장대경 선생님 특강 · 등차중항과 점화식 — "규칙은 이웃한 두 항 사이에 있다"

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규칙은 이웃한 두 항 사이에 있다

수열 문제는 규칙을 숨겨 두는 자리가 정해져 있다.
오늘은 그 세 자리를 하나씩 열어 본다.

① 세 항의 한가운데

중항 · 등차중항 · 등비중항

② 두 항 사이의 관계식

점화식 · 사슬 · 주기

③ 부분합 속

S_n 과 a_n 이 섞인 식

먼저 가장 쉬운 것부터

공차 d 하나만 찾으면 일반항이 나온다

2a₁

+3↓

5a₂

+3↓

8a₃

+3↓

11a₄

첫째항 2 · 공차 d = 3 ⇒ a_n = 2 + (n − 1) × 3 = 3n − 1
열다섯째항은 n 자리에 15 만 잡아 넣으면 된다 ⇒ 3 × 15 − 1 = 44

되돌려 확인 — n = 1, 2, 3 을 넣으면 2, 5, 8. 정확히 맞는다.

★ 등차중항 · 가운데를 보고 양옆을 읽는다

세 항 a, b, c 가 등차수열이면

b − a 도 공차 · c − b 도 공차 ⇒ 둘이 같다
↓ 옮기면
2b = a + c

가운데 항의 두 배가 양옆 두 항의 합. 이 꼴이 보이면 그 수열은 등차수열이라는 뜻이다.

예제 ① · 등차중항이 보이면 일반항까지 바로 간다

2a_n+1 = a_n + a_n+2 ⇒ 등차수열

1a₁

5a₂

9a₃

13a₄

17a₅

+4공차

a_n = 4n − 3 ⇒ 열다섯째항은 15 를 잡아라 ⇒ 4 × 15 = 60, 60 − 3 = 57

되돌려 확인 — 1, 5, 9, 13, 17 은 4씩 커진다. 그리고 2a_n+1 = a_n + a_n+2 도 모든 자리에서 성립한다 ✓

★ 등비중항 · 하는 일이 똑같다

가운데의 제곱이 양옆의 곱 b² = ac

등차중항

2b = a + c
더하기로 이어진다

등비중항

b² = ac
곱하기로 이어진다

등비중항이니 등비수열 · 첫째항 −2, 두 번째가 6 ⇒ 공비 r = 6 ÷ (−2) = −3
그러면 a_n = (−2) × (−3)ⁿ⁻¹ ⇒ −2, 6, −18, 54, −162 ⋯

여기서부터가 진짜다

숫자가 아니라 식으로 수열을 준다 — 점화식

등차수열이나 등비수열은 처음부터 수열의 모양이 다 보인다.
점화식은 그렇지가 않다. 첫째항에서 출발해 한 항씩 걸어 내려가야 보인다.

읽는 법은 하나뿐 ⇒ n 자리에 1, 2, 3 을 차례로 잡아 넣어 앞의 몇 항을 실제로 적어 본다 ⇒ 규칙은 거기서 눈에 보인다

오늘 볼 손버릇 셋 — ① 사슬로 늘어놓고 약분 · ② 곱이 일정하면 주기 · ③ S_n 이 섞이면 항 번호를 하나 올려서 뺀다

예제 ② · 곱셈꼴은 사슬로 늘어놓는다

a₁ = 2, a_n+1 = (n / (n+1)) × a_n

a₁ 에다가 곱하는 놈을 한 개씩 줄여서 늘어놓는다 ⇒ 곱하는 것이 n − 1 개 · n 개가 아니다

2 × 12 × 23 × 34 × ⋯ × n − 1n

첫 자리는 2분의 1, 두 자리는 3분의 2, 세 자리는 4분의 3 — 쭉 가서 마지막이 n분의 (n−1).

