Σ³
거듭제곱의 합 —
외울 공식은 셋이 아니라 넷
외울 공식은 셋이 아니라 넷
1, 2, 3, 4 … 이렇게 쭉 가는 것을 다 더하라는 거야.
제일 끝에 있는 것이 일반항이고, 그 앞에 Σ를 붙여 주면 그만이지.
오늘은 그 공식을 세우고, 그 공식으로 실전 문제를 푼다.
오늘은 그 공식을 세우고, 그 공식으로 실전 문제를 푼다.
🔑 핵심① · 거듭제곱마다 공식이 하나씩
Σnk=1k
= n(n + 1)2
Σnk=1k²
= n(n + 1)(2n + 1)6
Σnk=1k³
= {n(n + 1)2}2
1, 2, 3, 4 … ⇒ 일반항 k
| 1², 2², 3² … ⇒ k²
| 1³, 2³, 3³ … ⇒ k³
세제곱은 Σk 를 통째로 제곱한 것 — 셋 중에 가장 외우기 쉽다
세제곱은 Σk 를 통째로 제곱한 것 — 셋 중에 가장 외우기 쉽다
🔑 핵심② · 선생님이 하나 더 얹어 주신 네 번째 공식
Σnk=1(k² + k)
=
n(n + 1)(n + 2)3
세우는 길 —
n(n+1)(2n+1)6
+
3n(n+1)6
=
n(n+1)6
{(2n + 1) + 3}
=
n(n+1)·2(n + 2)6
⇒
n(n+1)(n+2)3
"근데 우리가 또 많이 나오는 게 있어 — k² + k. 알아 놓으면 훨씬 더 계산하기가 편하다."
"근데 우리가 또 많이 나오는 게 있어 — k² + k. 알아 놓으면 훨씬 더 계산하기가 편하다."
✏️ 예제① · Σ10k=1(k³ − 3k²) — 공통인수를 빼낸다
Σk³ =
{10 · 112}2
= 552
|
3Σk² = 3 ·
10 · 11 · 216
= 55 · 21
양쪽에 똑같이 들어 있는 55 를 하나 빼내면 ⇒ 55(55 − 21) = 55 · 34 = 1870
양쪽에 똑같이 들어 있는 55 를 하나 빼내면 ⇒ 55(55 − 21) = 55 · 34 = 1870
3025 − 1155 을 큰 수로 빼지 마라.
공통에서 55를 먼저 빼내면 곱셈 한 번으로 끝난다.
✏️ 예제② · Σ8k=1(4k − 2k²) — 부호가 뒤집혀도 같은 길
4Σk = 4 ·
8 · 92
= 8 · 18
|
2Σk² = 2 ·
8 · 9 · 176
= 8 · 3 · 17 = 8 · 51
양쪽에 똑같이 8 이 있으니 빼내면 ⇒ 8(18 − 51) = 8 · (−33) = −264
양쪽에 똑같이 8 이 있으니 빼내면 ⇒ 8(18 − 51) = 8 · (−33) = −264
Σk² 쪽이 훨씬 크니 답은 음수다.
부호는 괄호 안에서 결정된다.
🔑 핵심③ · Σ 안에 또 합이 있으면 — "요거를 먼저 계산해야 돼"
Σnk=1
( 1 + 2 + ⋯ + k )
⇒ 안쪽을 먼저 한 덩이로
① 안쪽 합을 공식으로 한 덩이로 만든다
⇒ 그것이 새 일반항이 된다
② 그 다음에야 바깥 Σ 에 손을 댄다 — 안쪽을 정리하지 않고는 바깥에 손을 못 댄다
② 그 다음에야 바깥 Σ 에 손을 댄다 — 안쪽을 정리하지 않고는 바깥에 손을 못 댄다
✏️ 예제③ · Σ20k=1
1 + 2 + ⋯ + kk
안쪽 =
k(k + 1)2
⇒ 분모의 k 와 k 를 날려버리면
k + 12
=
12k
+ 12
12 · 20 · 212 = 105 | 뒤의 12 는 상수 — 항의 개수 20 과 곱해 = 10
⇒ 105 + 10 = 115
12 · 20 · 212 = 105 | 뒤의 12 는 상수 — 항의 개수 20 과 곱해 = 10
⇒ 105 + 10 = 115
쪼갠 뒤 "요거 따로 요거 따로" —
k가 붙은 쪽은 공식, k가 없는 쪽은 개수와 곱.
