비 2 : 3에서 앞의 2를 전항이라 해요.
뒤에 있는 3은 후항이라고 불러요.
전항과 후항에 같은 수를 곱해도 비율은 같아요.
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왜 비례식을 배울까요?
지도 읽기와 요리법 조절은 모두 비례예요.
닮은 도형과 가격 비교도 비례식으로 풀어요.
비례는 생활 속 크기를 비교하는 수학의 말이에요.
🔎 요리할 때 양념 비율은 어떻게 맞출까요?
떡볶이 2인분에 고추장이 2숟가락, 물이 4컵 들어간다면 비는 2 : 4예요.
만약 친구들과 함께 4인분을 만든다면 양념도 똑같이 2배로 늘려야 맛이 같아요.
2 : 4 = 4 : 8 처럼 비례식을 쓰면 4인분에는 고추장 4숟가락, 물 8컵이 필요하다는 것을 바로 알 수 있어요.
🔎 지도에서 비례식은 어떻게 쓰이나요?
지도는 아주 넓은 땅을 일정한 비율로 줄여서 그린 그림이에요.
예를 들어 1 : 50000 지도는 지도 위의 1 cm가 실제로는 50000 cm(500 m)라는 뜻이에요.
지도에서 두 지점 사이가 3 cm라면 1 : 50000 = 3 : □ 비례식으로 실제 거리 1.5 km를 정확히 찾아낼 수 있어요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 비례식의 성질을 이용해 미지수를 구한다. ② 비례배분을 계산한다. ③ 실생활 비례 문제를 푼다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
비례식을 배우기 전에 세 가지를 점검해요.
① 2:3 과 4:6 은 같은 비인가요?
② 비 3:4에서 비교하는 양과 기준량은 각각 얼마인가요?
③ 비율 3/4을 소수로 나타내면?
① 같아요(비율 2/3 = 4/6).
② 비교하는 양은 3, 기준량은 4예요.
③ 0.75예요.
② 비교하는 양은 3, 기준량은 4예요.
③ 0.75예요.
🔎 비와 비율은 어떻게 달랐나요?
비는 기호 : 를 써서 두 양의 크기를 나란히 견주는 방법이에요(예: 3 : 4).
비율은 기준량에 견주어 비교하는 양이 몇 배인지 분수나 소수로 하나의 수로 나타낸 값이에요.
비 3 : 4의 비율은 기준량 4로 나눈 3/4 또는 0.75가 된답니다.
6컷 이야기 — 비례배분
전체를 묶음 수로 나눠 비대로 갈라요.
1사탕 12개를 형과 동생이 나눠요.
22 : 1로 나누기로 했어요.
3전체를 3묶음으로(2+1).
4한 묶음은 12 ÷ 3 = 4개.
5형 8개, 동생 4개.
6비례배분은 묶음 수로 나눠요.
그림 · 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
비례식과 비례배분
🔎 「전항」과 「후항」이 무슨 뜻인가요?
전항(前項)의 '전'은 앞 전(前) 자예요. 비 기호(:)의 앞쪽에 놓인 수를 뜻해요.
후항(後項)의 '후'는 뒤 후(後) 자예요. 기호(:)의 뒤쪽에 놓인 수를 뜻한답니다.
예를 들어 비 5 : 8에서는 앞에 있는 5가 전항, 뒤에 있는 8이 후항이에요.
0이 아닌 같은 수로 나누어도 비율은 같아요.
이를 비의 성질이라고 해요.
이 성질로 가장 간단한 자연수의 비를 만들어요.
🔎 왜 0이 아닌 수로만 곱하거나 나눠야 하나요?
어떤 수에 0을 곱하면 2×0=0, 3×0=0 이 되어 둘 다 0이 되어 버려요.
0 : 0은 원래 두 수의 크기 관계를 전혀 나타내지 못하기 때문에 곱할 수 없어요.
또한 수학에서는 어떤 수도 0으로 나눌 수 없으므로 반드시 0이 아닌 같은 수로만 계산해야 해요.
🔎 소수나 분수의 비는 어떻게 자연수의 비로 바꾸나요?
• 소수의 비(예: 0.4 : 0.6): 전항과 후항에 똑같이 10이나 100을 곱해 자연수로 만들어요(4 : 6). 그런 다음 공약수로 나누면 2 : 3이 돼요.
• 분수의 비(예: 1/2 : 1/3): 두 분모의 최소공배수인 6을 전항과 후항에 곱해요. 그러면 3 : 2라는 깔끔한 자연수의 비가 만들어져요.
