원의 둘레의 길이를 원주라고 해요.
지름에 대한 원주의 비율이 원주율이에요.
원주를 지름으로 나누면 항상 일정해요.
이미지 · 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) · 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요 · 출처는 꼭 밝혀 주세요
왜 원의 넓이를 배울까요?
동그란 피자와 바퀴는 모두 원이에요.
운동장 트랙도 원의 둘레로 계산해요.
둥근 면적의 크기를 정확히 구하는 힘이에요.
🔎 라지 피자와 레귤러 피자의 크기 차이는 왜 이렇게 클까요?
반지름이 10 cm인 피자와 20 cm인 피자가 있다고 해 봐요(반지름 2배).
원의 넓이는 반지름 × 반지름이므로 넓이는 2 × 2 = 4배나 커져요!
반지름이 조금만 커져도 먹을 수 있는 피자의 양은 엄청나게 늘어난답니다.
🔎 운동장 트랙에서 바깥쪽 레인이 앞에서 출발하는 까닭
육상 경기 400 m 달리기에서 바깥쪽 선수는 안쪽 선수보다 훨씬 앞쪽에서 출발해요.
바깥쪽 레인은 중심에서 반지름이 더 크기 때문에 원둘레(원주 = 지름 × 원주율)도 훨씬 길어져요.
모든 선수가 달리는 거리를 똑같이 400 m로 맞추기 위해 바깥쪽 출발선을 앞으로 당겨 놓는 것이랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 원의 넓이를 계산한다. ② 원주를 계산한다. ③ 복합 도형의 넓이를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
원의 넓이를 배우기 전에!
① 반지름이 5 cm인 원의 지름은 몇 cm인가요?
② 두 대각선의 길이가 모두 10 cm인 마름모의 넓이는 몇 cm²인가요?
③ 가로 6, 세로 6인 정사각형 넓이는?
① 10 cm(지름 = 반지름 × 2) · ② 50 cm²(10 × 10 ÷ 2) · ③ 36 cm²
🔎 지름과 반지름의 관계를 다시 짚어 봐요
지름은 원의 중심을 지나 원 위의 두 점을 이은 가장 긴 선분이에요.
반지름은 원의 중심에서 원 위의 한 점을 이은 선분이에요.
지름은 항상 반지름의 2배(지름 = 반지름 × 2)가 돼요.
6컷 이야기 — 원의 넓이
원을 잘라 펼치면 직사각형 — 넓이 = 반지름×반지름×3.14.
1원을 얇은 조각으로 잘라요.
2조각을 번갈아 끼워 늘어놓아요.
3점점 직사각형에 가까워져요.
4가로 = 원둘레의 절반, 세로 = 반지름.
5넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율.
6원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14.
그림 · 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
원의 넓이
🔎 「원주율」은 왜 원마다 항상 똑같을까요?
아주 작은 동전이든 거대한 지구든 모든 원은 닮은꼴이에요.
지름이 2배, 3배 커지면 원의 둘레도 똑같이 2배, 3배 늘어나요.
따라서 (원주) ÷ (지름)을 계산하면 항상 약 3.14159…라는 같은 값이 나온답니다.
🔎 원주율 3.14 대신 3이나 3.1을 쓸 때도 있나요?
원주율은 끝없이 이어지는 소수여서 문제에 따라 편리한 어림수를 정해 줘요.
보통 3.14를 가장 많이 쓰지만, 계산을 간단히 할 때는 3 또는 3.1을 쓰기도 해요.
분수로 22/7을 쓸 때도 있으니, 항상 문제 끝의 원주율 안내를 꼭 확인해야 해요.
원주는 지름 × 원주율로 구해요.
지름 대신 반지름 × 2 × 원주율도 같아요.
원둘레를 펼친 실의 길이와 같아요.
🔎 굴렁쇠나 자전거 바퀴가 한 바퀴 돌 때 나아간 거리
바퀴가 바닥에서 미끄러지지 않고 딱 한 바퀴 구르면 정확히 원주(바퀴 둘레)만큼 앞으로 나아가요.
예를 들어 지름 50 cm 바퀴라면 한 바퀴에 약 50 × 3.14 = 157(cm)씩 앞으로 가요.
