YEON MATH · 행복수학

등차중항과 점화식 실전 완전정복
— 가운데를 보고 이웃을 읽어라 · 연습 10제

등차중항 2b = a + c · 등비중항 b² = ac · 약분 사슬 · 주기수열 · Sₙ 과 aₙ · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 중항과 점화식, 이 다섯 가지면 끝난다

1
등차중항 — 세 수 \(a,\,b,\,c\) 가 이 순서로 등차수열이면 가운데의 두 배 = 양옆의 합. \(2b = a + c\)  (까닭 : \(b-a\) 도 공차, \(c-b\) 도 공차라 둘이 같으니까.)
2
등비중항 — 세 수 \(a,\,b,\,c\) 가 이 순서로 등비수열이면 가운데의 제곱 = 양옆의 곱. \(b^2 = ac\)  (까닭 : \(b/a\) 도 공비, \(c/b\) 도 공비.) 제곱이 나오니 답이 둘일 수 있다.
3
점화식은 적어 보는 것 — \(a_{n+1}\) 과 \(a_n\) 의 관계식이 나오면 n 자리에 1, 2, 3을 차례로 넣어 앞의 몇 항을 실제로 적는다. 규칙은 거기서 눈에 보인다.
4
곱셈꼴은 사슬 · 곱이 일정하면 주기 — \(a_{n+1} = (\text{n의 식}) \times a_n\) 은 \(a_1\) 뒤에 곱하는 것을 n − 1 개 늘어놓고 약분한다. \(a_n a_{n+1} = k\) 처럼 곱이 일정하면 두 값이 번갈아 나오는 주기수열이다.
5
\(S_n\) 과 \(a_n\) 이 섞이면 한 칸 올려서 뺀다 — n 자리를 1 키운 \(S_{n+1}\) 식을 하나 더 만들어 두 식을 빼면 \(S_{n+1} - S_n = a_{n+1}\) 만 남고 상수는 사라진다. 첫째항은 \(S_1 = a_1\) 로 따로 찾는다.
가운데를 보면중항 → 등차인지 등비인지
이웃을 보면점화식 → 몇 항 적어 보기
합이 섞이면한 칸 올려서 빼기
활용이면지금 것 → 한 걸음 뒤

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
3, □, 7 의 빈칸 채우기. "양옆을 더해서 반으로 나누면 가운데" — 이것이 벌써 등차중항이에요.
📐 중1~중3 (준비)
규칙 찾기와 대응, 등차·등비의 뜻, 이차방정식(등비중항이 만드는 이차식을 푸는 데 그대로 쓰입니다).
🎓 고2 수학Ⅰ (핵심)
등차중항 \(2b = a+c\) · 등비중항 \(b^2 = ac\) · 점화식에서 일반항 찾기 · \(S_n\) 과 \(a_n\) 의 관계.

🐣 저학년 직관 — "양옆을 더해서 반으로 나누면 가운데"

공책에 3, □, 7 이라고 써 봅니다. 빈칸에 무엇이 들어가야 일정한 간격이 될까요? 3에서 5, 5에서 7 — 두 걸음이 똑같이 2씩이니 빈칸은 5입니다.

그런데 이걸 세는 대신 3 + 7 = 10, 10의 반은 5 라고 해도 똑같이 나와요. 양옆을 더해서 반으로 나누면 가운데 — 이것이 고등학교에서 배우는 등차중항 \(2b = a + c\) 와 정확히 같은 말입니다.

3 + 7 = 10 → 반으로 나누면 5 → 3, 5, 7

연습 10제 · 단계별 해설

난이도 배분 — C 2제 · B 7제 · A 1제. 열 문제 모두 파이썬으로 항을 실제로 만들어 답과 대조했고, 일반항을 구한 문제는 그 일반항을 원래 조건에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다.

문제 1C기본 · 등차중항
세 수 \(3,\; x,\; 11\) 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, \(x\) 의 값을 구하라.