• 자연수의 비(예: 12 : 18): 두 수의 최대공약수인 6으로 전항과 후항을 나누면 2 : 3이 된답니다.
비율이 같은 두 비를 등호(=)로 묶어요.
식 2 : 3 = 4 : 6을 비례식이라 해요.
바깥쪽 두 항을 외항이라고 해요.
안쪽 두 항을 내항이라고 불러요.
외항의 곱과 내항의 곱은 항상 같아요.
2×6 = 3×4 = 12 로 꼭 맞아떨어져요.
🔎 「외항」과 「내항」이란 말이 낯설어요
외항(外項)의 '외'는 바깥 외(外) 자예요. 비례식 2 : 3 = 4 : 6의 양쪽 맨 바깥에 있는 2와 6을 말해요.
내항(內項)의 '내'는 안 내(內) 자예요. 등호(=)를 사이에 두고 안쪽에 모여 있는 3과 4를 뜻해요.
바깥쪽 둘을 곱한 값과 안쪽 둘을 곱한 값이 항상 마법처럼 똑같아진답니다.
🔎 외항의 곱과 내항의 곱은 왜 항상 같을까요?
비례식 2 : 3 = 4 : 6 은 두 비의 비율이 2/3 = 4/6 으로 같다는 뜻이에요.
이 분수 식의 양쪽에 분모 3과 6을 똑같이 곱해 볼까요? 그러면 2/3 × 3 × 6 = 4/6 × 3 × 6 이 돼요.
약분하면 2 × 6 = 4 × 3 만 남게 되지요. 결국 외항의 곱(2×6)과 내항의 곱(3×4)이 같아질 수밖에 없어요!
🔎 비례식에서 모르는 수(□)는 어떻게 구하나요?
예를 들어 3 : 5 = 12 : □ 라는 식에서 □를 구하고 싶다고 해 봐요.
외항의 곱은 3 × □ 이고, 내항의 곱은 5 × 12 = 60 이에요.
외항의 곱과 내항의 곱이 같아야 하므로 3 × □ = 60 이 돼요. 따라서 □ = 60 ÷ 3 = 20 으로 쉽게 찾을 수 있어요!
전체를 주어진 비로 나누는 계산이에요.
이를 비례배분이라고 불러요.
전항과 후항의 합을 분모로 삼아요.
🔎 비례배분에서 분모는 왜 (전항 + 후항)이 되나요?
예를 들어 사탕 30개를 2 : 3으로 형과 동생이 나눈다고 생각해 봐요.
형이 2묶음을 가질 때 동생은 3묶음을 가져야 하므로 전체는 2+3=5묶음이 필요해요.
그래서 전체를 5등분한 것 중 형은 2/5, 동생은 3/5를 가져야 하므로 분모가 (전항+후항)이 돼요.
🔎 용돈이나 피자를 비례배분하는 쉬운 묶음 생각법
1단계: 비의 두 수를 더해 전체 묶음 수를 구해요 (예: 2 + 3 = 5묶음).
2단계: 전체 양을 묶음 수로 나누어 한 묶음의 크기를 구해요 (예: 사탕 30 ÷ 5 = 6개).
3단계: 각자 몫에 곱해요. 형은 6 × 2 = 12개, 동생은 6 × 3 = 18개예요!
비례배분의 답을 쓸 때는 12 : 18 이 아니라 12개와 18개처럼 각각의 양으로 적어야 해요.
기억 그림 · 외항의 곱 = 내항의 곱 (비례식의 핵심)
비례식에서 바깥쪽 두 항(외항)의 곱 = 안쪽 두 항(내항)의 곱이에요. 이 성질로 모르는 수(□)를 쉽게 구할 수 있어요!
왜 외항의 곱과 내항의 곱이 같을까요?
비례식 2 : 3 = 4 : 6은 두 항에 2를 곱한 식이에요.
외항의 곱은 2 × 6 = 12예요.
내항의 곱도 3 × 4 = 12예요.
양쪽에 같은 수를 곱했으므로 곱의 결과가 항상 같아요.
흔한 실수
외항은 맨 앞과 맨 뒤의 두 수예요.
내항은 가운데 있는 두 수예요.
비례배분은 전체에 비의 합분의 각 비를 곱해요.
🔎 자주 틀리는 것: 외항과 내항을 헷갈려 잘못 곱하는 실수
비례식 2 : 3 = 4 : 6 에서 2와 4를 곱하거나 3과 6을 곱하는 실수가 많아요.
