📈✨
오늘은 도함수의 활용
"원래의 그래프와 미분한 그래프를 구분해서 그릴 수 있어야 된다.
그림만 그려 버리면 답은 쉽게 찾아낼 수 있다." — 선생님이 이렇게 여셨다.
그림만 그려 버리면 답은 쉽게 찾아낼 수 있다." — 선생님이 이렇게 여셨다.
오십사 분짜리 이 강의를 한 줄로 줄이면 —
그릴 줄 알아야 하는 그래프는 딱 둘
① 원 그래프 · ② 미분한 그래프 → 그 둘만 그리면 오늘 문제는 다 풀린다
① 원 그래프 · ② 미분한 그래프 → 그 둘만 그리면 오늘 문제는 다 풀린다
먼저 · 규칙은 딱 한 줄
f′ 이 양수면 올라가고,
f′ 이 음수면 내려간다
최고차항이 양수인 삼차함수
최고차항이 음수인 삼차함수
미분한 그래프가 x축 위에 있으면 증가
미분한 그래프가 x축 아래에 있으면 감소
→ 부호가 바뀌는 자리가 극대 · 극소
미분한 그래프가 x축 아래에 있으면 감소
→ 부호가 바뀌는 자리가 극대 · 극소
삼차함수는 이 두 모양뿐이다. 손에 익혀 두면 문제를 읽자마자 그림이 먼저 그려진다.
445번 · 증가하는 구간을 찾아라
f′(x) = −3(x + 4)(x − 2)
미분한 그래프 — 위로 볼록
원 그래프 — 그대로 따라온다
최고차항이 음수 → 위로 볼록 → 두 근 사이에서만 양수.
두 근은 −4 와 2 →
증가하는 구간은 −4 < x < 2
(나머지는 모두 감소 · x = −4 에서 극소, x = 2 에서 극대)
446번 · 이번엔 거꾸로 묻는다
모든 실수에서 증가하도록 a 의 범위를 구하라
닿기만 한다 — 증가 ✓
밑으로 내려간다 — 증가 ✗
"실수 전체 집합, 모든 실수 — 굉장히 중요한 말이다"
→ 미분한 그래프가 x축 아래로 단 한 번도 안 내려간다
f′(x) = 3x² + 2ax + (a + 6) ≥ 0
→ 판별식 D ≤ 0
→ 미분한 그래프가 x축 아래로 단 한 번도 안 내려간다
f′(x) = 3x² + 2ax + (a + 6) ≥ 0
→ 판별식 D ≤ 0
446번 · 짝수 공식으로 끝낸다
짝수 공식 D∕4 = b′² − ac
→
a² − 3(a + 6) = a² − 3a − 18
인수분해 (a − 6)(a + 3) ≤ 0 → 두 근 사이
−3 ≤ a ≤ 6
인수분해 (a − 6)(a + 3) ≤ 0 → 두 근 사이
−3 ≤ a ≤ 6
경계에서 확인 · a = 6
f′ = 3x² + 12x + 12 = 3(x + 2)²
최솟값이 0 — 닿기만 하니 증가가 안 깨진다 ✓
최솟값이 0 — 닿기만 하니 증가가 안 깨진다 ✓
벗어나면 · a = 7
f′ = 3x² + 14x + 13
최솟값이 −10∕3 — 내려가 버려서 감소 구간이 생긴다 ✗
최솟값이 −10∕3 — 내려가 버려서 감소 구간이 생긴다 ✗
등호를 넣느냐 빼느냐는 이렇게 경계값을 실제로 넣어 확인한다.
447번 · 이번엔 감소 · 차례가 똑같다
모든 실수에서 감소하도록 a 의 범위를
f′(x) = −3x² + 2ax − 12 ≤ 0
(최고차항이 음수 → 위로 볼록)
위로 볼록한 놈이 x축 위로 한 번도 안 올라가려면 역시 → D ≤ 0
D∕4 = a² − (−3)(−12) = a² − 36 ≤ 0
−6 ≤ a ≤ 6
위로 볼록한 놈이 x축 위로 한 번도 안 올라가려면 역시 → D ≤ 0
D∕4 = a² − (−3)(−12) = a² − 36 ≤ 0
−6 ≤ a ≤ 6
두 문제를 겹쳐 보면
증가든 감소든 푸는 차례가 완전히 같다 —
① 미분한다 ② D ≤ 0 을 세운다 ③ 짝수 공식으로 푼다.
볼록한 방향만 반대일 뿐이다.
볼록한 방향만 반대일 뿐이다.
452번 · 모든 실수가 아니라 “그 구간에서만”
1 ≤ x ≤ 3 에서 감소하도록
a 의 범위를
굵은 구간이 x축 아래에 있어야 한다
f′(x) = 3x² − 6x + a — 아래로 볼록
아래로 볼록한 놈이 어떤 구간 전체에서 0 이하이려면?
