쌓기나무 입체를 위·앞·옆에서 본 모양으로 나타내요.
위에서 본 모양은 1층 바닥에 놓인 자리를 보여 줍니다.
어디에 나무가 놓였는지 바닥 지도가 돼요.
이미지 · 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) · 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요 · 출처는 꼭 밝혀 주세요
왜 공간과 입체를 배울까요?
건물 설계도와 게임 세상은 3차원 입체예요.
입체를 여러 방향에서 관찰하면 도면을 읽을 수 있어요.
공간을 입체적으로 상상하는 감각을 키워 줍니다.
🔎 3차원 입체를 왜 2차원 평면 그림으로 나타낼까요?
종이나 스마트폰 화면은 모두 납작한 2차원 평면이에요.
3차원 입체를 평면에 정확히 기록하려면 방향별 도면이 필요해요.
위·앞·옆에서 본 그림을 합치면 입체 모습을 누구나 똑같이 만들 수 있답니다.
🔎 건축 설계도나 게임 그래픽에서도 이 원리가 쓰이나요?
실제 건물을 짓는 건축가는 평면도(위), 입면도(앞·옆)를 그려요.
3D 게임 속 캐릭터나 자동차를 만들 때도 세 방향 모습을 먼저 설계해요.
오늘 배우는 쌓기나무 세 방향 보기가 그 모든 기술의 기본이 된답니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 입체를 세 방향에서 그린다. ② 도면으로 입체를 재구성한다. ③ 쌓기나무 최소·최대 개수를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
공간과 입체를 배우기 전에 — 이미 알고 있는지 확인해요!
① 정육면체의 꼭짓점은 몇 개인가요?
② 상자를 위에서 내려다보면 어느 면의 모양이 보이나요?
③ 쌓기 나무 2×2×2로 쌓으면 모두 몇 개인가요?
① 8개 · ② 상자의 윗면(밑면) 모양이 보여요 · ③ 8개(2×2×2)
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 「쌓기나무 1개의 모양」
쌓기나무는 여섯 면이 모두 정사각형인 정육면체예요.
어느 방향에서 보아도 면의 크기와 모양이 똑같답니다.
그래서 쌓아 올렸을 때 빈틈없이 딱 들어맞아요.
🔎 입체도형을 바라보는 세 가지 기본 방향
위에서 보는 것은 하늘에서 똑바로 내려다보는 시선이에요.
앞에서 보는 것은 정면에서 눈높이를 맞춰 바라보는 시선입니다.
옆에서 보는 것은 오른쪽 옆으로 이동해서 똑바로 바라보는 시선이에요.
6컷 이야기 — 위·앞·옆에서 보기
세 방향 그림으로 쌓기나무 입체를 알아내요.
1쌓기나무로 모양을 만들어요.
2위에서 보면 어떤 모양?
3앞에서 보면?
4옆에서 보면?
5세 방향 그림으로 입체를 알 수 있어요.
6위 모양이 같아도 높이가 다를 수 있어요.
그림 · 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
🔎 왜 「위·앞·옆」 세 방향을 고를까요? 뒤나 밑은 안 보나요?
바닥은 바닥면에 닿아 있어서 보통 보이지 않아요.
뒤에서 본 모양은 앞에서 본 모양과 좌우가 바뀐 거울 모양이에요.
그래서 위·앞·오른쪽 옆 세 가지만 알면 모든 방향을 완벽히 파악할 수 있답니다.
공간과 입체
🔎 「위에서 본 모양」이 알려 주는 결정적 정보는 무엇인가요?
위에서 내려다보면 바닥 1층에 놓인 쌓기나무의 위치와 총 칸 수를 알 수 있어요.
빈 곳과 나무가 있는 곳이 한눈에 가려집니다.
적어도 1층에는 그 칸 수만큼의 쌓기나무가 반드시 깔려 있다는 뜻이에요.
앞과 옆에서 본 모양은 각 줄의 가장 높은 층수를 보여 줘요.
앞줄에 높은 나무가 있으면 뒤쪽 나무가 가려질 수 있어요.
그래서 앞과 옆을 함께 맞추어 보아야 합니다.
🔎 「앞과 옆에서 본 모양」은 왜 가장 높은 층만 보일까요?
눈높이를 평평하게 맞추면 같은 줄에 있는 나무들이 겹쳐 보여요.
앞에 3층이 있고 뒤에 1층이 있으면 1층은 완전히 가려져 안 보입니다.
그래서 눈에 보이는 높이는 그 줄에서 가장 높이 쌓인 층수가 돼요.