풀이 — 가운데의 두 배가 양옆의 합

  1. ⭐ 여기가 고비 — 중항은 「가운데의 두 배」이지 「차」가 아니다 등차수열이라는 말을 보고 \(x - 3 = 11\) 이나 \(x = 11 - 3\) 처럼 차부터 손대는 실수가 잦습니다. 공차를 아직 모르는데 차를 먼저 쓸 수는 없습니다. 모르는 공차를 아예 등장시키지 않는 것이 중항의 장점입니다. \(x - 3\) 도 공차, \(11 - x\) 도 공차 — 둘이 같으니 \(x - 3 = 11 - x\), 곧 \(2x = 3 + 11 = 14\) 입니다. 이것이 \(2b = a + c\) 의 정체예요. 그래서 \(x = 7\). 공차를 구하지 않고도 가운데가 바로 나옵니다.
  2. 되돌려 확인 : \(3,\, 7,\, 11\) — 차가 \(7-3 = 4\), \(11-7 = 4\) 로 같다 ✓ (공차 4)
"그렇지, 등차중항이라는 걸 알아야 된다." — 가운데를 보고 양옆을 읽는 것, 그것이 전부입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [030] 01:26
\(x = 7\)
문제 2C기본 · 등비중항 · 답이 둘
세 수 \(4,\; x,\; 25\) 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, \(x\) 가 될 수 있는 값을 모두 구하라.

풀이 — 가운데의 제곱이 양옆의 곱

  1. 등비중항 : \(x^2 = 4 \times 25 = 100\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 제곱을 풀 때 음수 쪽을 빠뜨리지 마라 \(x^2 = 100\) 에서 \(x = 10\) 만 쓰고 끝내기 쉽습니다. 그런데 \((-10)^2\) 도 100 입니다. 등비수열은 공비가 음수여도 아무 문제가 없습니다. \(x = -10\) 이면 \(4,\, -10,\, 25\) 이고 공비는 \(-10 \div 4 = -\tfrac52\), 그 다음도 \(25 \div (-10) = -\tfrac52\) 로 똑같습니다. 부호가 번갈아 나올 뿐 정직한 등비수열이에요. 등차중항 \(2b = a+c\) 는 일차식이라 답이 하나지만, 등비중항 \(b^2 = ac\) 는 이차식이라 답이 둘입니다 — 이 차이를 기억하십시오.
  3. 되돌려 확인 : \(x=10\) 이면 공비 \(\tfrac52\) (4, 10, 25) ✓   \(x=-10\) 이면 공비 \(-\tfrac52\) (4, −10, 25) ✓
"그렇다, 등비중항이다. 그래서 이 수열은 등비수열이다 라는 걸 알고 있습니다."— 장대경 선생님 특강 전사 [064-066] 03:07
\(x = 10\) 또는 \(x = -10\)
문제 3B중항 조건 → 일반항
수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) 를 만족한다. \(a_1 = 3,\; a_4 = 15\) 일 때, 일반항 \(a_n\) 과 \(a_{20}\) 을 구하라.

풀이 — 이 조건은 "등차수열이다"라는 말의 다른 표현

  1. \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) 는 모든 자리에서 가운데가 등차중항이라는 뜻 ⇒ \(\{a_n\}\) 은 등차수열.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 1번째에서 4번째까지는 걸음이 세 번 공차를 \(d\) 라 하면 \(a_4 = a_1 + 3d\) 입니다. \(a_1 \to a_2 \to a_3 \to a_4\) 로 화살표가 세 개이기 때문입니다. 여기서 \(4d\) 라고 쓰면 걸음을 한 번 더 센 것입니다. 그래서 \(15 = 3 + 3d\), 곧 \(3d = 12\), \(d = 4\) 입니다. 일반항은 \(a_n = 3 + (n-1)\times 4 = 4n - 1\). 「몇 번째에서 몇 번째」는 언제나 번호의 차만큼 걸어간다는 것만 잡고 있으면 흔들리지 않습니다.
  3. \(a_{20} = 4 \times 20 - 1 = 79\).
  4. 되돌려 확인 : \(3,\, 7,\, 11,\, 15,\, 19,\, 23 \cdots\) 로 4씩 커지고 \(a_4 = 15\) ✓ 그리고 \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) 도 모든 자리에서 성립 ✓
"공차 d가 나왔으니까 일반항 \(a_n\) 바로 찾자."— 장대경 선생님 특강 전사 [014-015] 00:50
\(a_n = 4n - 1\), \(a_{20} = 79\)
문제 4B미지수가 든 등차중항
세 식 \(x+1,\; 2x+3,\; 4x+1\) 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, \(x\) 와 세 수를 구하라.