양 끝 두 곳만 확인하면 된다 (가운데는 저절로 따라온다)
f′(1) = a − 3 ≤ 0 → a ≤ 3
f′(3) = a + 9 ≤ 0 → a ≤ −9
공통인 범위 → a ≤ −9
아래로 볼록한 놈이 어떤 구간 전체에서 0 이하이려면?
양 끝 두 곳만 확인하면 된다 (가운데는 저절로 따라온다)
f′(1) = a − 3 ≤ 0 → a ≤ 3
f′(3) = a + 9 ≤ 0 → a ≤ −9
공통인 범위 → a ≤ −9
확인 — a = −9 이면 구간 위 f′ 의 최댓값이 정확히 0,
a = −8 이면 1 이라 감소가 깨진다.
458번 ① · 조건을 두 개로 갈라 쓴다
f(x) = x³ + ax² + bx + 3 이
x = 2 에서 극댓값 23
첫 번째 — 함숫값이 23 이다 →
8 + 4a + 2b + 3 = 23
→ 2a + b = 6
두 번째 — 극값이니 미분한 값이 0 이다 → f′(2) = 12 + 4a + b = 0
연립해서 풀면 a = −9 · b = 24
두 번째 — 극값이니 미분한 값이 0 이다 → f′(2) = 12 + 4a + b = 0
연립해서 풀면 a = −9 · b = 24
극값 문제에서 조건은 언제나 둘이다 —
① 그 점을 지난다 · ② 그 점에서 미분값이 0 이다.
문제가 「극댓값 23」 한 마디만 던져도, 사실은 식 두 개를 준 것이다.
문제가 「극댓값 23」 한 마디만 던져도, 사실은 식 두 개를 준 것이다.
458번 ② · 증감표로 극대 · 극소를 가른다
f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4)
계산한 자리에 그대로 찍힌 극대 · 극소
| x | ⋯ | 2 | ⋯ | 4 | ⋯ |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 23 극대 | ↘ | 19 극소 | ↗ |
f(4) = 64 − 144 + 96 + 3
→ 극솟값 19
466번 · 미분한 것을 거꾸로 되돌린다
f′(x) = −6x(x + 2) 이고
극솟값이 1 일 때 k 는?
두 근 — −2(극소) 와 0(극대)
되돌린 원 그래프
거꾸로 적분해 되돌리면 f(x) = −2x³ − 6x² + k
→
극솟값은 f(−2) = 16 − 24 + k = 1
→ k = 9
(덤으로 극댓값 f(0) = 9)
극값이 있느냐 없느냐 · 판별식 하나로 갈린다
| 묻는 것 | 뜻 | 미분한 식 | 판별식 | 답 |
|---|---|---|---|---|
| 극값을 가져라 | 서로 다른 두 실근 | 3x² + 2ax + 12 | D∕4 = a² − 36 > 0 | a < −6 또는 a > 6 |
| 480번 · 극값이 없어라 | 실근이 없거나 중근 | 3x² + 2ax + 3 | D∕4 = a² − 9 ≤ 0 | −3 ≤ a ≤ 3 |
묻는 말이 바뀌면 부등호 하나만 바뀐다 —
가져라 = D > 0 ·
없어라 = D ≤ 0
「없어라」에 등호가 붙는 까닭 — 중근일 때도 극값은 없기 때문이다. 바로 다음 장면이 그 이야기.
「없어라」에 등호가 붙는 까닭 — 중근일 때도 극값은 없기 때문이다. 바로 다음 장면이 그 이야기.
⭐ 오늘의 고비 · “제곱이 나오면 그 값을 가질 수가 없다”
f′ 이 x축에 닿기만 한다
원 그래프는 그냥 지나간다
인수분해했더니 제곱(중근) 이 나왔다면?
f′(x) = 0 이 되기는 하는데 부호가 안 바뀐다
→ 그래프가 잠깐 평평해졌다가 가던 방향 그대로
그 자리에는 극값이 없다
f′(x) = 0 이 되기는 하는데 부호가 안 바뀐다
→ 그래프가 잠깐 평평해졌다가 가던 방향 그대로
그 자리에는 극값이 없다
선생님은 보기를 읽으시다가 이렇게 되잡으셨다 —
"말도 안 되는 소리 하지 마라. 극대 아니다, 극소다."
→ 부호가 바뀌는 자리만 극값이다
⛰️
483번 · 오늘의 산봉우리 — 조건이 넷이다
f′(x) = 3x² + 2px + (p − 1) 일 때,
극대와 극소를 모두 −1과 1 사이에서 가지도록 하는 정수 p 의 개수
① 서로 다른 두 근
D > 0
D > 0
② 왼쪽 밖은 양수
f′(−1) > 0
f′(−1) > 0
③ 오른쪽 밖도 양수
f′(1) > 0
f′(1) > 0
④ 축이 구간 안에
−1 < −p∕3 < 1
−1 < −p∕3 < 1
"알파 플러스 베타를 반으로 나눈 값이 된다" — 두 근의 한가운데가 곧 축이다.
아래로 볼록한 f′ 이 구간 안에서만 음수가 되려면, 이 넷이 동시에 서야 한다.
