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오늘은 도형의 닮음
닮음이 뭔데? — 모양은 똑같은데 크기만 다른 것.
대응하는 각의 크기는 그대로 같고, 대응하는 변의 길이만 일정한 비로 커지거나 작아진다.
그 일정한 비를 닮음비라고 한다. 오늘은 이 하나로 길이 · 넓이 · 부피를 전부 구한다.
대응하는 각의 크기는 그대로 같고, 대응하는 변의 길이만 일정한 비로 커지거나 작아진다.
그 일정한 비를 닮음비라고 한다. 오늘은 이 하나로 길이 · 넓이 · 부피를 전부 구한다.
먼저 · 닮음비를 잡는다
닮음비 = 대응하는 변의 길이의 비
4 : 6 = 2 : 3⇒
6 : 9 = 2 : 3⇒
8 : 12 = 2 : 3
⇒ 모든 대응변이 2 : 3
그런데 각은 커지지 않는다. 대응하는 각의 크기는 그대로 같다.
길이만 비로 변하고, 각은 그대로 — 이게 닮음이다.
길이만 비로 변하고, 각은 그대로 — 이게 닮음이다.
⭐ 오늘의 핵심
길이는 그대로 · 넓이는 제곱 · 부피는 세제곱
| 닮음비가 2 : 3 일 때 | 어떻게 | 비 |
|---|---|---|
| 길이 | 그대로 | 2 : 3 |
| 둘레 | 둘레도 길이다 | 2 : 3 |
| 넓이 | 2² : 3² | 4 : 9 |
| 부피 · 겉넓이는 넓이 | 2³ : 3³ · (겉넓이는 2² : 3²) | 8 : 27 |
예제① · 길이비 2 : 5 → 넓이
넓이는 제곱해서 4 : 25
길이 2 : 5 ⇒ 넓이 2² : 5² = 4 : 25
작은 쪽이 12 — 4에 ×3 을 해서 12
그러면 25에도 ×3 ⇒ 25 × 3 = 75
작은 쪽이 12 — 4에 ×3 을 해서 12
그러면 25에도 ×3 ⇒ 25 × 3 = 75
제곱근을 뽑을 필요가 없다. 몇 배를 곱했는지만 보면 된다.
되짚어 보면 12 × (25 ÷ 4) = 75 — 같은 값이 나온다 ✓
되짚어 보면 12 × (25 ÷ 4) = 75 — 같은 값이 나온다 ✓
⭐ 예제② · 겉넓이에서 길이를 되찾는다
겉넓이 144 : 256 → 부피 108 : ?
144 = 12² · 256 = 16²
⇒ 길이 12 : 16 = 3 : 4
길이 3 : 4 ⇒ 부피 3³ : 4³ = 27 : 64
작은 쪽 부피가 108 — 27에 ×4 를 해서 108
그러면 64에도 ×4 ⇒ 64 × 4 = 256
길이 3 : 4 ⇒ 부피 3³ : 4³ = 27 : 64
작은 쪽 부피가 108 — 27에 ×4 를 해서 108
그러면 64에도 ×4 ⇒ 64 × 4 = 256
겉넓이에서 길이를 되찾고, 되찾은 길이로 부피를 만든다.
세제곱하고 제곱하고 복잡하게 할 것 없이 얼마를 곱했는지만 보면 된다.
되짚어 보면 108 × (64 ÷ 27) = 256 — 같은 값이 나온다 ✓
되짚어 보면 108 × (64 ÷ 27) = 256 — 같은 값이 나온다 ✓
삼각형의 닮음 조건 · 세 가지뿐
두 삼각형이 닮음이라고 말할 수 있는 자리는 셋뿐이다
AA 닮음
두 쌍의 대응하는 각의 크기가
각각 같다
두 각이 같으면 나머지 하나는 저절로 같아진다
각각 같다
두 각이 같으면 나머지 하나는 저절로 같아진다
SSS 닮음
세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가
같다
길이가 같은 게 아니라 「비」가 같은 것
같다
길이가 같은 게 아니라 「비」가 같은 것
SAS 닮음
두 쌍의 변의 길이의 비가 같고,
그 끼인각의 크기가 같다
아무 각이 아니라 그 두 변 사이의 각
그 끼인각의 크기가 같다
아무 각이 아니라 그 두 변 사이의 각
변에는 비 ···
각에는 크기 ···
SAS는 끼인각
⛔ 시험에 꼭 나오는 함정 둘
각은 비가 아니라 크기가 같아야 한다
⛔ 「두 쌍의 대응하는 각의 크기의 비가 같으면 닮음」 ⇒
틀렸다. 각에는 비라는 말이 붙으면 안 된다.