풀이 — 식이 들어와도 하는 일은 똑같다

  1. 등차중항 : \(2(2x+3) = (x+1) + (4x+1)\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 가운데에 2를 곱할 때 괄호를 통째로 곱한다 가운데 항이 \(2x+3\) 처럼 두 덩이일 때, \(2\) 를 앞의 \(2x\) 에만 곱해 \(4x + 3\) 이라고 쓰는 실수가 가장 잦습니다. 가운데 항 전체가 두 배가 되어야 하므로 \(2(2x+3) = 4x + 6\) 입니다. 오른쪽은 \((x+1)+(4x+1) = 5x + 2\). 그래서 \(4x + 6 = 5x + 2\), 곧 \(x = 4\). 중항 공식을 쓸 때는 가운데 항을 반드시 괄호로 묶고 시작하십시오 — 그 습관 하나가 이 갈래의 실수를 거의 다 막아 줍니다.
  3. 되돌려 확인 : 세 수는 \(5,\; 11,\; 17\). 차가 \(11-5=6\), \(17-11=6\) 으로 같다 ✓ (공차 6)
"요건 무슨 뜻이냐. 그렇지, 등차중항이라는 걸 알아야 된다." — 수가 아니라 식이 와도 읽는 법은 하나입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [028-030] 01:19~01:26
\(x = 4\), 세 수는 \(5,\, 11,\, 17\)
문제 5B미지수가 든 등비중항
세 수 \(x,\; x+3,\; x+9\) 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, \(x\) 와 공비를 구하라.

풀이 — 이차항이 저절로 사라진다

  1. 등비중항 : \((x+3)^2 = x(x+9)\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — \(x^2\) 이 양쪽에서 지워진다 왼쪽을 펼치면 \(x^2 + 6x + 9\), 오른쪽은 \(x^2 + 9x\) 입니다. 이차방정식이 나올 줄 알았는데 \(x^2\) 이 양쪽에 똑같이 있어 지워집니다. 남는 것은 \(6x + 9 = 9x\), 곧 \(3x = 9\), \(x = 3\) 인 일차방정식입니다. 등비중항이라고 해서 반드시 이차방정식이 되는 것은 아닙니다 — 먼저 펼쳐 보고, 지워지는 것이 있는지부터 살피십시오. (문제 2처럼 상수만 있는 경우에는 지워지지 않아 답이 둘이 됩니다.)
  3. 되돌려 확인 : 세 수는 \(3,\; 6,\; 12\). 공비는 \(6 \div 3 = 2\), \(12 \div 6 = 2\) 로 같다 ✓
⚠ 함정 — 첫째항이 0이면 등비수열이 아니다 \(x = 0\) 을 답으로 쓰면? \((0+3)^2 = 9\), \(0 \times 9 = 0\) 이라 애초에 식이 맞지 않습니다. 등비수열은 어느 항도 0이 될 수 없다 — 답을 찾은 뒤 0이 섞였는지 늘 한 번 봅니다.
\(x = 3\), 공비 \(r = 2\)
문제 6B곱셈꼴 점화식 · 약분 사슬
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 3,\; a_{n+1} = \dfrac{n+1}{n}\,a_n\) 으로 정의될 때, 일반항 \(a_n\) 과 \(a_{10}\) 을 구하라.

