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오늘은 귀납적 정의 · 실전
첫째항 하나 + 관계식 하나로 수열이 정해진다는 건 이미 배웠다.
오늘은 그걸 가지고 진짜 문제를 푸는 자리다.
실전에서 하는 일 ①
n 자리에 1, 2, 3 을 차례로 잡아 넣어 항을 실제로 만든다
실전에서 하는 일 ②
만들어 놓은 항을 나란히 놓고 규칙을 눈으로 찾는다
실전 ① · 분수가 붙은 귀납식
a1 = 2,
an+1 = 2n + 12n − 1 an
분수가 붙어 있으니 겁부터 난다. 그런데 하는 일은 똑같다 — n 자리에 잡아 넣는다.
| n = 1 | a2 = 2·1 + 12·1 − 1 a1 = 31 × 2 = 3 × 2 | 6 |
"여기다 일자 번 넣으니까 어떻게 되나, 1분의 3이 되는 거야.
그러면 3 곱하기 2가 되기 때문에 6이 되는 걸 알 수가 있다."
실전 ① · 약분해 버리면 끝이다
n 에 2 를 넣고, 다시 3 을 넣는다
| n = 2 | a3 = 53 a2 = 53 × 6 | 10 |
| n = 3 | a4 = 75 a3 = 75 × 10 | 14 |
"약분 시키니까 10이 나오는 걸 알 수가 있다"
·
"약분시키니까 요거 14가 나오네"
실전에서 분수가 나오면 겁내지 말고 그냥 약분해 버려라. 그게 다다.
★ 나란히 놓으면 규칙이 보인다
"여기서 4 를 더하면 요놈이 돼"
2a1
6a2
10a3
14a4
18a5
22a6
26a7
30a8
이웃한 항의 차가 언제나 +4
⇒ 분수 꼴로 생긴 귀납식이었는데
⇒ 공차가 4 인 등차수열
실전 ② · 첫째항을 거꾸로 찾는다
an+1 = an + 2n,
a7 = 130
이번엔 첫째항을 모른다. 모르니까 그냥 a 라고 두자.
a1 = a
→
a2 = a1 + 21 = a + 2
"a2 는 a1 더하기 2의 1승이 되는 걸 알 수 있단 말이에요."
한 항마다 2n 이 하나씩 쌓인다
쌓이는 꼴을 그대로 적어 내려간다
| a2 | a1 + 21 | a + 21 |
| a3 | a2 + 22 | a + 21 + 22 |
| a4 | a3 + 23 | a + 21 + 22 + 23 |
"이만큼이 a3 이기 때문에" — 앞의 것을 통째로 갈아 끼우는 것이 요령이다.
★ 지수가 어디까지 갔는지 세어라
a7 = a + 21 + 22
+ 23 + 24 + 25 + 26 = 130
"2의 1승, 2의 2승, 2의 3승, 2의 4승, 2의 5승, 2의 6승까지 가는구나"
⚠ 여기가 함정이다 — a7 까지 왔는데 지수는 6 까지만 간다.
7 까지 가는 것이 아니다. (a1 에서 a7 까지 여섯 걸음이니까)
"이게 뭔데, 130이 되더라 이 말이야."
쌓인 것을 등비수열의 합으로 접는다
21 + 22 + ⋯ + 26 —
두 배씩 커지니 등비수열
첫째항 2 ·
공비 2 · 항이 6 개
⇒
a (rn − 1)r − 1
= 2 (26 − 1)2 − 1
= 27 − 2
25 = 32↓
26 = 64↓
27 = 128↓
128 − 2 = 126합
답 · 그리고 되돌려 맞춰 보기
a + 126 = 130
⇒
a1 = 4
진짜 맞는지 첫째항부터 되돌려서 확인해 보자
4a1
6+21
10+22
18+23
34+24
66+25
130+26 = a7
a7 이 정확하게 130. 답을 구했으면
되돌려서 맞춰 보는 것까지가 실전이다.
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실전 손버릇 여섯
① 겁내지 말고 n 자리에 1, 2, 3 을 잡아 넣어 항을 실제로 만든다
② 분수가 나오면 그냥 약분해 버린다
③ 만들어 놓은 항을 나란히 놓고 차를 본다 · 차가 같으면 등차수열
④ 한 항마다 쌓여 가는 꼴이면 쌓인 것을 모아 합 공식으로 접는다
⑤ 지수가 어디까지 갔는지 반드시 세어 본다 (a7 이면 26 까지)
⑥ 답이 나왔으면 첫째항부터 되돌려 맞춰 본다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 분수가 나오면 그냥 약분해 버린다
③ 만들어 놓은 항을 나란히 놓고 차를 본다 · 차가 같으면 등차수열
④ 한 항마다 쌓여 가는 꼴이면 쌓인 것을 모아 합 공식으로 접는다
⑤ 지수가 어디까지 갔는지 반드시 세어 본다 (a7 이면 26 까지)
⑥ 답이 나왔으면 첫째항부터 되돌려 맞춰 본다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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