아래로 볼록한 f′ 이 구간 안에서만 음수가 되려면, 이 넷이 동시에 서야 한다.
483번 ② · 계산해 보니 따질 필요가 없는 조건이었다
① 판별식 D∕4 = p² − 3(p − 1) = p² − 3p + 3
완전제곱으로 고치면 = (p − 3∕2)² + 3∕4
제곱은 절대로 음수가 안 된다. 거기에 3∕4 를 더하면 언제나 D > 0 — 어떤 p 라도 성립
완전제곱으로 고치면 = (p − 3∕2)² + 3∕4
제곱은 절대로 음수가 안 된다. 거기에 3∕4 를 더하면 언제나 D > 0 — 어떤 p 라도 성립
그래서 이 조건은 버린다
조건 넷 가운데 하나가 통째로 사라졌다.
계산을 해 봐야 이걸 알 수 있다 — 세워 보지도 않고 건너뛰면 안 되고,
세운 뒤에는 미련 없이 버려야 한다.
완전제곱 만들기는 답을 구하는 기술이 아니라 따질 것을 줄이는 기술이다.
483번 ③ · ⭐ “이것을 가장 먼저 해결을 봐야 되겠다”
p = 1 일 때 두 근은 −2∕3 과 0 ✓
② f′(−1) = 3 − 2p + (p − 1) = 2 − p > 0
→ p < 2
③ f′(1) = 3 + 2p + (p − 1) = 3p + 2 > 0 → p > −2∕3
④ −1 < −p∕3 < 1 → −3 < p < 3 (가장 넓다 — 저절로 따라온다)
→ −2∕3 < p < 2
③ f′(1) = 3 + 2p + (p − 1) = 3p + 2 > 0 → p > −2∕3
④ −1 < −p∕3 < 1 → −3 < p < 3 (가장 넓다 — 저절로 따라온다)
→ −2∕3 < p < 2
네 조건을 다 세워 놓고 보니 가장 좁은 것 하나가 답을 정해 버린다.
그 안의 정수는 p = 0, 1 — 두 개
(p = 2 면 근이 −1 이라 구간 밖 ✗ · p = −1 이면 근이 1 보다 커서 ✗)
493번 · 닫힌구간의 최대 · 최소
f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 3,
−2 ≤ x ≤ 2
굵은 부분만 본다 — 끝점도 후보다
f′(x) = 6(x + 2)(x − 1) → 후보 −2, 1
여기에 구간의 양 끝을 반드시 더한다
f(−2) = 23 · f(1) = −4 · f(2) = 7
최댓값 23 · 최솟값 −4 → 합 19
여기에 구간의 양 끝을 반드시 더한다
f(−2) = 23 · f(1) = −4 · f(2) = 7
최댓값 23 · 최솟값 −4 → 합 19
극값이 곧 최대 · 최소가 아니다. 닫힌구간에서는 끝점이 이기는 일이 흔하다 —
여기서도 최댓값을 가진 x = −2 가 바로 왼쪽 끝점이다.
490번 · 활용 — 넓이를 식으로 세워 미분한다
곡선 y = x² − 4 와 x축이 둘러싼 도형에 내접하는
직사각형의 넓이의 최댓값
가로 2a · 높이 4 − a²
S = 2a(4 − a²) = 8a − 2a³
(0 < a < 2)
넓이 자체를 미분한다
S′ = 8 − 6a² = −2(3a² − 4) = 0
→ a² = 4∕3, a = 2√3∕3
되넣으면 S = 32√3∕9
넓이 자체를 미분한다
S′ = 8 − 6a² = −2(3a² − 4) = 0
→ a² = 4∕3, a = 2√3∕3
되넣으면 S = 32√3∕9
활용 문제의 차례도 늘 같다 — ① 문자를 하나만 잡는다 ·
② 구할 것을 그 문자로 쓴다 · ③ 그 식을 미분한다.
마무리 · 오늘 배운 다섯 줄
f′ 이 x축에 걸치면
"내려오지 못하고 다시 올라간다"
① 미분한 그래프의 부호가 증가 · 감소를 정한다
② 모든 실수에서 증가 · 감소 → D ≤ 0 · 극값을 가져라 → D > 0
③ 구간 조건은 그 구간의 양 끝에서 미분값만 본다
④ 중근이 나오면 그 자리에는 극값이 없다
⑤ 닫힌구간에서는 끝점도 반드시 후보에 넣는다
② 모든 실수에서 증가 · 감소 → D ≤ 0 · 극값을 가져라 → D > 0
③ 구간 조건은 그 구간의 양 끝에서 미분값만 본다
④ 중근이 나오면 그 자리에는 극값이 없다
⑤ 닫힌구간에서는 끝점도 반드시 후보에 넣는다
"책보 가지 말고 선생님이 하라는 대로 하나씩 하나씩, 한방에 모든 걸 해결해 나가지 말고."
→ 조건이 넷이면 넷을 하나씩 세우고, 가장 좁은 것 하나를 먼저 잡아라
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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