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무리식과 무리함수
루트가 뭔데?
루트가 뭔데?
선생님이 첫마디로 이렇게 물으셨어 — "루트가 뭔데."
"숫자로 표현할 수 없으니까 루트로 표현했다", 이 뜻이야.
오늘 잡을 것은 딱 둘 — 무리식은 유리화, 무리함수는 그림 네 모양.
"숫자로 표현할 수 없으니까 루트로 표현했다", 이 뜻이야.
오늘 잡을 것은 딱 둘 — 무리식은 유리화, 무리함수는 그림 네 모양.
🔑 무기① · 분모에 뿌리가 둘이면 가운데 부호만 바꿔 곱한다
분모 → (A + B)(A − B) = A² − B² — 뿌리가 사라진다
분자 → (A − B)² = A² − 2AB + B²
분자 → (A − B)² = A² − 2AB + B²
계산을 하는 게 아니야. 뿌리를 없애는 거야.
예제① · (√(2x+1) − √(2x−1)) / (√(2x+1) + √(2x−1)) 를 간단히
위·아래에 √(2x+1) − √(2x−1) 을 똑같이 곱한다
분모 → (2x + 1) − (2x − 1) = 2
분자 → (2x+1) + (2x−1) − 2√((2x+1)(2x−1)) = 4x − 2√(4x² − 1)
2 로 약분 → 2x − √(4x² − 1)
여기에 x = √2 / 2 를 넣는다 → 4x² = 2, 4x² − 1 = 1, 2x = √2 → √2 − 1
분모 → (2x + 1) − (2x − 1) = 2
분자 → (2x+1) + (2x−1) − 2√((2x+1)(2x−1)) = 4x − 2√(4x² − 1)
2 로 약분 → 2x − √(4x² − 1)
여기에 x = √2 / 2 를 넣는다 → 4x² = 2, 4x² − 1 = 1, 2x = √2 → √2 − 1
검산 — 원래 식에 바로 넣어도 0.41421356… ✓ 유리화한 식과 같아.
🔑 무기② · 유리화해 놓고 죽 더하면 가운데가 지워진다
① 첫 항 하나만 유리화해 본다
② 그러면 규칙이 보인다
③ 다음 것도, 그다음 것도 똑같다
④ 죽 더하면 가운데가 지워진다
② 그러면 규칙이 보인다
③ 다음 것도, 그다음 것도 똑같다
④ 죽 더하면 가운데가 지워진다
선생님 말씀으로는 "소나기 대가리 꼬랑지" — 곧 머리와 꼬리만 남는다는 뜻이야.
예제② · 1/(√x+√(x+2)) + 1/(√(x+2)+√(x+4)) + 1/(√(x+4)+√(x+6))
첫 항에 √x − √(x+2) 를 곱한다 →
분모 = x − (x + 2) = −2
첫 항 → −½ (√x − √(x+2)) 규칙이 나왔다
둘째 항 → −½ (√(x+2) − √(x+4))
셋째 항 → −½ (√(x+4) − √(x+6))
셋을 더하면 가운데가 지워지고 → √(x+6) − √x2
첫 항 → −½ (√x − √(x+2)) 규칙이 나왔다
둘째 항 → −½ (√(x+2) − √(x+4))
셋째 항 → −½ (√(x+4) − √(x+6))
셋을 더하면 가운데가 지워지고 → √(x+6) − √x2
남는 것은 맨 앞과 맨 뒤뿐 — 머리와 꼬리.
🔑 무기③ · 뿌리의 차·합은 제곱을 만들어 구한다
(√x − √y)² = x + y − 2√(xy)
→ 두 수의 합과 두 수의 곱만 알면 값이 나온다
→ 두 수의 합과 두 수의 곱만 알면 값이 나온다
곧바로 구하려 하면 손이 안 나가. 먼저 제곱부터 만들어.
⛔ 다만 마지막에 뿌리를 도로 씌울 때 어느 쪽이 큰지를 반드시 살펴야 해.
⛔ 다만 마지막에 뿌리를 도로 씌울 때 어느 쪽이 큰지를 반드시 살펴야 해.
예제③ · x + y = 6, xy = 4, x > y 일 때 √x − √y
(√x − √y)² = (x + y) − 2√(xy)
x + y = 6, xy = 4 이고 √4 = 2 → 6 − 2 · 2 = 2
제곱해서 2 → 원래 모양은 ±√2 · x > y 이므로 → √2
x + y = 6, xy = 4 이고 √4 = 2 → 6 − 2 · 2 = 2
제곱해서 2 → 원래 모양은 ±√2 · x > y 이므로 → √2
검산 — x, y 는 3 ± √5 · √(3+√5) − √(3−√5) = 1.41421356… ✓
예제④ · (√x+1)/(√x−1) + (√x−1)/(√x+1), x = 1/(√2−1)
AB +
BA 꼴이니 통분 →
A² + B²AB
AB = (√x+1)(√x−1) = x − 1
A² = x + 2√x + 1, B² = x − 2√x + 1 → 더하면 뿌리가 날아가 2x + 2
그러니 식은 2x + 2x − 1 · x 를 유리화하면 x = √2 + 1
분자 2√2 + 4, 분모 √2 → 2 + 2√2
AB = (√x+1)(√x−1) = x − 1
A² = x + 2√x + 1, B² = x − 2√x + 1 → 더하면 뿌리가 날아가 2x + 2
그러니 식은 2x + 2x − 1 · x 를 유리화하면 x = √2 + 1
분자 2√2 + 4, 분모 √2 → 2 + 2√2
조건의 x 부터 유리화해 놓는 것이 먼저야.