⛔ 「두 쌍의 변의 비가 같고 한 각이 같으면 닮음」 ⇒ 틀렸다. 아무 각이 아니라 끼인각이어야 한다.
⛔ 「두 쌍의 변의 비가 같고 한 각이 같으면 닮음」 ⇒ 틀렸다. 아무 각이 아니라 끼인각이어야 한다.
⭐ 선생님 비법
겹쳐 있으면 떼어서 똑같이 그린다
직각인 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 수선을 내리고 발을 H라 하면 삼각형이 세 개 — 셋이 전부 닮음이다.
9 : 12 : 15 = 12 : 16 : 20 = 15 : 20 : 25 — 셋 다 3 : 4 : 5 다. 짧은 변끼리, 긴 변끼리 자리를 맞춰 그리면 바로 보인다.
9 : 12 : 15 = 12 : 16 : 20 = 15 : 20 : 25 — 셋 다 3 : 4 : 5 다. 짧은 변끼리, 긴 변끼리 자리를 맞춰 그리면 바로 보인다.
직각삼각형의 닮음 · 네 개의 공식
어떤 변을 제곱하면 그 변을 품은 조각의 밑변 둘을 곱한다
AB² = BH × BC
AC² = CH × CB
AH² = BH × CH
AB × AC = BC × AH
그림에서 확인 —
AB² = 9 × 25 = 225 → AB = 15 ·
AC² = 16 × 25 = 400 → AC = 20 ·
AH² = 9 × 16 = 144 → AH = 12
그리고 15 × 20 = 300, 25 × 12 = 300 — 넷째 공식도 딱 맞는다 ✓
그리고 15 × 20 = 300, 25 × 12 = 300 — 넷째 공식도 딱 맞는다 ✓
예제③ · AB 를 알 때 BH 구하기
AB = 12, BC = 16 일 때 BH = ?
12 는 AB ⇒ AB² = BH × BC
12² = x × 16 ⇒ 144 = 16x
⇒ x = 144 ÷ 16 = 9
12² = x × 16 ⇒ 144 = 16x
⇒ x = 144 ÷ 16 = 9
되짚어 보면 16 × 9 = 144 = 12² ✓
— 구하려는 것이 어느 변에 붙어 있는지만 보면, 쓸 공식이 저절로 정해진다.
예제④ · BH 와 BC 를 알 때 AB 구하기
BH = 9, BC = 25 일 때 AB = ?
AB 를 구한다 ⇒ AB² = BH × BC
y² = 9 × 25 = 225
9 = 3², 25 = 5² ⇒ 225 = (3 × 5)² = 15²
⇒ y = 15
y² = 9 × 25 = 225
9 = 3², 25 = 5² ⇒ 225 = (3 × 5)² = 15²
⇒ y = 15
제곱수끼리 곱해지면 근호 안에서 바로 뽑아 나온다.
√(9 × 25) = √9 × √25 = 3 × 5 = 15 — 225 를 따로 계산할 것도 없다.
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몇 배 몇인지만 찾으면
답은 따라온다
답은 따라온다
① 닮음 — 각은 크기가 그대로, 변은 일정한 비
② 닮음비가 k — 길이 · 둘레는 k, 넓이 · 겉넓이는 k², 부피는 k³
③ 거꾸로 — 넓이가 주어지면 제곱근, 부피가 주어지면 세제곱근으로 길이를 되찾는다
④ 삼각형의 닮음 조건은 AA · SSS · SAS 셋뿐 — 변에는 비, 각에는 크기, SAS는 끼인각
⑤ 직각삼각형은 수선을 내리면 세 삼각형이 모두 닮음 — 거기서 네 공식이 나온다
⑥ 겹쳐 있으면 떼어서 똑같이 그려라 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 닮음비가 k — 길이 · 둘레는 k, 넓이 · 겉넓이는 k², 부피는 k³
③ 거꾸로 — 넓이가 주어지면 제곱근, 부피가 주어지면 세제곱근으로 길이를 되찾는다
④ 삼각형의 닮음 조건은 AA · SSS · SAS 셋뿐 — 변에는 비, 각에는 크기, SAS는 끼인각
⑤ 직각삼각형은 수선을 내리면 세 삼각형이 모두 닮음 — 거기서 네 공식이 나온다
⑥ 겹쳐 있으면 떼어서 똑같이 그려라 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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