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오늘은 등차수열
"한 번, 두 번, 세 번 — 이렇게 차이가 이만큼 크다"
그 차이 하나만 잡으면 몇 번째 항이든 바로 나온다.
그 차이 하나만 잡으면 몇 번째 항이든 바로 나온다.
일반항 an = a1 + (n − 1)d
·
등차중항 2b = a + c
·
부분합 Sn
먼저 · 등차수열이 무엇인가
이웃한 두 항의 차가 늘 같다 — 그 차가 공차 d
a1+d →
a2+d →
a3+d →
a4⋯
an
a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = ⋯ = d
→ 어디를 빼도 같으면 등차수열
판별은 딱 하나 — 차를 구해 본다. 늘 같으면 등차, 하나라도 다르면 아니다.
판별은 딱 하나 — 차를 구해 본다. 늘 같으면 등차, 하나라도 다르면 아니다.
"잘 이해가 안 되면은 한 번 두 번 세 번, 이해될 때까지 보면 돼.
그렇게 시간이 걸리는 것은 아니야."
무기 ① · 일반항
"공차 d가 나왔으니까 일반항 an 바로 찾자"
| 항 | d를 더한 횟수 | 값 |
|---|---|---|
| a1 | 0번 | a1 |
| a2 | 1번 | a1 + d |
| a3 | 2번 | a1 + 2d |
| an | (n − 1)번 | a1 + (n − 1)d |
an = a1 + (n − 1)d
→ 첫째항은 이미 놓여 있다
그래서 더한 횟수는 n 이 아니라 n − 1
가장 많이 틀리는 자리가 바로 여기다
→ 첫째항은 이미 놓여 있다
그래서 더한 횟수는 n 이 아니라 n − 1
가장 많이 틀리는 자리가 바로 여기다
무기 ② · 등차중항
가운데를 두 배 하면 양 끝의 합
a+d
b+d
c
세 수가 이 차례로 등차이면 b − a = c − b
→ 2b = a + c
곧 b = (a + c) ∕ 2 → 가운데 항은 양 끝 두 수의 평균이다
곧 b = (a + c) ∕ 2 → 가운데 항은 양 끝 두 수의 평균이다
"세 수가 등차" 라는 말이 나오면
묻지도 따지지도 말고 2b = a + c 부터 쓰고 시작한다.
무기 ③ · 부분합 Sn
거꾸로 한 번 더 써서 위아래로 더한다
Sn = a1 + a2 + ⋯ + an−1 + an
Sn = an + an−1 + ⋯ + a2 + a1 (거꾸로)
↓ 세로로 짝을 지으면 전부 a1 + an 이고, 그런 짝이 n 개
2Sn = n(a1 + an) → Sn = n(a1 + an) ∕ 2
Sn = an + an−1 + ⋯ + a2 + a1 (거꾸로)
↓ 세로로 짝을 지으면 전부 a1 + an 이고, 그런 짝이 n 개
2Sn = n(a1 + an) → Sn = n(a1 + an) ∕ 2
끝항 an 을 알 때
Sn = n(a1 + an) ∕ 2
끝항을 모를 때 (an 자리에 일반항)
Sn = n{2a1 + (n − 1)d} ∕ 2
두 꼴은 같은 식이다.
끝항을 아느냐 모르느냐로 골라 쓰면 된다.
🔎 여기서부터 · 규칙은 식 속에 숨는다
첫째항과 공차를 안 준다 — 관계식만 준다
an+1 = an + 3
→ 뒤 항 빼기 앞 항이 늘 3
→ 공차가 3인 등차수열
이런 식을 점화식이라 한다 — 겁낼 것 없다. 규칙만 읽어내면 된다.
이런 식을 점화식이라 한다 — 겁낼 것 없다. 규칙만 읽어내면 된다.
차를 봐라
an+1 − an 이 상수면 등차수열
비를 봐라
an+1 ∕ an 이 상수면 등비수열
둘 다 아니면? — 항을 몇 개 실제로 만들어 본다.
바로 다음 문제가 그런 꼴이다.
예제 ① · 더하는 게 아니라 곱하는 점화식
a1 = √3,
an+1 = an · (√3)n
일 때 a10
"쉽게 말해서 요걸 여러 개 넘어가 버리면 된다" — 하나씩 이어 붙인다.
a2 = a1 · (√3)1, a3 = a2 · (√3)2, a4 = a3 · (√3)3 ⋯
↓ 위에서부터 쭉 대입하면
an = √3 · (√3)1 · (√3)2 · ⋯ · (√3)n−1
곱하는 것이 n − 1 개 — "k개인데 1 줄어드니까 n − 1" 이다.
a2 = a1 · (√3)1, a3 = a2 · (√3)2, a4 = a3 · (√3)3 ⋯
↓ 위에서부터 쭉 대입하면
an = √3 · (√3)1 · (√3)2 · ⋯ · (√3)n−1
곱하는 것이 n − 1 개 — "k개인데 1 줄어드니까 n − 1" 이다.
예제 ① · 곱셈이 이어지면 지수는 더해진다
지수만 모으면 1 + 2 + 3 + ⋯ + (n − 1) = n(n − 1) ∕ 2 = (n² − n) ∕ 2
→ 맨 앞의 √3 = (√3)1 을 더해 주면 (n² − n) ∕ 2 + 1 = (n² − n + 2) ∕ 2
an = (√3)(n² − n + 2) ∕ 2
→ 맨 앞의 √3 = (√3)1 을 더해 주면 (n² − n) ∕ 2 + 1 = (n² − n + 2) ∕ 2
an = (√3)(n² − n + 2) ∕ 2
a1 = 31∕2
a2 = 3
a3 = 9
a4 = 37∕2
a6 = 38
실제로 항을 만들어 봐도 지수가
½, 1, 2, 7∕2, 11∕2, 8 ⋯ 로 식과 정확히 맞는다.