✏️ 예제④ · Σ10k=1
1² + 2² + ⋯ + k²k
안쪽 =
k(k+1)(2k+1)6
⇒ k 를 날리면
(k+1)(2k+1)6
=
2k² + 3k + 16
=
13k²
+ 12k
+ 16
13 · 10·11·216 = 3853 | 12 · 10·112 = 552 | 16 은 상수 ⇒ 106
3853 + 53 = 130 ⇒ 130 + 552 = 3152
13 · 10·11·216 = 3853 | 12 · 10·112 = 552 | 16 은 상수 ⇒ 106
3853 + 53 = 130 ⇒ 130 + 552 = 3152
✏️ 예제⑤ · 거꾸로 — 합이 840 이면 n 은 얼마인가
Σnk=1{(k + 1)² − (k − 1)²}
= 840
(k² + 2k + 1) − (k² − 2k + 1) = 4k (제곱도 상수도 통째로 사라진다)
4 · n(n + 1)2 = 2n(n + 1) = 840 ⇒ n(n + 1) = 420 = 20 · 21 ⇒ n = 20
(k² + 2k + 1) − (k² − 2k + 1) = 4k (제곱도 상수도 통째로 사라진다)
4 · n(n + 1)2 = 2n(n + 1) = 840 ⇒ n(n + 1) = 420 = 20 · 21 ⇒ n = 20
답이 주어지고 n을 찾는 문제도 길은 같다 —
먼저 Σ 안을 정리하고, 그 다음에 방정식.
🔑 핵심④ · 부분합이 통째로 들어오면 — 여기서 k² + k 가 산다
1 + 2 + ⋯ + k =
k(k + 1)2
=
12
(k² + k)
½ 을 앞으로 빼내고 나면 남는 것이 k² + k
⇒ 아까 만들어 둔 네 번째 공식 을 그대로 얹는다
"k² + k 는 공식을 외워놓으면 훨씬 더 쉽게 문제를 풀 수가 있다."
"k² + k 는 공식을 외워놓으면 훨씬 더 쉽게 문제를 풀 수가 있다."
✏️ 예제⑥ · Σnk=1(1 + 2 + 3 + ⋯ + k)
안쪽 =
k(k+1)2
⇒
12
Σ(k² + k)
=
12 ·
n(n+1)(n+2)3
⇒
n(n + 1)(n + 2)6
공식을 몰랐다면 Σk² 와 Σk 를 따로 세워 통분해야 한다.
알고 있으면 한 줄이다.
✏️ 예제⑦ · Σnk=1{1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1)}
안쪽의 일반항이 2k − 1 ⇒
2 · k(k + 1)2
− k
(상수 1은 항의 개수 k 와 곱한다)
= (k² + k) − k = k² ⇒ 결국 Σnk=1k² = n(n + 1)(2n + 1)6
= (k² + k) − k = k² ⇒ 결국 Σnk=1k² = n(n + 1)(2n + 1)6
홀수를 k개 더하면 k² —
안쪽을 접었더니 아는 공식 하나만 남았다.
✏️ 예제⑧ · 1·3 + 2·4 + 3·5 + ⋯ + 12·14
앞은 1, 2, 3 … ⇒ k
| 뒤는 3, 4, 5 … ⇒ k + 2
⇒ 일반항 k² + 2k
| 끝이 12·14 ⇒ 항이 12개
Σk² = 12 · 13 · 256 = 650 | 2Σk = 2 · 12 · 132 = 156
⇒ 650 + 156 = 806
Σk² = 12 · 13 · 256 = 650 | 2Σk = 2 · 12 · 132 = 156
⇒ 650 + 156 = 806
두 수의 차가 늘 2인 것을 보면 일반항이 선다.