🔑 무기④ · 무리함수 그림은 부호 둘로 정해지는 네 모양뿐
볼 것은 부호 두 개뿐
① 근호 앞이 + 면 위, − 면 아래
② 근호 안 x 의 계수가 + 면 오른쪽, − 면 왼쪽
③ 모양을 정했으면 출발점만 찾으면 끝
① 근호 앞이 + 면 위, − 면 아래
② 근호 안 x 의 계수가 + 면 오른쪽, − 면 왼쪽
③ 모양을 정했으면 출발점만 찾으면 끝
선생님 말씀 — "유리함수는 오른팔 왼팔 흔들면 되는 거고, 무리함수는 요래 요래."
예제⑤ · y = −√(2x+4) + 1, 0 ≤ x ≤ 6 의 최대·최소
근호 앞 −, 안의 x 계수 + →
4번 그림 (오른쪽 아래로 내려간다)
근호 안을 묶으면 2(x + 2) → 출발점 (−2, 1)
내려가는 그림이니 왼쪽 끝이 가장 크고 오른쪽 끝이 가장 작다
x = 0 → √4 = 2 → −2 + 1 = −1 (최댓값)
x = 6 → √16 = 4 → −4 + 1 = −3 (최솟값)
근호 안을 묶으면 2(x + 2) → 출발점 (−2, 1)
내려가는 그림이니 왼쪽 끝이 가장 크고 오른쪽 끝이 가장 작다
x = 0 → √4 = 2 → −2 + 1 = −1 (최댓값)
x = 6 → √16 = 4 → −4 + 1 = −3 (최솟값)
그림을 먼저 정하면 양 끝점 두 개만 넣어 보면 돼.
🔑 무기⑤ · 이동·대칭은 출발점 하나만 쫓는다
평행이동 → x 방향 p, y 방향 q 만큼 출발점이 그만큼 옮겨 간다
y축 대칭 → x 의 부호를 바꾼다 (= y축으로 접는다)
x축 대칭 → y 의 부호를 바꾼다
원점 대칭 → x 와 y 부호를 둘 다 바꾼다
y축 대칭 → x 의 부호를 바꾼다 (= y축으로 접는다)
x축 대칭 → y 의 부호를 바꾼다
원점 대칭 → x 와 y 부호를 둘 다 바꾼다
그림 모양은 이미 네 가지 가운데 하나로 정해져 있어.
선생님이 몇 번이나 말씀하셨어 — "출발점을 찾아라, 출발점."
선생님이 몇 번이나 말씀하셨어 — "출발점을 찾아라, 출발점."
예제⑥ · y = √(x+2) 를 (1, 3) 만큼 옮긴 뒤 y축 대칭
앞도 +, 안의 계수도 + → 1번 그림 · 출발점 (−2, 0)
평행이동 — x 자리에 x − 1, 뒤에 +3 → y = √(x+1) + 3 · 출발점 (−1, 3)
y축 대칭 — x 자리에 −x → y = √(−x+1) + 3 · 출발점 (1, 3)
근호 안 계수가 − 로 바뀌었으니 이제는 2번, 왼쪽 위 그림
평행이동 — x 자리에 x − 1, 뒤에 +3 → y = √(x+1) + 3 · 출발점 (−1, 3)
y축 대칭 — x 자리에 −x → y = √(−x+1) + 3 · 출발점 (1, 3)
근호 안 계수가 − 로 바뀌었으니 이제는 2번, 왼쪽 위 그림
"y축으로 접어버리라는 뜻이라" — 점 하나가 어디로 가는지만 보면 돼.
예제⑦ · y = √(ax) 를 (−1, −3) 옮기고 원점 대칭 → (2, 2) 를 지난다
평행이동 → y = √(a(x + 1)) − 3
← 괄호 안의 +1 을 빼먹으면 안 된다
원점 대칭 — x 와 y 부호를 둘 다 바꾼다 → y = 3 − √(−a(x − 1))
(2, 2) 대입 → 3 − √(−a) = 2 → √(−a) = 1 → a = −1
원점 대칭 — x 와 y 부호를 둘 다 바꾼다 → y = 3 − √(−a(x − 1))
(2, 2) 대입 → 3 − √(−a) = 2 → √(−a) = 1 → a = −1
선생님도 여기서 답이 안 맞아 되짚으셨어 — "+1 을 빼먹어버렸네."
평행이동한 식을 괄호까지 그대로 써 놓고 나서 대칭을 걸어야 해.
평행이동한 식을 괄호까지 그대로 써 놓고 나서 대칭을 걸어야 해.