위에서 본 모양의 각 칸에 층수를 적으면 완벽해져요.
숨은 나무까지 한눈에 드러나 단 하나의 입체가 됩니다.
모든 칸의 숫자를 더하면 전체 쌓기나무 개수가 나와요.
🔎 「위에서 본 모양에 숫자 쓰기」는 왜 가장 완벽한 방법일까요?
각 자리마다 몇 개씩 쌓였는지 숫자로 적어 두면 숨은 자리가 전혀 없어요.
도면을 보는 사람마다 다른 모양으로 착각할 위험이 완전히 사라집니다.
앞이나 옆 모양을 그릴 때도 줄마다 가장 큰 숫자를 고르면 바로 알 수 있어요.
🔎 「층별로 나타낸 모양」을 볼 때 꼭 지켜야 할 규칙
1층, 2층, 3층 모양을 층별로 따로 그리는 방법도 있어요.
이때 2층이나 3층 나무는 허공에 둥둥 뜰 수 없어요.
반드시 바로 아래층에 받침 나무가 있는 자리에만 놓아야 합니다.
세 방향 모양만 있으면 여러 입체가 가능할 때도 있어요.
이때는 가장 적은(최소) 개수와 가장 많은(최대) 개수를 구합니다.
보이는 높이를 해치지 않으면서 나무를 더하거나 뺄 수 있어요.
위·앞·옆 세 방향 = 층수 추리 / 위에서 본 모양에 층수(숫자) 쓰기 = 입체 하나로 완성🔎 쌓기나무의 「가장 많은(최대) 개수」는 어떻게 구하나요?
위에서 본 모양의 모든 칸에 앞과 옆에서 허용하는 가장 큰 층수를 적어요.
앞줄·옆줄의 보이는 높이를 넘지 않는 한도에서 꽉꽉 채워 넣는 것이지요.
그 칸들의 숫자를 모두 더하면 가능한 최대 개수가 됩니다.
🔎 쌓기나무의 「가장 적은(최소) 개수」는 어떻게 구하나요?
먼저 바닥의 모든 칸에 1층(1개)씩을 기본으로 깔아 두어요.
그리고 앞과 옆에서 요구하는 가장 높은 층수를 딱 필요한 최소한의 자리에만 올려요.
앞과 옆 모양의 줄이 서로 겹치는 교차점 칸을 활용하면 개수를 가장 많이 아낄 수 있답니다.
기억 그림 · 위·앞·옆 세 방향 = 입체를 평면으로
입체도형을 세 방향에서 보면 평면 모양이 돼요. 세 도면을 합치면 입체가 완성됩니다!
🔎 왼쪽 옆에서 본 모양과 오른쪽 옆에서 본 모양의 관계
수학 교과서에서 '옆'은 보통 오른쪽 옆을 기준으로 해요.
왼쪽 옆에서 본 모양은 오른쪽 옆 모양과 좌우가 서로 바뀐 거울 대칭이에요.
높이는 양쪽 모두 똑같고, 앞뒤 위치만 반대로 보인답니다.
왜 세 방향에서 본 모양을 함께 살펴야 할까요?
앞에서 본 모양만 보면 앞줄의 높은 나무 뒤에 낮은 나무가 숨어 있는지 알 수 없어요. 그래서 위에서 본 모양(바닥에 놓인 자리), 앞에서 본 모양(앞뒤 줄의 가장 높은 층), 옆에서 본 모양(양옆 줄의 가장 높은 층)을 함께 맞추어 보아야 숨은 자리의 층수까지 추리할 수 있어요!흔한 실수
같은 세 방향 도면도 여러 형태의 입체가 나올 수 있어요. 최소 개수와 최대 개수 둘 다 구해야 할 때도 있어요.🔎 뒤쪽에 완전히 가려져 숨은 쌓기나무 찾는 요령
위에서 본 모양에 칸이 그려져 있는데, 앞이나 옆에서 높이가 낮게 보이는 자리가 있어요.
그 자리는 앞줄이나 옆줄의 더 높은 나무 뒤에 가려져 있는 숨은 자리예요.
위에서 본 칸의 위치와 옆에서 본 모양의 해당 줄 높이를 대조하면 숨은 층수를 알아낼 수 있답니다.
