)	x² − 3x + 2	2x − 3	우미분계수 = −3
x < 0 (왼쪽)	x² + 3x + 2	2x + 3	좌미분계수 = 3

"같나 안 같나? 안 같지. 틀렸어." → 3 ≠ −3 → x = 0 에서 미분가능하지 않다

그림으로 · 여기가 뾰족하게 꺾였다

포물선 두 조각을 붙여 놓은 모양이다.
오른쪽 조각은 x = 3/2, 왼쪽 조각은 x = −3/2 에서 가장 낮다 (둘 다 −1/4).
두 조각이 만나는 (0, 2) 가 뾰족하게 꺾인 자리다.
→ 왼쪽에서 올라온 기울기 3, 오른쪽으로 나가는 기울기 −3.
접선을 하나로 그릴 수가 없다 — 그것이 미분이 안 된다는 뜻이다.

차례 · 이 세 줄이면 이런 문제는 끝난다

① 두 줄로 갈라 쓴다

절댓값이나 구간이 보이면
부호로 갈라 두 조각으로 쓴다

② 위가 같나 — 연속

갈리는 값을 넣어
양쪽 함숫값이 같은지 본다

③ 밑이 같나 — 미분

각각 미분한 뒤 그 값을 넣어
양쪽 기울기가 같은지 본다

"영을 잡으니까 (위가) 같나 안 같나, 밑에도 같나 … 그래서 연속도 되고 미분도 된다" · 오늘 문제는 밑에서 걸렸다

⭐ 여기가 고비 · 미분가능하면 반드시 연속이다

f(a + h) − f(a) = ((f(a + h) − f(a)) ∕ h) × h — h로 나누고 다시 h를 곱했을 뿐
→ h → 0 이면 앞은 f′(a) 로, 뒤 h는 0 으로
→ f′(a) × 0 = 0 곧 lim_h→0 f(a + h) = f(a)
그것이 바로 「x = a 에서 연속」이라는 뜻이다

앞이 유한한 값(미분계수)으로 가 주기 때문에 뒤의 0 이 곱을 통째로 0으로 끌어내린다.
미분가능이라는 조건이 연속을 저절로 데려오는 것이다.

그런데 · 거꾸로는 성립하지 않는다

연속이라고 해서 미분이 되는 것은 아니다

연속 — 이어져만 있으면 된다

끊기지 않고 붙어 있기만 하면 연속이다.
꺾여 있어도 상관없다.

미분가능 — 매끄럽기까지 해야 한다

이어진 데다가 기울기가 하나로 정해져야 한다.
미분가능이 더 센 조건이다.

오늘 푼 f(x) = x² − 3|x| + 2 가 바로 그 증거다 → x = 0 에서 연속 이지만 미분은 안 된다

대우로 뒤집으면 · 연속이 아니면 미분도 안 된다

미분가능 ⇒ 연속 의 대우는 연속 아님 ⇒ 미분 안 됨

"불연속은 연결이 안 되는 거예요." · "미분 가능하지 않다 — 연결이 안 되면 안 돼."
— 선생님이 이 자리에서 하신 말씀 그대로

그래서 조사할 때는 언제나 연속을 먼저 본다 → 연속에서 걸리면 거기서 끝, 미분은 볼 것도 없다

정리 · 미분이 안 되는 자리는 딱 두 가지

시험에서 "미분가능하지 않은 점의 개수" 를 세라고 하면 → 끊긴 자리 + 꺾인 자리 만 세면 된다

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이어져만 있으면 안 된다, 매끄러워야 한다

① 미분계수는 극한이다 — 좌미분계수 = 우미분계수 여야 미분이 된다
② 절댓값·구간이 보이면 두 줄로 갈라 쓰고, 위가 같나 · 밑이 같나 차례로 본다
③ 미분가능 ⇒ 연속. 그러나 연속 ⇒ 미분가능은 거짓이다
④ 미분이 안 되는 자리는 끊긴 자리와 꺾인 자리, 딱 두 가지
⑤ "어마어마하게 중요하니까 문제를 풀어 보도록 해라" — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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