다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 도형이에요.
변의 수에 따라 다각형의 이름이 정해져요.
다각형에서 변의 수와 꼭짓점 수는 항상 같아요.
🔎 원이나 반원은 왜 다각형이 아닐까요?
원이나 반원은 둥글게 굽은 선(곡선)이 들어가 있어요.
다각형은 곧은 선분으로만 둘러싸여 있어야 해요.
그래서 곡선이 하나라도 있으면 다각형이 아니랍니다.
🔎 변의 수와 꼭짓점의 수는 왜 항상 같을까요?
선분 2개가 만나서 꺾이는 자리가 바로 꼭짓점이에요.
변이 3개면 만나는 꼭짓점도 3개가 생겨요.
변이 4개면 꼭짓점도 4개로 항상 똑같아진답니다.
🔎 칠각형, 팔각형… 이름은 어떻게 짓나요?
변의 개수를 나타내는 숫자를 앞에 붙여요.
변이 7개면 칠각형, 8개면 팔각형이에요.
변이 10개면 십각형처럼 숫자에 '각형'을 붙인답니다.
변의 길이와 각의 크기가 모두 같으면 정다각형이에요.
변만 같거나 각만 같으면 정다각형이 아니에요.
두 조건이 모두 맞아야 참된 정다각형이 돼요.
🔎 「정다각형」이 무슨 말이죠?
'바를 정(正)' 자를 써서 반듯하고 고른 다각형을 뜻해요.
모든 변의 길이가 자로 잰 듯 똑같아야 해요.
그리고 모든 안쪽 각의 크기도 완전히 같아야 한답니다.
🔎 직사각형과 마름모는 왜 정다각형이 아닐까요?
직사각형은 네 각이 모두 90°이지만 이웃한 변의 길이가 달라요.
마름모는 네 변의 길이는 같지만 네 각의 크기가 서로 달라요.
변의 길이와 각의 크기 둘 다 같아야만 정다각형(정사각형)이에요.
🔎 정다각형의 둘레는 어떻게 쉽게 구할까요?
정다각형은 모든 변의 길이가 전부 같아요.
그래서 변 하나 길이에 변의 개수를 곱하면 돼요.
예를 들어 한 변이 4cm인 정오각형 둘레는 4 × 5 = 20 cm예요.
이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선이라고 해요.
꼭짓점에서 바로 옆 점을 이으면 변이 돼요.
건너편에 있는 다른 꼭짓점으로 이어야 대각선이에요.
🔎 「대각선」이 무슨 말이죠?
'대(對)'는 마주한다는 뜻이고, '각(角)'은 모서리 각을 뜻해요.
즉 바로 이웃하지 않고 마주 보거나 건너편에 있는 꼭짓점을 잇는 선이에요.
다각형의 배를 가로질러 지나가는 선이라고 생각하면 쉬워요.
🔎 이웃한 꼭짓점을 이으면 왜 대각선이 아닌가요?
바로 옆 꼭짓점은 이미 다각형의 테두리 선분으로 이어져 있어요.
그 선을 따라 그으면 그냥 다각형의 '변'이 된답니다.
그래서 이웃한 점으로는 대각선을 그을 수 없어요.
🔎 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 왜 (변의 수−3)개일까요?
한 꼭짓점을 골랐을 때 대각선을 그을 수 없는 꼭짓점이 3개 있어요.
바로 자기 자신 1개와 바로 양옆에 붙어 있는 이웃 꼭짓점 2개예요.
따라서 전체 꼭짓점 수에서 3을 뺀 (변의 수 − 3)개만 그을 수 있어요.
🔎 삼각형에는 왜 대각선이 하나도 없을까요?
삼각형은 꼭짓점이 딱 3개뿐이에요.
한 점을 고르면 남은 점 2개가 모두 바로 옆 이웃 꼭짓점이에요.
공식에 넣어도 3 − 3 = 0이 되어 대각선이 없답니다.
한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형으로 나뉘어요.
나뉜 삼각형들의 각을 모두 모으면 다각형 각의 합이 돼요.
다각형 각의 크기의 합은 180°×(변의 수−2)로 구해요.
🔎 다각형 안쪽 각의 합은 왜 180°×(변의 수−2)일까요?
한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그으면 다각형이 삼각형 여러 개로 쪼개져요.
사각형은 삼각형 2개(4−2), 오각형은 삼각형 3개(5−2)로 나뉘지요.
삼각형 1개의 세 각의 합이 180°이므로 180° × (변의 수 − 2)가 된답니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기: 오각형 각의 크기의 합 구하기
1단계: 오각형의 한 꼭짓점에서 대각선 2개를 그어요.
2단계: 오각형이 삼각형 3개로 똑 떨어져 나뉘어요.
3단계: 삼각형 세 각의 합 180°가 3개 있으므로 180° × 3 = 540°가 돼요.
🔎 정육각형의 한 각의 크기는 어떻게 구하나요?
1단계: 육각형 전체 여섯 각의 크기의 합을 구해요. 180° × (6 − 2) = 720°예요.
2단계: 정육각형은 여섯 각의 크기가 모두 완벽히 같아요.
3단계: 전체 합을 6으로 똑같이 나누면 720° ÷ 6 = 120°가 된답니다.