📺📺 영상으로 보기세 방향에서 보기▶
📺 움직이는 개념 — 세 방향에서 보기
세로로 단계가 움직여요. ▶ 다시보기·한 단계씩 볼 수 있어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
예제 따라잡기 — 위에서 본 모양의 숫자로 쌓기나무 개수와 앞·옆 모양 알기
[예제] 위에서 본 모양이 ㄱ자 모양(3칸)이고, 왼쪽 앞 칸에 1, 왼쪽 뒤 칸에 2, 오른쪽 뒤 칸에 1이 적혀 있어요. 전체 쌓기나무 개수와 앞·옆에서 본 모양의 층수를 구해 보세요.
- 전체 쌓기나무 개수 세기: 각 칸에 적힌 층수를 모두 더하면 1 + 2 + 1 = 4(개)예요.
- 앞에서 본 모양의 층수: 왼쪽 줄에서 가장 큰 수는 2(1과 2 중 큰 수), 오른쪽 줄은 1이므로 왼쪽은 2층, 오른쪽은 1층으로 보여요.
- 옆(오른쪽)에서 본 모양의 층수: 앞줄은 1이므로 1층, 뒷줄에서 가장 큰 수는 2(2와 1 중 큰 수)이므로 2층으로 보여요.
정답: 총 4개 / 앞: 왼쪽 2층·오른쪽 1층 / 옆: 앞줄 1층·뒷줄 2층
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 위 모양 숫자로 앞·옆 층수 찾기
먼저 전체 개수는 적힌 수를 모두 더해 1+2+1=4개예요.
앞에서 볼 때는 세로줄별로 최댓값을 골라 왼쪽 2층, 오른쪽 1층이에요.
옆에서 볼 때는 가로줄별로 최댓값을 골라 앞줄 1층, 뒷줄 2층이 됩니다.
스스로 풀어요
세 방향 보기와 쌓기나무 수 세기.
비평 데스크가 챙긴 것 — 위·앞·옆 세 방향 모양으로 층수를 추리하고, 위에서 본 모양에 칸마다 층수(숫자)를 적어 입체를 하나로 나타내요.
객관식 진단 퀴즈 — 공간과입체
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 위에서 본 모양의 숫자와 앞·옆 층수 탐색기
위에서 본 ㄱ자 모양(왼쪽 뒤 a층, 오른쪽 뒤 b층, 왼쪽 앞 c층)의 층수를 바꿔 총 개수와 앞·옆 모양의 높이를 확인해요.
왼쪽 뒤(a) 2
오른쪽 뒤(b) 1
왼쪽 앞(c) 1
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ’어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1위·앞·옆 세 방향에서 본 모양을 합쳐 입체도형의 모양과 개수를 알아내요
- 2쌓기나무: 위에서 보기로 위치 확인
- 3가장 적은(최소)·가장 많은(최대) 개수: 숨은 자리에 쌓을 수 있는 층수를 살펴 계산해요
📚 용어 정리
- 위·앞·옆에서 본 모양
- 입체도형을 바로 위, 바로 앞, 바로 옆(오른쪽)에서 똑바로 바라보았을 때 보이는 평면 모양입니다.
- 위에서 본 모양에 적힌 수
- 위에서 본 모양의 각 칸에 쌓인 쌓기나무의 층수(개수)를 적은 것으로, 모든 칸의 수를 더하면 전체 쌓기나무 개수가 됩니다.
- 층별 모양
- 쌓기나무로 만든 입체를 1층, 2층, 3층처럼 각 층마다 위에서 내려다본 모양으로 나타낸 그림입니다.
🔎 「투시도」와 「위·앞·옆 세 방향 보기」는 어떻게 다른가요?
비스듬히 보아서 입체감을 살린 그림을 투시도나 겨냥도라고 해요.
세 방향 보기는 직각으로 평평하게 보아 실제 치수와 모양을 정확히 나타냅니다.
물건을 설계하고 제작할 때는 왜곡이 없는 세 방향 보기가 훨씬 정확해요.
🔎 스마트폰 지도의 2D 뷰와 3D 뷰의 차이
스마트폰 지도에서 '일반 지도'는 바로 위에서 내려다본 2D 평면도예요.
'3D 건물 보기'를 켜면 비스듬한 각도에서 건물의 높낮이가 함께 보여요.
수학에서 배우는 공간과 입체의 원리가 내 손 안의 지도 앱에도 쓰이고 있답니다.
내 말로 설명하기
위·앞·옆에서 본 모양이 다른 이유, 그리고 쌓기 나무 개수를 세는 방법을 설명해 봐요.
설명하는 법 — 방향별로 설명해봐요. 블록 탑을 앞에서 보면 사각형이고, 위에서 보면 십자 모양이에요. 보는 방향에 따라 평면 모양이 달라진답니다!
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.