🔵📐
외심? 내심?
안에 쏙 들어간 원의 중심
안에 쏙 들어간 원의 중심
삼각형 안에 쏙 들어가 세 변에 모두 닿는 원을 내접원이라 하고,
그 원의 중심이 바로 내심이야. 원이 안에 있으면 내심!
그 원의 중심이 바로 내심이야. 원이 안에 있으면 내심!
🔑 핵심① · 내심에서 세 변까지는 모두 반지름
ID = IE = IF — 셋 다 내접원의 반지름이라서 길이가 같아.
외심은 꼭짓점까지가 같았고, 내심은 변까지가 같아.
외심은 꼭짓점까지가 같았고, 내심은 변까지가 같아.
🐣 먼저 쉽게 — 삼각형 안에 원을 넣어 봐
세 변에 모두 딱 닿는 원을 안에 그려 넣으면 그것이 내접원,
그 원의 중심 I가 이 삼각형의 내심이야.
그 원의 중심 I가 이 삼각형의 내심이야.
🔑 핵심② · 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다
∠B와 ∠C의 이등분선의 교점 I → ID = IF
△IAD와 △IAF에서 ∠IDA = ∠IFA = 90°,
빗변 IA는 공통, ID = IF → RHS 합동
→ ∠IAD = ∠IAF → AI는 ∠A의 이등분선
△IAD와 △IAF에서 ∠IDA = ∠IFA = 90°,
빗변 IA는 공통, ID = IF → RHS 합동
→ ∠IAD = ∠IAF → AI는 ∠A의 이등분선
접점까지의 반지름이 같아서 직각삼각형 두 개가 합동!
그래서 나머지 한 각의 이등분선도 반드시 이 점을 지나.
그래서 나머지 한 각의 이등분선도 반드시 이 점을 지나.
🔑 핵심③ · 반쪽 각 세 개를 더하면 90°
x가 두 개, y가 두 개, z도 두 개
2x + 2y + 2z = 180°
→ x + y + z = 90°
2x + 2y + 2z = 180°
→ x + y + z = 90°
세 내각을 반으로 갈랐으니 한 개씩만 더하면 180°의 절반.
이게 내심 문제의 첫 번째 무기야.
이게 내심 문제의 첫 번째 무기야.
예제① · 15° + 30° + x = 90°
15° + 30° + x = 90°
x = 90° − 45° → x = 45°
x = 90° − 45° → x = 45°
반쪽 각을 한 개씩만 더한 것이라 합이 90°. 바로 답이 나와.
🔑 핵심④ · ∠BIC = 90° + ½∠A
△IBC에서 ∠IBC = y, ∠ICB = z
∠BIC = 180° − (y + z)
그런데 y + z = 90° − x
→ ∠BIC = 90° + x = 90° + ½∠A
∠BIC = 180° − (y + z)
그런데 y + z = 90° − x
→ ∠BIC = 90° + x = 90° + ½∠A
∠A만 알면 가운데 각이 바로 나와. 내심 문제의 두 번째 무기야.
예제② · ½∠A 를 알 때 ∠BIC 구하기
½∠A = 25° → ∠BIC = 90° + 25° = 115°
½∠A = 36° (즉 ∠A = 72°) → ∠BIC = 90° + 36° = 126°
½∠A = 36° (즉 ∠A = 72°) → ∠BIC = 90° + 36° = 126°
더하는 것은 ∠A의 절반이야. ∠A 전체를 더하지 않도록 조심!
예제③ · 거꾸로 — ∠BIC = 116° 일 때 ∠A
90° + ½∠A = 116°
½∠A = 116° − 90° = 26° → ∠A = 2 × 26° = 52°
공식을 거꾸로 쓰는 문제야. 90°를 먼저 빼고, 마지막에 두 배.
예제④ · ∠A = 70° 인 삼각형
∠BIC = 90° + 35° = 125°
△IBC에서 나머지 두 각의 합
= 180° − 125° = 55°
△IBC에서 나머지 두 각의 합
= 180° − 125° = 55°
각 하나로 가운데 각도, 아래 두 각의 합도 한꺼번에 나와.
🔑 핵심⑤ · 넓이 = ½ × r × (세 변의 합)
세 조각의 높이가 모두 r
½rc + ½ra + ½rb
→ S = ½ r (a + b + c)
½rc + ½ra + ½rb
→ S = ½ r (a + b + c)
내심에서 세 꼭짓점을 이으면 삼각형 세 개. 높이가 전부 반지름이라 이렇게 묶여.
예제⑤ · 직각을 낀 두 변이 6cm, 8cm 인 직각삼각형
넓이 S = 8 × 6 ÷ 2 = 24
빗변 = √(6²+8²) = 10 → 둘레 = 24
½ × r × 24 = 24 → r = 2 cm
빗변 = √(6²+8²) = 10 → 둘레 = 24
½ × r × 24 = 24 → r = 2 cm
넓이를 두 가지 방법으로 쓴 거야. 하나는 밑변×높이, 하나는 ½r(a+b+c).
🔑 핵심⑥ · 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다
AD = AF = a · BD = BE = b · CE = CF = c
둘레 = 2(a + b + c)
→ a + b + c = 둘레의 절반
둘레 = 2(a + b + c)
→ a + b + c = 둘레의 절반
같은 꼭짓점에서 나온 두 접선은 길이가 같아. 그래서 둘레가 딱 두 배로 묶여.
예제⑥ · 둘레 30cm, BC = 12cm → AD 는?
2(a + b + c) = 30 → a + b + c = 15
BC = b + c = 12 → a = 15 − 12 = 3
AD = a = 3 cm
BC = b + c = 12 → a = 15 − 12 = 3
AD = a = 3 cm
둘레의 절반에서 마주 보는 변을 빼면 그 꼭짓점의 접선 길이야.
예제⑦ · 둘레 22cm, AC = 5cm → BD 는?
2(a + b + c) = 22 → a + b + c = 11
AC = c + a = 5 → b = 11 − 5 = 6
BD = b = 6 cm
AC = c + a = 5 → b = 11 − 5 = 6
BD = b = 6 cm
푸는 방법이 앞 문제와 똑같아. 묻는 꼭짓점의 마주 보는 변만 바뀐 거야.
🔑 핵심⑦ · 내심을 지나 BC와 평행하게 그으면
엇각이 같고 BI는 이등분선
→ △PBI는 이등변삼각형 → PI = PB
같은 방법으로 IQ = QC
→ △APQ의 둘레 = AB + AC
→ △PBI는 이등변삼각형 → PI = PB
같은 방법으로 IQ = QC
→ △APQ의 둘레 = AB + AC
평행선의 엇각과 각의 이등분선이 만나면 언제나 이등변삼각형이 생겨.
🔵📐
"세 변까지가 다 같다"
삼각형의 내심
삼각형의 내심
① ID=IE=IF · ② 반쪽 각 셋을 더하면 90° · ③ ∠BIC = 90° + ½∠A
④ 넓이 = ½r(a+b+c) · ⑤ 접선의 길이는 같다
IA = IB = IC 는 내심이 아니라 외심의 성질 — 헷갈리지 말자.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
④ 넓이 = ½r(a+b+c) · ⑤ 접선의 길이는 같다
IA = IB = IC 는 내심이 아니라 외심의 성질 — 헷갈리지 말자.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
1 / 17