풀이 — 곱하는 것을 늘어놓고 약분한다

  1. \(a_1\) 뒤에 곱하는 것을 차례로 적으면 \(\dfrac21,\; \dfrac32,\; \dfrac43,\; \cdots\)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 곱하는 것은 n 개가 아니라 n − 1 개 \(a_1\) 에서 \(a_n\) 까지 가려면 화살표가 n − 1 개입니다. 그래서 \(a_n = 3 \times \dfrac21 \times \dfrac32 \times \dfrac43 \times \cdots \times \dfrac{n}{n-1}\) 로 마지막 분자가 n 에서 끝납니다. 이제 앞의 분모와 뒤의 분자가 차례로 지워집니다. 2가 지워지고 3이 지워지고 … 결국 남는 것은 맨 앞의 분모 1과 맨 뒤의 분자 n 뿐이니 곱은 \(n\) 입니다. 그래서 \(a_n = 3n\). 마지막을 \(\dfrac{n+1}{n}\) 이라고 쓰면 한 걸음을 더 걸은 것이 되어 \(3n+3\) 이 나옵니다.
  3. \(a_{10} = 3 \times 10 = 30\).
  4. 되돌려 확인 : \(3,\, 6,\, 9,\, 12,\, 15,\, 18 \cdots\) ✓ 그리고 \(\dfrac{n+1}{n} a_n = \dfrac{n+1}{n} \times 3n = 3(n+1) = a_{n+1}\) ✓
"1개씩 줄여라 라는 뜻이라." — 사슬의 길이를 잘못 세는 것이 이 갈래에서 가장 잦은 실수입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [162-163] 07:30
\(a_n = 3n\), \(a_{10} = 30\)
문제 7B곱이 일정 · 주기수열 · 합
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 2,\; a_n a_{n+1} = 6\) 을 만족할 때, \(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20}\) 을 구하라.

풀이 — 앞의 몇 항을 적어 보면 제자리로 돌아온다

  1. \(n=1\) : \(a_1 a_2 = 6\), \(a_1 = 2\) 이므로 \(a_2 = 3\).
  2. \(n=2\) : \(a_2 a_3 = 6\), \(a_2 = 3\) 이므로 \(a_3 = 2\).   \(n=3\) : \(a_4 = 3\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 두 항마다 제자리, 그러면 세는 문제가 된다 \(2,\,3,\,2,\,3,\,\cdots\) 로 홀수 번째는 2, 짝수 번째는 3 이 되풀이됩니다. 곱이 일정한 점화식은 \(a_{n+2} = \dfrac{6}{a_{n+1}} = \dfrac{6}{6/a_n} = a_n\) 이라 언제나 주기가 2입니다. 그러니 20항까지에 홀수 번째가 10개, 짝수 번째가 10개. 합은 \(2 \times 10 + 3 \times 10 = 20 + 30 = 50\) 입니다. 등차·등비 공식을 찾을 자리가 아닙니다 — 몇 개씩인지 세는 자리입니다.
  4. 되돌려 확인 : 20개를 실제로 늘어놓아 더하면 \(2,3,2,3,\cdots,2,3\) → \(50\) ✓
"홀수 짝수가 (번갈아) 된다 이 말이야. 요게 몇 개냐."— 장대경 선생님 특강 전사 [216-219] 09:53~10:03
\(a_1 + a_2 + \cdots + a_{20} = 50\)
문제 8BSn 과 an 이 섞인 식
수열 \(\{a_n\}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_n = 2a_n + 1\) 을 만족한다. 첫째항 \(a_1\) 과 일반항 \(a_n\) 을 구하라.