예제 ① · 답
√3 = 31∕2 이니까 지수끼리 곱한다
an = 3(n² − n + 2) ∕ 4
→ n = 10 을 넣으면 (100 − 10 + 2) ∕ 4 = 92 ∕ 4 = 23
a10 = 323 (= 94,143,178,827)
→ n = 10 을 넣으면 (100 − 10 + 2) ∕ 4 = 92 ∕ 4 = 23
a10 = 323 (= 94,143,178,827)
항을 하나씩 실제로 곱해 나가도 열째 항은 똑같이
323. 두 길이 같으면 그 답은 옳다.
🔑 무기 ④ · 합만 주어졌을 때
an = Sn − Sn−1
n번째까지 더한 것에서 (n−1)번째까지 더한 것을 빼면
n번째 항 하나만 남는다.
Sn = a1 + ⋯ + an−1 + an,
Sn−1 = a1 + ⋯ + an−1
→ 빼면 an 하나만 남는다
⚠ 다만 n ≥ 2 일 때만이다. S0 은 없다 — a1 은 S1 으로 따로 구하고, 일반항에 n = 1 을 넣은 값과 같은지 반드시 확인한다.
→ 빼면 an 하나만 남는다
⚠ 다만 n ≥ 2 일 때만이다. S0 은 없다 — a1 은 S1 으로 따로 구하고, 일반항에 n = 1 을 넣은 값과 같은지 반드시 확인한다.
예제 ② · 일반항을 안 찾고 바로 간다
Sn = 3 · 2n−1 일 때
a7
"S7 − S6 로 찾아보는 게 훨씬 더 낫다" — 일반항을 다 찾을 것 없다.
S7 = 3 · 26, S6 = 3 · 25
→ 작은 쪽 25 에 맞춰 준다 : 3 · 26 = 3 · 2 · 25 = 6 · 25
a7 = 6 · 25 − 3 · 25 = (6 − 3) · 25 = 3 · 25 → a7 = 96
S7 = 3 · 26, S6 = 3 · 25
→ 작은 쪽 25 에 맞춰 준다 : 3 · 26 = 3 · 2 · 25 = 6 · 25
a7 = 6 · 25 − 3 · 25 = (6 − 3) · 25 = 3 · 25 → a7 = 96
33612
244896
합 = 192 = S7
항을 실제로 만들어 일곱 개를 더해 봐도 192.
일곱째 항은 96 이 맞다.
예제 ③ · S 와 a 가 한 식에 섞여 있을 때
Sn = 4an − 3 일 때 일반항
n 자리에 n + 1 을 넣어 한 줄을 더 만든다 :
Sn+1 = 4an+1 − 3
↓ 이 식에서 이 식을 뺀다
Sn+1 − Sn = 4an+1 − 4an
왼쪽은 그대로 an+1 이고, −3 은 두 번씩 있어서 사라진다.
"두 번씩 있어서 사라지는 거야 — 한 번씩 있을 때만 이렇게 된다."
↓ 이 식에서 이 식을 뺀다
Sn+1 − Sn = 4an+1 − 4an
왼쪽은 그대로 an+1 이고, −3 은 두 번씩 있어서 사라진다.
"두 번씩 있어서 사라지는 거야 — 한 번씩 있을 때만 이렇게 된다."
예제 ③ · 답
an+1 = 4an+1 − 4an
→ 3an+1 = 4an
→ an+1 = (4∕3) an
"이걸 보니까 공비가 4∕3 이라는 게 바로 보이지"
↓ 첫째항은 n = 1 에서 : S1 = a1 = 4a1 − 3 → 3a1 = 3, a1 = 1
an = (4∕3)n−1
"이걸 보니까 공비가 4∕3 이라는 게 바로 보이지"
↓ 첫째항은 n = 1 에서 : S1 = a1 = 4a1 − 3 → 3a1 = 3, a1 = 1
an = (4∕3)n−1
14∕316∕964∕27
S2 = 7∕3 = 4·(4∕3) − 3 ✓
항을 만들어 더해 보면 어느 n 에서나
Sn = 4an − 3 이 맞아떨어진다.
📐✨
차가 같으면 일반항이 보인다
① 등차수열 = 이웃한 두 항의 차가 늘 같다 — 그 차가 공차 d
② an = a1 + (n − 1)d — 더한 횟수는 n 이 아니라 n − 1
③ 등차중항 2b = a + c — 가운데를 두 배 하면 양 끝의 합
④ Sn = n(a1 + an)∕2 = n{2a1 + (n − 1)d}∕2
⑤ 규칙이 점화식으로 숨으면 차를 보든지 비를 봐라
⑥ 합이 주어지면 an = Sn − Sn−1 (단 n ≥ 2) — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② an = a1 + (n − 1)d — 더한 횟수는 n 이 아니라 n − 1
③ 등차중항 2b = a + c — 가운데를 두 배 하면 양 끝의 합
④ Sn = n(a1 + an)∕2 = n{2a1 + (n − 1)d}∕2
⑤ 규칙이 점화식으로 숨으면 차를 보든지 비를 봐라
⑥ 합이 주어지면 an = Sn − Sn−1 (단 n ≥ 2) — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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