외항은 식의 가장 바깥쪽 양 끝에 있는 수(2와 6)예요.
내항은 등호(=) 바로 옆 안쪽에 나란히 모인 수(3과 4)임을 손가락으로 짚으며 확인해요.
🔎 자주 틀리는 것: 비례배분할 때 분모에 전체 수를 넣는 실수
30개를 2 : 3 으로 나눌 때 30 × 2/30 처럼 분모에 30을 넣으면 안 돼요.
분모에는 반드시 비의 두 항을 더한 전항 + 후항(2 + 3 = 5)을 넣어야 해요.
각자 구한 몫 12개와 18개를 더했을 때 원래 전체(30개)가 되는지 꼭 확인해 보세요.
📺📺 영상으로 보기비례식▶
📺 움직이는 개념 — 비례식
세로로 단계가 움직여요. ▶ 다시보기·한 단계씩 볼 수 있어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
예제 따라잡기 — 비례식의 □ 구하기와 비례배분
[예제] ① 3 : 4 = 9 : □ 에서 □를 구해요.
② 사탕 35개를 3 : 4로 비례배분해요.
- 외항의 곱과 내항의 곱: 3 × □ = 4 × 9 = 36 이에요. 따라서 □ = 12예요.
- 비례배분 식 세우기: 전항과 후항의 합은 3 + 4 = 7이에요.
- 각각의 몫 구하기: 35 × 3/7 = 15개예요. 35 × 4/7 = 20개예요. 둘을 더하면 35개가 맞아요.
정답: ① □ = 12 / ② 15개와 20개
🔎 예제 ①: 외항과 내항 짝짓기 한 걸음씩 다시 보기
1단계: 식 3 : 4 = 9 : □ 에서 바깥쪽 끝에 있는 외항(3과 □)을 찾아요.
2단계: 안쪽에 나란히 있는 내항(4와 9)을 찾아요.
3단계: 외항의 곱과 내항의 곱이 같으므로 3 × □ = 4 × 9 = 36 이 돼요.
4단계: 3에 어떤 수를 곱해야 36이 되는지 36 ÷ 3 = 12 로 계산하면 끝나요!
🔎 예제 ②: 35개를 3 : 4로 나누는 과정 한 걸음씩 다시 보기
1단계: 비가 3 : 4 이므로 전체 묶음 수는 3 + 4 = 7묶음이에요.
2단계: 한 묶음의 크기를 구해요. 35 ÷ 7 = 5개예요.
3단계: 첫 번째 사람은 3묶음이므로 5 × 3 = 15개를 가져요.
4단계: 두 번째 사람은 4묶음이므로 5 × 4 = 20개를 가져요.
5단계: 15 + 20 = 35 개가 맞는지 검산해 보면 완벽해요!
스스로 풀어요
비례식의 성질(외항×내항) 적용.
비평 데스크가 챙긴 것 — 외항의 곱=내항의 곱 → □ 구하기.
객관식 진단 퀴즈 — 비례식과비례배분
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 비례배분 계산기
전체 양을 a:b 로 나누면?
전체 1200
a 3
b 1
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ’어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1비례식: a:b=c:d ↔ a×d=b×c
- 2외항의 곱=내항의 곱으로 □ 구하기
- 3비례배분=전체×(각 비/비의 합)
이 단원의 말·기호
- 전항 · 후항
- 비 2 : 3에서 기호 : 앞에 있는 항(2)이 전항, 뒤에 있는 항(3)이 후항
- 비례식
- 비율이 같은 두 비를 기호 = 로 나타낸 식 (예: 2 : 3 = 4 : 6)
- 외항 · 내항
- 비례식에서 바깥쪽에 있는 두 항(2와 6)이 외항, 안쪽에 있는 두 항(3과 4)이 내항 (외항의 곱 = 내항의 곱)
- 비례배분
- 전체를 주어진 비로 나누는 것 (전체 × 각 항/(전항+후항))
내 말로 설명하기
비례식에서 외항·내항의 관계와 비례배분 방법을 내 말로 설명해 봐요.
설명하는 법 — 나누기 상황으로 설명해봐요. 예: 용돈 10000원을 형과 나 3 대 2로 나눠요. 형은 10000×3/5=6000원, 나는 4000원이에요. → 이런 식으로 설명해봐요!
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 먼저 물어봐 주세요. “어떤 성질을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.