풀이 — 항 번호를 하나 올려서 두 식을 뺀다

  1. \(n\) 자리를 1 키우면 \(S_{n+1} = 2a_{n+1} + 1\).
  2. 두 식을 빼면 왼쪽은 \(S_{n+1} - S_n = a_{n+1}\), 오른쪽은 \(2a_{n+1} - 2a_n\) (상수 1은 두 번씩 있어 사라진다).
  3. \(a_{n+1} = 2a_{n+1} - 2a_n \;\Rightarrow\; -a_{n+1} = -2a_n \;\Rightarrow\; a_{n+1} = 2a_n\) — 공비 2인 등비수열.
  4. ⭐ 여기가 고비 — 첫째항은 빼기로 나오지 않는다 두 식을 빼서 얻은 것은 이웃한 두 항의 관계일 뿐입니다. 출발점은 따로 찾아야 하는데, 그 자리가 바로 \(n = 1\) 입니다. \(S_1\) 은 첫째항 하나만 더한 것이니 \(S_1 = a_1\) 입니다. 그러니 \(a_1 = 2a_1 + 1\), 곧 \(a_1 = -1\). 첫째항이 음수여도 아무 문제가 없습니다 — 나온 대로 받아들이십시오. 그래서 \(a_n = -1 \times 2^{\,n-1} = -2^{\,n-1}\).
  5. 되돌려 확인 : \(-1, -2, -4, -8, -16, -32\) 이고 \(S_6 = -63\), \(2a_6 + 1 = -64 + 1 = -63\) ✓ (\(n = 1\) 부터 \(17\) 까지 모두 확인했다)
"이 숫자는 앞에도 있으니까 없애버린다." — 두 식에 똑같이 있는 상수는 뺄 때 사라집니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [247-248] 11:32
\(a_1 = -1\), \(a_n = -2^{\,n-1}\)
문제 9B활용 · 점화식 세우기
어떤 물통에 물이 \(32\,\text{L}\) 들어 있다. 한 시간마다 물의 절반을 버리고 다시 \(4\,\text{L}\) 를 넣는다고 한다. 처음 물의 양을 \(a_1\), \(n-1\) 시간이 지난 뒤의 물의 양을 \(a_n\) 이라 할 때, ⑴ \(a_{n+1}\) 을 \(a_n\) 으로 나타내고 ⑵ \(a_4\) 를 구하라.

풀이 — "지금 것으로 한 걸음 뒤의 것을 만든다" 그 한 줄만 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 버리는 것을 빼지 말고, 남는 것을 곱하라 "절반을 버린다"를 \(a_n - \tfrac12 a_n\) 이라고 두 단계로 쓰면 식이 길어집니다. 절반을 버리면 남는 것은 절반이니 그냥 \(\tfrac12 a_n\) 입니다. 거기에 새로 넣는 \(4\) 를 더하면 끝 — \(a_{n+1} = \tfrac12 a_n + 4\). 「버린 양」이 아니라 「남은 양」을 바로 적는 것이 활용 문제의 요령입니다. 비율이 나오면 늘 남는 쪽 비율을 먼저 계산해 두십시오.
  2. \(a_1 = 32\)  ⇒  \(a_2 = \tfrac12 \times 32 + 4 = 16 + 4 = 20\).
  3. \(a_3 = \tfrac12 \times 20 + 4 = 10 + 4 = 14\).
  4. \(a_4 = \tfrac12 \times 14 + 4 = 7 + 4 = 11\).
  5. 되돌려 확인 : \(32,\, 20,\, 14,\, 11,\, \tfrac{19}{2} \cdots\) — 8에 점점 가까워진다 (\(c = \tfrac12 c + 4\) 를 풀면 \(c = 8\)).
"요런 식의 관계식을 (세워) 판단하는 것을 꼭 명심하고 문제를 풀어 보도록 해라."— 장대경 선생님 특강 전사 [331-335] 15:07~15:21
\(a_{n+1} = \tfrac12 a_n + 4\), \(a_4 = 11\)
문제 10A등차중항 + 등비중항 · 조건으로 하나 버리기
세 수 \(a,\; b,\; c\) 가 이 순서로 등차수열을 이루고 \(a + b + c = 12\) 이다. 또 \(a,\; b,\; c+9\) 가 이 순서로 등비수열을 이룬다. \(a < c\) 일 때 \(a,\; b,\; c\) 를 구하라.