★ 여기가 고비 · 앞의 분모와 뒤의 분자가 지워진다

다 지우고 나면 남는 것은 n 분의 1 하나뿐

두 개까지	½ × ⅔	1/3
세 개까지	⅓ × ¾	1/4
n − 1 개까지	⋯	1/n

앞에 첫째항 2 가 있으니 a_n = 2 / n ⇒ 스무째항은 2 / 20 = 1 / 10

되돌려 확인 — 2, 1, 2/3, 1/2, 2/5 ⋯ 는 모두 2/n 과 같다.

예제 ③ · 곱이 일정하면 주기를 찾아라

a₁ = 5, a_n × a_n+1 = 5

5a₁

1a₂

5a₃

1a₄

5a₅

1a₆

⋯번갈아

홀수 번째는 5 · 짝수 번째는 1 ⇒ 열까지 가면 다섯 개씩
5 × 5 = 25 + 1 × 5 = 5 ⇒ 열 항의 합 30

곱이 일정한 점화식은 두 항마다 제자리로 돌아온다. 그러면 세는 문제가 된다.

★ S_n 과 a_n 이 한 식에 섞여 있을 때

항 번호를 하나 올려서 두 식을 뺀다

1번 식 S_n+1 = (a_n+1 로 만든 식) ← n 자리를 1 키운 것
2번 식 S_n = (a_n 으로 만든 식)
↓ 1번에서 2번을 뺀다
S_n+1 − S_n = a_n+1

왜 그런가 — n+1 항까지 더한 것에서 n 항까지 더한 것을 빼면 새로 들어온 한 항만 남는다.
그리고 상수는 두 식에 똑같이 있으니 빼면 없어진다.

예제 ④ · 해 보자

S_n = 3a_n − 2

n 을 1 키우면 S_n+1 = 3a_n+1 − 2
↓ 두 식을 뺀다 (−2 는 두 번씩 있으니 없어진다)
a_n+1 = 3a_n+1 − 3a_n
↓ 이항하면
2a_n+1 = 3a_n ⇒ a_n+1 = (3/2) a_n

곱하기 꼴이 나왔다 — 공비 3/2 인 등비수열이라는 뜻이다.

첫째항은 n 에 1 을 넣어서 찾는다

S₁ = a₁ — 첫째항 하나만 더한 것이니까

a₁ = 3a₁ − 2 ⇒ 2a₁ = 2 ⇒ a₁ = 1
첫째항 1 · 공비 3/2 ⇒ a_n = (3/2)ⁿ⁻¹

항	1	3/2	9/4	27/8
S_n (실제로 더함)	1	5/2	19/4	65/8
3a_n − 2	1	5/2	19/4	65/8

두 줄이 모든 자리에서 똑같다 — 되돌려 확인 끝.

예제 ⑤ · 활용 · 점화식은 이렇게 세운다

물 10 리터 — 절반을 버리고 다시 3 리터를 넣는다

10 La₁ · 처음

÷ 25 L 남고

+ 3넣으면

8 La₂

÷2 +3또

7 La₃

지금 것이 a_n ⇒ 절반으로 줄이고 ⇒ 3 을 더해서 간다 ⇒ a_n+1 = ½ a_n + 3

활용 문제는 답이 수가 아니라 식일 때가 많다. 지금 것과 한 걸음 뒤의 것 사이만 적으면 된다.

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가운데를 보고, 이웃을 읽어라

① 세 항의 한가운데 = 중항 — 2b = a + c 면 등차 · b² = ac 면 등비
② 두 항의 관계식 = 점화식 — 앞의 몇 항을 실제로 적어 규칙을 눈으로 본다
③ 곱셈꼴은 사슬로 늘어놓고 약분 · 곱이 일정하면 주기를 센다
④ S_n 과 a_n 이 섞이면 항 번호를 하나 올려서 뺀다 — 항 하나만 남고 상수는 없어진다
⑤ 활용은 지금 것과 한 걸음 뒤의 것 사이만 적으면 된다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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