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오늘은 다항식의 곱셈공식
이 시간 내내 선생님이 되풀이하신 말은 딱 하나였다.
"몽땅 a, 몽땅 b" — 여러 개가 붙어 있으면 하나씩 곱하지 말고 통째로 묶어서 공식에 태워라.
"몽땅 a, 몽땅 b" — 여러 개가 붙어 있으면 하나씩 곱하지 말고 통째로 묶어서 공식에 태워라.
(5x − 2y)² 를 보면 →
5x = a, 2y = b
→ (a − b)² 하나면 끝난다
"여기까지 선생님이 해줄 거니까, 요거를 보고 이거 달달달 연습을 해라."
— 장대경 선생님, 강의를 닫으시며 (24:59)
펼치기 ① · 몽땅 a, 몽땅 b
(5x − 2y)² 를 펼쳐라
묶어 놓고 보면
a = 5x · b = 2y
↓
(a − b)² = a² − 2ab + b²
"요거하고 똑같은 거란 말이야"
a = 5x · b = 2y
↓
(a − b)² = a² − 2ab + b²
"요거하고 똑같은 거란 말이야"
| a² 자리 | (5x)² = 25x² |
| −2ab 자리 | −2 · 5x · 2y = −20xy |
| b² 자리 | (2y)² = 4y² |
(5x − 2y)² = 25x² − 20xy + 4y²
펼치기 ② · 분수여도 똑같다
(x + ⅓)² — 자리에 그대로 넣기만 한다
| a² 자리 | x² |
| +2ab 자리 | 2 · x · ⅓ = ⅔x |
| b² 자리 | (⅓)² = 1/9 |
(x + ⅓)² = x² + ⅔x + 1/9
분수라고 겁먹을 것이 하나도 없다.
b 자리에 ⅓ 을 그대로 앉히면 나머지는 공식이 알아서 해 준다.
374번 · 후보를 하나씩 다 펼쳐 버린다
상수항은 셋 다 9 — 갈리는 자리는 가운데 항
| (x + 3)² | x² | + 6x | + 9 |
| (½x + 3)² | ¼x² | + 3x | + 9 |
| (2x + 3)² | 4x² | + 12x | + 9 |
뒤가 모두 + 3 이니 상수항은 전부 9 로 같다.
그러니 이런 문제에서는 가운데 항 하나만 견주면 답이 바로 갈린다 —
가운데 항은 2 × (앞) × 3 이라 앞의 계수를 6배 한 값이다.
거꾸로 · "똑같이 두 개를 만들어 버려"
(ax + 3b)² 의 x²계수가 16, 상수항이 4, 그리고 ab > 0
ax + 3b
ax + 3b
두 줄로 세워 놓고 · 앞끼리 · 뒤끼리 · 십자로
| 앞끼리 = x²의 계수 | a² = 16 → a = 4 |
| 뒤끼리 = 상수항 | (3b)² = 4 → b² = 4/9 → b = ⅔ |
| ab > 0 이므로 | a, b 부호가 같다 → 3b = 2 |
| 십자로 = x의 계수 | 2 · 4 · 2 = 16 |
선생님도 여기서 한 번 어긋나셨다가 그 자리에서 고치셨다 —
"48이 바로 x의 계수가 된다" →
"아 이게 2가 되네 … 쏘리 여기에 2가 됩니다 … 16이 나와야 된다"
3b 를 3이 아니라 2 로 잡아야 한다는 것을 되짚으신 대목. 고친 값 16 이 맞다.
합차 공식 · 가운데가 통째로 사라진다
(a + b)(a − b) = a² − b²
(½x + 4y)(½x − 4y)
→
앞을 제곱 ¼x² ·
뒤를 제곱 16y²
= ¼x² − 16y²
= ¼x² − 16y²
펼쳐 보면 +2xy 와 −2xy 가 서로 지워진다.
그래서 가운데 항이 아예 없다 — 합차 꼴을 알아보는 순간 두 번만 제곱하면 끝난다.