풀이 — 중항 두 개를 차례로 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 합이 주어졌으면 가운데가 먼저 나온다 미지수가 셋이라 막막해 보이지만, 등차중항 \(2b = a + c\) 를 쓰면 \(a + b + c = (a+c) + b = 2b + b = 3b\) 가 됩니다. 세 수의 합이 곧 가운데의 세 배인 것입니다. 그러니 \(3b = 12\), 곧 \(b = 4\) 가 계산 한 줄로 바로 나옵니다. 그리고 \(a + c = 12 - 4 = 8\). 미지수 셋짜리 문제가 둘짜리로 줄었습니다 — 등차수열 세 항의 합이 나오면 언제나 가운데부터 잡으십시오.
  2. 등비중항 : \(b^2 = a(c+9)\). \(b = 4\), \(c = 8 - a\) 를 넣으면 \(16 = a(8 - a + 9) = a(17 - a)\).
  3. 정리하면 \(a^2 - 17a + 16 = 0\), 곧 \((a-1)(a-16) = 0\) ⇒ \(a = 1\) 또는 \(a = 16\).
  4. \(a = 1\) 이면 \(c = 7\) 이라 \(a < c\) ✓.   \(a = 16\) 이면 \(c = -8\) 이라 \(a < c\) 가 아니다 ✗
  5. 되돌려 확인 : \(1,\,4,\,7\) 은 공차 3인 등차수열이고 합이 12 ✓. \(1,\,4,\,16\) 은 공비 4인 등비수열 ✓ (\(c + 9 = 7 + 9 = 16\))
⚠ 함정 — 버린 답도 「식」은 다 만족한다 \(a = 16,\, b = 4,\, c = -8\) 도 세 식(등차 · 합 12 · 등비)을 모두 만족합니다. 공차 −12, 공비 ¼. 그래서 \(a < c\) 같은 마지막 한 줄을 끝까지 읽어야 합니다 — 그 한 줄이 답을 하나로 정합니다.
\(a = 1,\; b = 4,\; c = 7\)

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"가운데를 보고 이웃을 읽는다" 는 수학 곳곳에 있다

오늘 익힌 중항과 점화식은 수열 단원에서 끝나지 않습니다. 「이웃한 것끼리의 관계로 전체를 읽는다」는 생각은 학년이 올라갈수록 더 자주 나타납니다.

① 초등 · 빈칸 채우기
초3~초6 · 규칙과 대응
3, □, 7 의 빈칸은 양옆을 더해 반으로. 이것이 그대로 \(2b = a + c\) 입니다.
② 중2 · 평균과 중점
중2 · 통계 / 좌표평면
두 수의 평균이 등차중항이고, 두 점의 중점 \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\,\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\) 도 좌표마다 등차중항입니다. 등비중항은 두 수의 기하평균 \(\sqrt{ac}\) 예요.
③ 중3 · 이차방정식
중3 · 이차방정식
등비중항 \(b^2 = ac\) 는 언제나 이차식을 만듭니다. 그래서 답이 둘일 수 있고, 문제의 마지막 조건(양수·대소)이 하나를 골라냅니다 — 문제 2와 문제 10이 그 본보기입니다.
④ 고2 · 수열의 합과 일반항
고2 수Ⅰ · 수열
\(S_n\) 이 주어지면 항 번호를 한 칸 옮겨 빼는 손버릇 하나로 \(a_n\) 이 나옵니다. 앞으로 옮기면 \(S_{n+1} - S_n = a_{n+1}\), 뒤로 옮기면 \(S_n - S_{n-1} = a_n\;(n \ge 2)\) — 어느 쪽이든 첫째항만 따로 확인하면 됩니다.
⑤ 실생활 · 약을 먹는 간격과 물통
생명과학 · 약동학
"몸에 남은 양의 절반이 빠지고 다시 일정량을 먹는다"는 \(a_{n+1} = \tfrac12 a_n + k\). 문제 9의 물통과 완전히 같은 꼴이고, 오래 지나면 \(c = \tfrac12 c + k\) 를 푼 값 \(2k\) 에 가까워집니다.
⑥ 경시 · 세 수를 잡는 요령
대수 · 경시수학
등차인 세 수는 \(b-d,\; b,\; b+d\) 로, 등비인 세 수는 \(b/r,\; b,\; br\) 로 잡으면 합과 곱이 놀랍도록 간단해집니다. 문제 10을 이 방법으로 다시 풀어 보십시오.
◀ 특강 영상으로 돌아가기 · 등차중항과 점화식

※ 열 문제 모두 파이썬으로 항을 실제로 만들어 답과 대조했고, 일반항을 구한 문제는 그 일반항을 원래 조건에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다. 청록 상자(구호)는 특강 전사에 실제로 남아 있는 선생님 말씀만 옮긴 것입니다.