바퀴가 10바퀴 돌았다면 157 × 10 = 1570 cm(15.7 m)를 이동한 것이 된답니다.
🔎 원 안팎의 정사각형으로 원의 넓이 어림하기
원 안에 꼭 맞게 들어가는 마름모의 넓이는 (반지름 × 반지름) × 2예요.
원 바깥을 감싸는 큰 정사각형의 넓이는 (반지름 × 반지름) × 4예요.
원의 넓이는 둘 사이에 있으므로 (반지름 × 반지름)의 약 3.14배가 됨을 직관적으로 알 수 있어요.
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율이에요.
원을 잘게 잘라 이어 붙여요.
점점 직사각형 모양으로 바뀌어요.
🔎 피자를 잘라 이어 붙이면 왜 직사각형이 되나요?
원을 부채꼴 조각으로 아주 잘게 잘라 위아래로 엇갈리게 끼워 맞추어 보세요.
조각 수가 16개, 32개, 64개로 많아질수록 둥근 호가 점점 곧은 선분이 돼요.
결국 가로와 세로가 직각을 이루는 완벽한 직사각형 모양으로 변신한답니다.
🔎 직사각형의 가로와 세로는 왜 각각 (원주의 절반)과 (반지름)일까요?
원 둘레(원주)가 위쪽과 아래쪽 가로변에 절반씩 나누어 들어가요. 그래서 가로 = 원주의 절반이에요.
원주의 절반은 지름 × 원주율 ÷ 2 = 반지름 × 원주율이 돼요.
직사각형의 세로 = 반지름이므로, 넓이는 가로 × 세로 = 반지름 × 반지름 × 원주율이 돼요!
🔎 지름이 주어졌을 때 원의 넓이를 실수 없이 구하는 순서
1단계: 지름을 2로 나누어 반지름을 먼저 구해요 (예: 지름 10 cm → 반지름 5 cm).
2단계: 반지름을 두 번 곱해요 (5 × 5 = 25).
3단계: 원주율(3.14)을 곱해요 (25 × 3.14 = 78.5 cm²).
절대로 지름을 바로 공식에 넣지 않도록 주의해요!
원주 = 지름 × 원주율, 원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율 (원주율 ≈ 3.14)
기억 그림 · 원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율 (직사각형으로 펼치면!)
원을 잘게 잘라 펼치면 직사각형이 돼요!
가로(반지름×원주율) × 세로(반지름) = 반지름 × 반지름 × 원주율이에요.
가로(반지름×원주율) × 세로(반지름) = 반지름 × 반지름 × 원주율이에요.
왜 원을 잘라 이어 붙인 직사각형의 가로는 원주의 절반일까요?
원 둘레가 위아래로 반씩 나뉘어요.
가로는 원주의 절반인 반지름×원주율이에요.
세로는 반지름이 되어 직사각형 넓이가 돼요.
흔한 실수
지름이 주어지면 먼저 2로 나눠 반지름을 찾아요.
둘레는 지름×원주율, 넓이는 반지름×반지름×원주율이에요.
반지름에 2를 곱하는 실수와 혼동하지 않아요.
🔎 자주 틀리는 것: 지름을 그대로 반지름 자리에 넣어 계산하는 실수
지름이 10 cm인 원의 넓이를 구할 때 10 × 10 × 3.14 = 314 cm²로 계산하는 실수가 가장 많아요.
반드시 지름을 2로 나누어 반지름 5 cm를 먼저 구해야 해요.
바른 식은 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²예요. 거의 4배나 차이가 나요!
🔎 자주 틀리는 것: 반지름을 제곱하지 않고 2배 곱하는 실수
원의 넓이 공식은 반지름 × 반지름인데, 깜빡하고 반지름 × 2로 계산하는 실수예요.
반지름에 2를 곱하면 지름이 되어 버려서 원의 넓이가 아니라 원주(둘레)가 구해져요.
넓이는 면적이므로 같은 수를 두 번 곱하는 '반지름 × 반지름'임을 머릿속에 꼭 새겨요.