예제⑧ · 그래프를 보고 y = −√(ax+b) + c 의 a, b, c 찾기
아래로 내려가는 그림 → 근호 앞은 −
출발점이 (−2, −1) → y = −√(a(x + 2)) − 1
이 그래프가 (0, −3) 을 지난다 → −√(2a) − 1 = −3 → √(2a) = 2 → 2a = 4 → a = 2
풀어 쓰면 y = −√(2x + 4) − 1 → a = 2, b = 4, c = −1
출발점이 (−2, −1) → y = −√(a(x + 2)) − 1
이 그래프가 (0, −3) 을 지난다 → −√(2a) − 1 = −3 → √(2a) = 2 → 2a = 4 → a = 2
풀어 쓰면 y = −√(2x + 4) − 1 → a = 2, b = 4, c = −1
선생님 말씀 — "지나가는 그 점을 대입을 시켜야 문제를 풀 수가 있다."
🔑 무기⑥ · 직선과의 교점은 제곱 → 판별식 → 되넣어 검산
① 두 식을 같게 놓고 양변을 제곱해 이차방정식으로 정리한다
② 판별식을 본다 — 0 이면 접하는 자리
③ 제곱하면 없던 해가 생긴다 → 나온 해를 원래 식에 도로 넣어 확인
④ 그림에서 끝점을 지나는 자리도 반드시 함께 본다
② 판별식을 본다 — 0 이면 접하는 자리
③ 제곱하면 없던 해가 생긴다 → 나온 해를 원래 식에 도로 넣어 확인
④ 그림에서 끝점을 지나는 자리도 반드시 함께 본다
선생님도 그림을 잘못 그렸다가 다시 그리시면서 말씀하셨어 —
"그래프가 어떤 모양으로 되느냐가 굉장히 중요하다."
"그래프가 어떤 모양으로 되느냐가 굉장히 중요하다."
예제⑨ · y = √(4−2x) 와 y = −x + k 가 두 점에서 만날 k 의 범위
곡선 — 앞 +, 안의 계수 − → 2번 그림 · 출발점 (2, 0)
직선이 그 출발점을 지날 때 → 0 = −2 + k → k = 2
같게 놓고 제곱 → x² − 2(k − 1)x + (k² − 4) = 0
D4 = 5 − 2k = 0 → k = 5/2 (접하는 자리)
k = 2 일 때 교점은 (0, 2)·(2, 0) — 둘 다 원식을 만족하는 진짜 해 ✓
→ 2 ≤ k < 5/2
직선이 그 출발점을 지날 때 → 0 = −2 + k → k = 2
같게 놓고 제곱 → x² − 2(k − 1)x + (k² − 4) = 0
D4 = 5 − 2k = 0 → k = 5/2 (접하는 자리)
k = 2 일 때 교점은 (0, 2)·(2, 0) — 둘 다 원식을 만족하는 진짜 해 ✓
→ 2 ≤ k < 5/2
예제⑩ · y = √(2x−3) 와 y = kx + 1 — 무연근을 버려라
같게 놓고 제곱 →
k²x² + 2(k − 1)x + 4 = 0
D4 를 인수분해 → −(k + 1)(3k − 1) → k = −1 또는 k = 1/3
k = −1 확인 → x = 2 인데 왼쪽 √(2·2−3) = 1, 오른쪽 −2 + 1 = −1 → 서로 다르다 · 무연근이니 버린다
k = 1/3 확인 → x = 6 이고 왼쪽 √9 = 3, 오른쪽도 3 → 진짜 접점
곡선의 출발점 (3/2, 0) 을 지나는 직선의 기울기 → −2/3 — 이 두 값이 범위를 가른다
D4 를 인수분해 → −(k + 1)(3k − 1) → k = −1 또는 k = 1/3
k = −1 확인 → x = 2 인데 왼쪽 √(2·2−3) = 1, 오른쪽 −2 + 1 = −1 → 서로 다르다 · 무연근이니 버린다
k = 1/3 확인 → x = 6 이고 왼쪽 √9 = 3, 오른쪽도 3 → 진짜 접점
곡선의 출발점 (3/2, 0) 을 지나는 직선의 기울기 → −2/3 — 이 두 값이 범위를 가른다
🌱√
"출발점을 찾아라"
무리식과 무리함수
무리식과 무리함수
① 분모에 뿌리가 둘이면 가운데 부호만 바꿔 곱한다 · ② 유리화해 더하면 머리와 꼬리만
③ 뿌리의 차·합은 제곱을 만들어 · ④ 그림은 부호 둘로 정해지는 네 모양
⑤ 이동·대칭은 출발점 하나만 · ⑥ 교점은 제곱·판별식 뒤 되넣어 검산
그리고 근호 안은 언제나 0 이상.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
③ 뿌리의 차·합은 제곱을 만들어 · ④ 그림은 부호 둘로 정해지는 네 모양
⑤ 이동·대칭은 출발점 하나만 · ⑥ 교점은 제곱·판별식 뒤 되넣어 검산
그리고 근호 안은 언제나 0 이상.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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