장대경 선생님 특강 · 명제의 증명 — "대우로 바꾸고, 안 되면 아니라고 해 놓는다"

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오늘은 명제의 증명

곧바로 증명이 안 되면 대우로 바꾼다.
그래도 안 되면 아니라고 해 놓고 모순을 찾는다.
증명은 말이 아니라 식으로 옮기는 일이다.

무기 ① · 증명의 첫 걸음

「적어도 하나는」의 부정은
「모두 …이 아니다」

적어도 하나는 짝수	부정하면 →	둘 다 홀수
p 또는 q	부정하면 →	p 도 아니고 q 도 아니다
p 그리고 q	부정하면 →	p 가 아니거나 q 가 아니다
a > 0	부정하면 →	a ≤ 0 (등호를 빠뜨리면 안 된다)

여기서 한 글자만 어긋나면 대우가 통째로 틀린다.

개념 체크 · 대우부터 찾는다

「자연수 a, b 에 대하여 a + b 가 홀수이면
a, b 중 적어도 하나는 짝수이다」

홀수 + 짝수라야 홀수가 된다. 홀 + 홀도 짝, 짝 + 짝도 짝이니 원명제는 참이다.

무기 ② · 오늘의 열쇠

홀수는 2k − 1, 짝수는 2k 로 놓는다

홀수

2k − 1
(2로 나누면 1이 남는 수)

짝수

2k
(2가 통째로 묶여 나오는 수)

쓰는 법

계산 끝에 2로 묶이면
괄호 안이 무엇이든 짝수

말로 "홀수다"라고만 두면 증명이 한 발짝도 못 나간다.
식으로 놓는 순간 계산이 시작된다.

개념 체크 · 증명 완성

대우 「a, b 가 모두 홀수 ⇒ a + b 는 짝수」

① a = 2k − 1, b = 2l − 1 (k, l 은 자연수)

② a + b = (2k − 1) + (2l − 1) = 2k + 2l − 2

③ = 2(k + l − 1) → 앞에 2가 붙었으므로 짝수

검산 — a = 3, b = 5 이면 a + b = 8 ✓ / a = 1, b = 1 이면 2 ✓

대우가 참이니 원명제도 참이다. 이것이 대우를 이용한 증명이다.

예제 ① · 제곱해도 홀짝은 그대로

「m² + n² 이 홀수이면 m, n 중 적어도 하나는 짝수」

대우 m, n 이 모두 홀수 ⇒ m² + n² 은 짝수

① m = 2k − 1, n = 2l − 1 로 놓고 제곱하면

m² = 4k² − 4k + 1, n² = 4l² − 4l + 1

② m² + n² = 4k² − 4k + 4l² − 4l + 2

③ = 2(2k² − 2k + 2l² − 2l + 1) → 짝수

검산 — m = 3(k=2), n = 5(l=3) : 9 + 25 = 34, 2(8 − 4 + 18 − 6 + 1) = 34 ✓

홀 × 홀 = 홀 이니 제곱도 홀, 홀 + 홀 = 짝. 눈으로도 맞는다.

예제 ② · "또는"을 부정하면 "모두"

「m, n 이 서로소이면 m 또는 n 은 홀수」

대우 m, n 이 모두 짝수 ⇒ m, n 은 서로소가 아니다 (또는 → 모두)

① 모두 짝수이므로 m = 2k, n = 2l 로 나타낼 수 있다

② 이때 2 는 m 과 n 의 공약수다

③ 공약수가 1 말고 또 있으므로 → 서로소가 아니다

검산 — m = 6, n = 10 : 최대공약수가 2 라 서로소가 아니다 ✓

여기서 "또는"을 그대로 두면 대우가 만들어지지 않는다.

무기 ③ · 대우 증명 세 걸음

부정 → 대우 → 식으로 놓고 계산

① 부정

결론을 정확히 부정한다
적어도 하나 → 모두 / 또는 ↔ 그리고

② 대우

가정도 부정해 앞뒤를 바꾼다
~q → ~p

③ 계산

홀수는 2k−1, 짝수는 2k
끝에 2로 묶이면 짝수

원명제와 대우는 참·거짓이 언제나 같다.
그래서 대우를 증명하면 원명제가 증명된 것이다.

또 하나의 길 · 귀류법

아니라고 해 놓고 말이 안 되는 자리를 찾는다

선생님은 이 자리에서 "귀류법을 이용한 증명이라고 써" 하시고,
"문제를 잘 읽어 보면서 잘 이해하도록 해라" 하며 넘어가셨다. (8:13~8:27)

보기 · 이 강의에서 배운 것만으로

「√2 는 무리수이다」

① 아니라고 하자 — √2 가 유리수라면 서로소인 자연수 p, q 로 √2 = q / p

② 양변을 제곱 → 2p² = q² → q² 이 짝수 → q 도 짝수 (예제① — 홀수의 제곱은 홀수니까)

③ q = 2k 를 넣으면 2p² = 4k² → p² = 2k² → p 도 짝수

④ p, q 가 모두 짝수라면 2가 공약수 → 서로소라던 처음 가정과 모순 (예제②)

⑤ 따라서 √2 는 유리수가 아니다 → 무리수

※ 이 보기는 원본 강의에 없는, 우리가 더한 것이다. 강의에서 쓴 도구(홀·짝, 서로소)만으로 풀었다.

무기 ④ · 부등식도 명제다

부등식을 증명하는 세 가지 길

① 차를 본다 — A − B > 0 이면 A > B 다. 빼서 부호만 보면 된다.

② 제곱은 0 이상 — (□)² ≥ 0. 제곱 꼴로 정리되면 그것으로 끝이고, 괄호 안이 0이 되는 때가 등호가 성립하는 자리다.

③ 근호는 제곱해서 없앤다 — 양변을 제곱해 √ 를 지우고 견준다.

⛔ 다만 근호 안에는 음수가 들어갈 수 없다. 0은 들어갈 수 있다. → √a 를 쓰는 순간 a ≥ 0 이라는 조건이 따라붙는다.

"이 식이 성립한다"를 보이는 것 — 이것도 명제의 증명이다.

⛔ 여기서 틀린다 · 셋

부정을 흘리면 증명이 통째로 무너진다

① 적어도 하나는

"하나만"으로 읽는 것 ✗
부정은 모두 아니다

② 또는 / 그리고

그대로 두는 것 ✗
부정하면 서로 뒤바뀐다

③ 등호

a > 0 의 부정을 a < 0 으로 ✗
바르게는 a ≤ 0

그리고 하나 더 — 홀수를 "홀수"라고만 두면 안 된다.
2k − 1 로 놓아야 비로소 계산이 된다.

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"대우로 바꾸고, 안 되면 아니라고 해 놓는다"
명제의 증명

① 부정을 정확히 — 적어도 하나는 → 모두 · 또는 ↔ 그리고
② 곧바로 안 되면 대우로 바꿔서 증명한다
③ 홀수는 2k − 1, 짝수는 2k — 끝에 2로 묶이면 짝수
④ 대우로도 안 되면 아니라고 해 놓고 모순을 찾는다 (귀류법) — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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