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오늘은 다면체
다면체가 뭔데? — 이름을 그대로 읽으면 된다.
많을 다(多), 면 면(面). 면이 많은 것.
평평한 다각형 면으로만 둘러싸인 입체를 다면체라고 한다.
많을 다(多), 면 면(面). 면이 많은 것.
평평한 다각형 면으로만 둘러싸인 입체를 다면체라고 한다.
먼저 · 이름 세 개를 붙인다
꼭짓점 · 모서리 · 면 — 오늘 묻는 건 이 셋의 개수뿐
꼭짓점
뾰족하게 모인 점
모서리
두 면이 만나 생긴 선
면
평평한 다각형 조각
개념 확인 · 빈칸을 채워 보자
위 · 아래 · 옆으로 갈라서 센다
| 꼭짓점 | 모서리 | 면 | 이름 | |
|---|---|---|---|---|
| 왼쪽 (사각기둥) | 8 | 12 | 6 | 육면체 |
| 오른쪽 (사각뿔) | 5 | 8 | 5 | 오면체 |
기둥은 위 4 + 아래 4 로 꼭짓점 8, 위 4 + 아래 4 + 서 있는 것 4 로 모서리 12.
뿔은 밑에 4 + 꼭대기 1 로 꼭짓점 5, 밑에 4 + 올라가는 것 4 로 모서리 8.
뿔은 밑에 4 + 꼭대기 1 로 꼭짓점 5, 밑에 4 + 올라가는 것 4 로 모서리 8.
⛔ 여기서 먼저 지운다
원이 들어 있으면
다면체가 아니다
다면체가 아니다
다면체는 평평한 다각형 면으로만 둘러싸여야 한다.
⇒ 원은 다각형이 아니다
⇒ 원기둥 · 원뿔 · 구는 다면체가 아니다
그래서 「다면체인 것을 모두 고르시오」가 나오면 원이 들어간 것부터 지우면 된다.
갈래는 셋뿐 · 기둥 · 뿔 · 뿔대
뿔대 — 뿔을 밑면과 나란하게 잘라 아래쪽만 남긴 것
각기둥
밑면이 위아래 두 개, 옆면은 직사각형
각뿔
밑면이 하나, 옆면은 삼각형, 꼭대기가 한 점
각뿔대
뿔의 꼭대기를 잘라낸 것 — 밑면이 둘, 옆면은 사다리꼴
오각 삼형제 · 이름과 옆면
바닥이 오각형이면 앞에 「오각」이 붙는다
오각기둥
옆면 — 직사각형
옆면 — 직사각형
오각뿔
옆면 — 삼각형
옆면 — 삼각형
오각뿔대
옆면 — 사다리꼴
옆면 — 사다리꼴
옆면 모양만 보면 갈래가 바로 갈린다 —
직사각형이면 기둥, 삼각형이면 뿔, 사다리꼴이면 뿔대.
오각 삼형제 · 꼭짓점과 모서리를 센다
세는 차례는 언제나 위 → 아래 → 옆
| 꼭짓점 | 어떻게 세었나 | 모서리 | 어떻게 세었나 | |
|---|---|---|---|---|
| 오각기둥 | 10 | 위 5 + 아래 5 | 15 | 위 5 + 아래 5 + 서 있는 것 5 |
| 오각뿔 | 6 | 밑에 5 + 꼭대기 1 | 10 | 밑에 5 + 올라가는 것 5 |
| 오각뿔대 | 10 | 위 5 + 아래 5 | 15 | 위 5 + 아래 5 + 비스듬한 것 5 |
그래서 n 각으로 바꿔 쓰면
기둥 · 뿔대 — 꼭짓점 2n, 모서리 3n
· 뿔 — 꼭짓점 n + 1, 모서리 2n
⭐ 면은 더 쉽다 · 밑면만 세면 끝
기둥 + 2 · 뿔 + 1 · 뿔대 + 2
각기둥 — n + 2
옆면 n 개 + 위 뚜껑 · 밑바닥 둘
각뿔 — n + 1
옆면 n 개 + 밑면 하나
각뿔대 — n + 2
옆면 n 개 + 밑면이 위아래 둘
물음 다음 중 육면체인 것을 모두 고르시오.