합차를 이어서 · 두 개씩 잡아먹는다
(1 − a)(1 + a)(1 + a²)(1 + a⁴)
(1 − a)(1 + a)
→
1 − a²
×(1 + a²) →
1 − a⁴
×(1 + a⁴) →
1 − a⁸
네 개를 그냥 펼치려면 한참 걸린다. 그런데 앞에서부터 두 개씩 합차로 잡아먹으면
세 걸음이면 끝난다. 결과는 1 − a⁸.
눈여겨볼 것 — 매번 a 의 지수가
1 → 2 → 4 → 8 로 두 배가 된다.
그래서 괄호가 몇 개든 마지막 지수를 바로 말할 수 있다.
이 시간 내내 되풀이된 물음
"x가 되는 걸 찾아봐" · "xy를 찾아야 돼" · "y의 계수를 찾아라"
묻는 것
x 의 계수
할 일
곱해서 x 가 되는 짝만 고른다
안 할 일
나머지 항은 쳐다보지도 않는다
두 괄호를 곱할 때 x 가 되는 짝은 딱 둘이다 —
(앞의 상수)×(뒤의 x) 와
(앞의 x)×(뒤의 상수).
→ 그 둘만 더하면 x 의 계수
"요걸로 그렇게 만들어 버려, 앞으로 안 헷갈리게." · "헷갈릴 필요가 없다니까."
— 장대경 선생님 (12:29 · 22:57)
마지막 · 펼치고 같은 자리끼리 모은다
(x − 5)(x + 3) − 3(x + 1)(x − 6)
| 앞엣것 | (x − 5)(x + 3) = x² − 2x − 15 |
| 뒤 괄호 먼저 | (x + 1)(x − 6) = x² − 5x − 6 |
| −3 을 몽땅 곱한다 | −3x² + 15x + 18 |
여기가 함정 — "빼라 그랬기 때문에 부호를 바꿔야 돼요."
−6 에 −3 을 곱하면
+18 이다. 여기서 부호를 흘리면 상수항이 통째로 어긋난다.
x² : 1 − 3 = −2 ·
x : −2 + 15 = 13 ·
상수 : −15 + 18 = 3
→ −2x² + 13x + 3
이 단원의 뼈대 · 교과서 곱셈공식
여기까지 왔으면 이 여섯 줄은 붙잡아 두자
세 항(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)제곱 셋 · 짝 셋 · 짝엔 2배
세제곱(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³계수 1 · 3 · 3 · 1
세제곱(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³부호가 하나씩 엇갈린다
합·차(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³ · (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³가운데 부호가 반대
변형a² + b² = (a + b)² − 2ab합과 곱만 알면 된다
변형a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)합과 곱만 알면 된다
※ 이 표는 선생님 강의에 직접 나온 대목이 아니라, 이 단원의 뼈대로 따로 정리해 붙인 교과서 공식이다.
아래 연습문제에서 이 여섯 줄을 하나씩 써 보게 된다.
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통째로 묶어 공식에 태운다
① 몽땅 a, 몽땅 b — 여러 개가 붙어 있으면 묶어서 공식 하나로
② 제곱은 똑같이 두 개를 만들어 놓고 십자로 곱한다
③ 합차 (a+b)(a−b) = a² − b² 는 이어서 쓴다 — 두 개씩 잡아먹으며 간다
④ 계수를 물으면 그 항이 되는 짝만 골라서 더한다 — 다 펼치지 않는다
⑤ 빼라고 하면 부호를 바꿔야 된다 · 세 항의 제곱과 세제곱 공식, 변형까지 붙잡아 둔다 "요거를 보고 이거 달달달 연습을 해라" — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 제곱은 똑같이 두 개를 만들어 놓고 십자로 곱한다
③ 합차 (a+b)(a−b) = a² − b² 는 이어서 쓴다 — 두 개씩 잡아먹으며 간다
④ 계수를 물으면 그 항이 되는 짝만 골라서 더한다 — 다 펼치지 않는다
⑤ 빼라고 하면 부호를 바꿔야 된다 · 세 항의 제곱과 세제곱 공식, 변형까지 붙잡아 둔다 "요거를 보고 이거 달달달 연습을 해라" — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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