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"수학은 국어다" 13편
명제가 참인지 어떻게 확인해?
동그라미가 동그라미 안에 있는지만 보면 돼.
동그라미가 동그라미 안에 있는지만 보면 돼.
🔑 핵심
포함관계 = 명제 증명
진리집합 P⊂Q 이면 명제 p→q는 항상 참이야. 집합만 보면 다 알아.
🐣 먼저 쉽게 — 동그라미 안에 동그라미
"강아지 동그라미"가 "동물 동그라미" 안에 쏙 들어가 있으면,
"강아지이면 동물이다"는 항상 참이야.
"강아지이면 동물이다"는 항상 참이야.
무기① 포함관계 = 명제 증명
진리집합 P⊂Q이면, 명제 p→q는 항상 참.
집합 연산만으로 명제를 증명할 수 있어.
집합 연산만으로 명제를 증명할 수 있어.
예제① 진가 · P∩Q=P, Q∪R^c=U
P∩Q=P → P⊂Q (p→q 참)
Q∪R^c=U →여집합→ Q^c∩R=∅ → R⊂Q (r→q 참)
Q∪R^c=U →여집합→ Q^c∩R=∅ → R⊂Q (r→q 참)
두 식을 각각 포함관계로 바꾸면 끝. 여집합(드모르간)을 취하는 게 핵심 기술이야.
무기② 대우(對偶)로 확인
"P⊂Q"의 대우는 "Q가 아니면 P도 아니다"(Qᶜ⊂Pᶜ).
원래 명제가 헷갈리면 대우로 바꿔서 확인해도 결과가 같아.
원래 명제가 헷갈리면 대우로 바꿔서 확인해도 결과가 같아.
예제② U={1,2,3,4}, P={1,2}, Q={1,2,3}
P⊂Q 이므로 Qᶜ⊂Pᶜ 도 성립해야 한다
Qᶜ={4}, Pᶜ={3,4} → {4}⊂{3,4} 참
Qᶜ={4}, Pᶜ={3,4} → {4}⊂{3,4} 참
직접 확인하기 어려우면 여집합끼리 뒤집어서 봐도 똑같이 맞아.
무기③ 집합의 경계값 · 양 끝을 부등식으로
포함되어야 할 값이 있으면 이상(≥), 포함되면 안 되는 값이 있으면 미만(<).
그 사이가 답의 범위야.
그 사이가 답의 범위야.
예제③ Aₙ=A₂₅ · n의 최댓값 48
25 ≤ n < 49
A₂₅={1,3,5}. 5는 있어야 하니 √n≥5, 7은 없어야 하니 √n<7.
자연수 n의 최댓값은 48.
자연수 n의 최댓값은 48.
🎓 한 걸음 더 — 필요충분조건
P⊂Q 그리고 Q⊂P가 둘 다 성립하면 P=Q.
이게 바로 "필요충분조건" — 논리학·컴퓨터과학까지 이어지는 뿌리야.
이게 바로 "필요충분조건" — 논리학·컴퓨터과학까지 이어지는 뿌리야.
예제④ a≤x<5가 -3≤x<b에 포함 · 합은?
포함되려면 a는 -3 이상, b는 5 이상 조건이 필요
(b=5여도 [a,5)⊂[-3,5) 성립)
a의 최솟값 -3, b의 최솟값 5 → 합 = 2
(b=5여도 [a,5)⊂[-3,5) 성립)
a의 최솟값 -3, b의 최솟값 5 → 합 = 2
경계값도 결국 양 끝을 어느 쪽이 감싸는지 보는 문제야.
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포함관계가 곧 증명이다
명제는 포함관계로, 집합은 대입·경계·대칭으로.
외우는 게 아니라, 동그라미로 보는 것이야.
외우는 게 아니라, 동그라미로 보는 것이야.
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"수학은 국어다"
명제와 집합
명제와 집합
포함관계로 증명하는 습관, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 13편
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