| 사각기둥 | 4 + 2 = 6 | ✔ 육면체 | 사각뿔대 | 4 + 2 = 6 | ✔ 육면체 |
| 오각기둥 | 5 + 2 = 7 | ✘ | 오각뿔대 | 5 + 2 = 7 | ✘ |
| 육각기둥 | 6 + 2 = 8 | ✘ |
거꾸로 · 조건을 읽고 이름을 찾는다 ①
옆면이 사다리꼴이면 뿔대 — 그 다음에 면 개수로 n 을 찾는다
두 밑면이 서로 평행하다
옆면이 직사각형이 아니라 사다리꼴이다 ⇒ 뿔대
옆면이 직사각형이 아니라 사다리꼴이다 ⇒ 뿔대
팔면체다 ⇒ 뿔대는 면이 n + 2
n + 2 = 8 ⇒ n = 6 ⇒ 육각뿔대
n + 2 = 8 ⇒ n = 6 ⇒ 육각뿔대
면의 개수와 꼭짓점의 개수가 같은 것은?
하나씩 세어 놓고 두 칸을 견준다
| 면 | 꼭짓점 | ||
|---|---|---|---|
| 육각기둥 | 6 + 2 = 8 | 6 × 2 = 12 | 다르다 |
| 육각뿔 | 6 + 1 = 7 | 6 + 1 = 7 | ✔ 같다 |
| 팔각뿔대 | 8 + 2 = 10 | 8 × 2 = 16 | 다르다 |
| 구각기둥 | 9 + 2 = 11 | 9 × 2 = 18 | 다르다 |
⭐ 여기서 하나 챙겨 간다 — 각뿔은 언제나 면의 개수와 꼭짓점의 개수가 같다.
면 = 옆면 n + 밑면 1 · 꼭짓점 = 밑에 n + 꼭대기 1 — 둘 다 n + 1 이다.
면 = 옆면 n + 밑면 1 · 꼭짓점 = 밑에 n + 꼭대기 1 — 둘 다 n + 1 이다.
모서리가 18개인 뿔대
뿔대의 모서리는 위 · 아래 · 옆 이 똑같이 세 몫
18 ÷ 3 = 6
⇒ 육각뿔대
8면 = 6 + 2
12꼭짓점 = 6 × 2
20면 + 꼭짓점
모서리에서 n 을 되찾고,
되찾은 n 으로 면과 꼭짓점을 다시 만든다.
거꾸로 · 조건을 읽고 이름을 찾는다 ②
옆면이 직사각형이면 기둥 — 구면체라니 n 은?
두 밑면이 서로 평행하다
옆면이 직사각형이다 ⇒ 기둥
옆면이 직사각형이다 ⇒ 기둥
구면체다 ⇒ 기둥은 면이 n + 2
n + 2 = 9 ⇒ n = 7 ⇒ 칠각기둥
n + 2 = 9 ⇒ n = 7 ⇒ 칠각기둥
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"몇 개냐" 하나만 묻는다
다면체
다면체
① 다면체는 평평한 다각형 면으로만 둘러싸인 입체 — 원이 들어가면 아니다
② 갈래는 셋 — 기둥 · 뿔 · 뿔대. 옆면이 직사각형 · 삼각형 · 사다리꼴
③ n각기둥 — 꼭짓점 2n · 모서리 3n · 면 n + 2
④ n각뿔 — 꼭짓점 n + 1 · 모서리 2n · 면 n + 1
⑤ n각뿔대 — 꼭짓점 2n · 모서리 3n · 면 n + 2
⑥ 외우려 들지 말고 위 · 아래 · 옆으로 갈라서 세면 저절로 나온다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 갈래는 셋 — 기둥 · 뿔 · 뿔대. 옆면이 직사각형 · 삼각형 · 사다리꼴
③ n각기둥 — 꼭짓점 2n · 모서리 3n · 면 n + 2
④ n각뿔 — 꼭짓점 n + 1 · 모서리 2n · 면 n + 1
⑤ n각뿔대 — 꼭짓점 2n · 모서리 3n · 면 n + 2
⑥ 외우려 들지 말고 위 · 아래 · 옆으로 갈라서 세면 저절로 나온다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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