그리고 항의 개수부터 센다.
🔑 핵심⑤ · Σ 가 둘이면 — 안쪽을 접고, 글자를 k 로 바꿔버려라
Σnl=1
Σlk=1ak
⇒ 안쪽 한 덩이 ⇒
글자를 k 로
① 안쪽 Σ 를 계산해 l 에 대한 식 한 덩이로 만든다
|
② 안쪽에서 바깥 글자는 상수다 — 항의 개수와 곱한다
③ 정리가 끝나면 "헷갈리니까 이걸 다 k로 바꿔버려" ⇒ 그러면 아는 공식 그대로다
③ 정리가 끝나면 "헷갈리니까 이걸 다 k로 바꿔버려" ⇒ 그러면 아는 공식 그대로다
✏️ 예제⑨ ·
Σ10j=1
Σjk=1(2k + 3)
안쪽 : 2 · j(j + 1)2
+ 3j
(상수 3은 항의 개수 j 와 곱)
= j² + 4j
글자를 k 로 바꾸면 Σ10k=1(k² + 4k) = 10·11·216 + 4 · 10·112 = 385 + 220 = 605
글자를 k 로 바꾸면 Σ10k=1(k² + 4k) = 10·11·216 + 4 · 10·112 = 385 + 220 = 605
안쪽에서는 j 가 위끝,
바깥에서는 j 가 변수 — 글자를 갈아 두면 헷갈리지 않는다.
✏️ 예제⑩ ·
Σnl=1
Σ10k=1(k + l)
안쪽에서 l 은 상수 — 더하는 게 아니라 항의 개수 10 과 곱한다
Σ10k=1k = 10 · 112 = 55 | Σ10k=1l = 10l ⇒ 안쪽 = 10l + 55
글자를 k 로 바꿔 Σnk=1(10k + 55) = 10 · n(n+1)2 + 55n = 5n² + 5n + 55n ⇒ 5n² + 60n
Σ10k=1k = 10 · 112 = 55 | Σ10k=1l = 10l ⇒ 안쪽 = 10l + 55
글자를 k 로 바꿔 Σnk=1(10k + 55) = 10 · n(n+1)2 + 55n = 5n² + 5n + 55n ⇒ 5n² + 60n
✏️ 예제⑪ ·
Σnl=1
Σlk=16k
= 120 일 때 n 은?
안쪽 : 6 · l(l + 1)2
= 3l² + 3l
⇒ 3 을 앞으로 빼내고 글자를 k 로
⇒ 3Σnk=1(k² + k)
네 번째 공식이 여기서 또 나온다 ⇒ 3 · n(n+1)(n+2)3 ⇒ 3 하고 3 하고 날려버리면 n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2) = 120 ⇒ 4 · 5 · 6 = 120 ⇒ n = 4
네 번째 공식이 여기서 또 나온다 ⇒ 3 · n(n+1)(n+2)3 ⇒ 3 하고 3 하고 날려버리면 n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2) = 120 ⇒ 4 · 5 · 6 = 120 ⇒ n = 4
🏁 오늘의 정리 · 다섯 줄
① 공식은 넷 — k · k² · k³ · 그리고 k² + k
② 계수가 붙으면 따로따로 세운 뒤 공통으로 들어 있는 덩이를 먼저 빼낸다
③ Σ 안에 또 합이 있으면 안쪽부터 공식으로 한 덩이를 만든다
④ k 가 없는 상수는 밖으로 못 나온다 — 항의 개수와 곱한다
⑤ Σ 가 둘이면 안쪽을 정리한 다음 글자를 k 로 바꿔버린다
② 계수가 붙으면 따로따로 세운 뒤 공통으로 들어 있는 덩이를 먼저 빼낸다
③ Σ 안에 또 합이 있으면 안쪽부터 공식으로 한 덩이를 만든다
④ k 가 없는 상수는 밖으로 못 나온다 — 항의 개수와 곱한다
⑤ Σ 가 둘이면 안쪽을 정리한 다음 글자를 k 로 바꿔버린다
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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