📺📺 영상으로 보기원의 넓이▶
📺 움직이는 개념 — 원의 넓이
세로로 단계가 움직여요. ▶ 다시보기·한 단계씩 볼 수 있어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
스스로 풀어요
반지름이 주어진 원의 넓이.
비평 데스크가 챙긴 것 — 원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14! 지름이 주어지면 지름 ÷ 2 = 반지름부터 구해요.
객관식 진단 퀴즈 — 원의넓이
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 원의 넓이·둘레 계산기
반지름 5 cm
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ’어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
함께 풀어요 — 원주와 원의 넓이 계산하기
- 반지름이 5 cm인 원의 원주와 넓이 구하기 (원주율 3.14) — ① 원주(둘레): 지름이 5 × 2 = 10 (cm)이므로 10 × 3.14 = 31.4 (cm)예요. ② 원의 넓이: 반지름 × 반지름 × 원주율 = 5 × 5 × 3.14 = 25 × 3.14 = 78.5 (cm²)예요.
- 한 변이 8 cm인 정사각형 안에 꼭 맞게 그린 원의 넓이 구하기 (원주율 3.14) — 정사각형의 한 변의 길이(8 cm)가 원의 지름과 같아요. 따라서 원의 반지름은 8 ÷ 2 = 4 (cm)이므로, 원의 넓이는 4 × 4 × 3.14 = 16 × 3.14 = 50.24 (cm²)예요.
정답: ① 원주 31.4 cm, 넓이 78.5 cm² / ② 반지름 4 cm, 넓이 50.24 cm²
🔎 예제 ①: 반지름 5 cm인 원의 원주와 넓이 계산 한 걸음씩 다시 보기
1단계: 지름 = 5 × 2 = 10 cm예요.
2단계: 원주 = 10 × 3.14 = 31.4 cm (단위는 cm예요).
3단계: 넓이 = 5 × 5 × 3.14 = 25 × 3.14 = 78.5 cm² (단위는 cm²예요).
둘레(cm)와 넓이(cm²)의 단위도 꼼꼼하게 구분해요!
🔎 예제 ②: 정사각형 안의 원과 남은 부분 넓이 구하기
한 변이 8 cm인 정사각형의 넓이는 8 × 8 = 64 cm²예요.
정사각형 안 원의 반지름은 4 cm이므로 원의 넓이는 4 × 4 × 3.14 = 50.24 cm²예요.
네 모퉁이의 남은 부분 넓이를 물어본다면 64 - 50.24 = 13.76 cm²로 빼서 구해요.
이 단원의 말·기호 사전
- 원주
- 원의 둘레의 길이를 말해요. 지름 × 원주율로 구해요.
- 원주율
- 원의 지름에 대한 원주의 비율(원주 ÷ 지름)로, 원의 크기에 상관없이 항상 일정하며 약 3.14예요.
- 원의 넓이
- 원이 차지하는 넓이로, 원을 한없이 잘게 잘라 직사각형 모양으로 이어 붙이면 반지름 × 반지름 × 원주율이 돼요.
🔎 색칠한 부채꼴이나 도넛 모양(원환) 넓이는 어떻게 구할까요?
• 반원: 원 전체 넓이를 구한 뒤 ÷ 2를 해요.
• 중심각 90° 부채꼴(사분원): 원 전체 넓이를 ÷ 4해요.
• 도넛 모양: 큰 원의 넓이에서 안쪽 작은 원의 넓이를 빼서 구해요.
한 장 핵심
- 1원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율
- 2원주 = 지름 × 원주율 = 반지름 × 2 × 원주율
- 3원주율 = 원주 ÷ 지름 ≈ 3.14 (또는 3, 3.1, 3과 1/7)
내 말로 설명하기
원의 넓이를 구하는 식이 왜 ‘반지름 × 반지름 × 원주율’인지 내 말로 설명해 봐요.
설명하는 법 — 피자 조각을 이어 붙이는 모습으로 설명해 봐요. 예: 원 모양 피자를 잘게 잘라 지그재그로 이어 붙이면 직사각형이 돼요. 가로는 원주의 절반(반지름 × 원주율)이고 세로는 반지름이라서, 넓이는 가로 × 세로 = 반지름 × 반지름 × 원주율이 돼요! → 이런 식으로 설명해 봐요!
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.