자료의 각 값을 수량으로 나타낸 것을 변량이라고 해요.
자료 전체의 특징을 대표하는 하나의 수를 대푯값이라 부릅니다.
자료를 모두 더해 개수로 나눈 것이 평균이에요.
크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 놓인 값을 중앙값이라 해요.
가장 많이 나타난 값을 최빈값이라고 부릅니다.
극단적으로 크거나 작은 값이 있을 땐 중앙값이 훨씬 든든해요.
기억해요 — 평균·중앙값·최빈값. 극단값이 있으면 중앙값이 더 든든하다왜 통계(산포도)를 배울까?
평균 점수가 같아도 실력의 퍼진 정도는 전혀 다를 수 있어요.
어떤 반은 고르게 모여 있고, 다른 반은 들쭉날쭉해요.
분산과 표준편차는 이 ‘흩어진 정도’를 수치로 콕 짚어 줍니다.
자료를 제대로 비교하고 읽어내는 데이터 시대의 핵심 언어예요.
🔎 「산포도」가 무슨 말이죠?
흩어질 산(散), 펼 포(布), 정도 도(度)를 써서 자료가 흩어져 퍼져 있는 정도를 뜻해요.
평균이라는 기준점을 중심으로 자료들이 가까이 모여 있는지, 멀리 퍼져 있는지 나타내요.
대표적인 산포도로는 분산과 표준편차가 있어요.
🔎 평균이 같은데 왜 흩어짐을 따로 보나요?
예를 들어 두 양궁 선수의 평균 점수가 모두 8점이라고 해볼게요.
A 선수는 8점 근처만 꾸준히 맞히고, B 선수는 10점과 6점을 왔다 갔다 해요.
누가 더 안정적인지 가려내려면 평균만으로는 부족하고 흩어진 정도를 반드시 보아야 해요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 대푯값(평균·중앙값·최빈값)을 구한다. ② 편차·분산·표준편차를 구한다. ③ 산포도로 자료를 비교한다. ④ 산점도로 상관관계를 읽는다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 1, 2, 3, 4, 5 의 평균은?
② 자료 1, 2, 3, 4, 5 에서 각 값과 평균(3)의 차(값 − 3)를 모두 더하면?
① 3 · ② (−2)+(−1)+0+1+2 = 0. 평균과의 차를 그냥 더하면 늘 0이 돼요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 초등·중1에서 배운 평균
평균은 자료의 값을 모두 더한 뒤, 자료의 전체 개수로 나눈 값이에요.
자료 전체의 무게중심 역할을 하는 가장 친숙한 대푯값이지요.
하지만 아주 크거나 아주 작은 특이한 값이 하나만 끼어도 평균이 크게 흔들릴 수 있어요.
대푯값 — 자료를 대표하는 한 수
🔎 「변량」과 「대푯값」이 무슨 말이죠?
키나 몸무게, 시험 점수처럼 수량으로 조사한 자료의 각 값을 변량이라고 해요.
수많은 변량의 흩어진 모습을 하나의 수로 대표해 나타낸 것을 대푯값이라고 부릅니다.
우리가 가장 흔히 쓰는 평균 외에도 중앙값, 최빈값 등이 있어요.
🔎 「중앙값」은 왜 평균 대신 쓰나요?
어느 동네의 5가구 소득이 2천만 원, 3천만 원, 3천만 원, 4천만 원, 그리고 100억 원이라고 해볼게요.
평균을 내면 한 가구당 약 20억 원이 나와서 보통 주민들의 살림살이를 전혀 반영하지 못해요.
이럴 때는 크기순으로 가운데에 있는 3천만 원(중앙값)이 동네 수준을 훨씬 정직하게 보여줍니다.
🔎 「최빈값」은 언제 가장 쓸모가 있나요?
가장 빈번하게 나타난 값이라는 뜻으로, 제일 인기가 많은 항목을 찾을 때 써요.
신발 가게 주인이 가장 많이 팔린 신발 치수를 주문할 때는 평균(예: 257.3mm)이 아무 쓸모가 없지요.
가장 많은 손님이 찾는 260mm라는 최빈값이 가장 유용한 대푯값이 된답니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 짝수 개 자료의 중앙값 구하기
자료의 개수가 홀수 개이면 정확히 한가운데 숫자가 1개 남아요: 1, 3, 7 → 중앙값은 3.
하지만 2, 4, 8, 10처럼 짝수 개이면 정가운데 숫자가 딱 하나로 떨어지지 않아요.
이럴 때는 가운데 있는 두 수(4와 8)를 골라 둘의 평균인 (4 + 8) ÷ 2 = 6을 중앙값으로 약속해요.
📺📺 영상으로 보기흩어진 정도 = 분산▶
📺 움직이는 개념 — 흩어진 정도 = 분산
자료가 평균에서 얼마나 퍼졌는지 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
산포도 — 얼마나 흩어졌나
대푯값이 같아도 자료가 모여 있는지 퍼져 있는지는 달라요.
자료가 흩어진 정도를 하나의 수로 나타낸 것이 산포도예요.
각 변량에서 평균을 뺀 값을 편차라고 불러요.
편차를 모두 더한 합은 언제나 0이 됩니다.
편차를 제곱하여 평균을 낸 것이 분산이에요.
분산에 양의 제곱근을 씌운 값을 표준편차라고 해요.
두 변량을 점으로 찍은 산점도로 상관관계를 읽어요.
기억해요 — 편차의 합=0, 분산=(편차)²의 평균, 표준편차=√분산. 산포도가 작을수록 평균 주위에 모여 '고르다(일정하다)'🔎 「편차」가 무슨 말이죠?
치우칠 편(偏), 어긋날 차(差)를 써서 평균에서 얼마나 벗어났는지를 뜻해요.
공식으로는 언제나 (변량) − (평균)으로 계산해요.
평균보다 큰 변량은 양(+)의 편차, 평균보다 작은 변량은 음(−)의 편차를 가져요.
🔎 편차의 합은 왜 항상 0인가요?
평균은 모든 변량이 양쪽으로 완벽한 수평을 이루는 시소의 받침점과 같아요.
평균보다 큰 쪽의 차이의 합과 작은 쪽의 차이의 합이 정확히 맞물려 상쇄돼요.
그래서 모든 편차를 다 더하면 언제나 신기하게 딱 0이 된답니다.
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — 편차를 제곱해서 평균 내는 이유
편차의 평균을 내어 흩어짐을 재고 싶지만, 그냥 더하면 늘 0이 되어 버려요.
음수 편차를 모두 양수로 탈바꿈시키기 위해 각 편차를 제곱해요.
이 제곱된 편차들의 평균을 구한 것이 바로 분산이에요.
🔎 「표준편차」는 왜 분산에 루트를 씌우나요?
편차를 제곱하는 바람에 분산의 단위는 원래 자료 단위의 제곱(예: cm²)이 되어 버려요.
키의 편차를 보는데 단위가 제곱센티미터면 직관적으로 비교하기 어렵지요.
다시 원래 단위(cm)로 되돌려놓기 위해 분산에 제곱근(√)을 씌운 것이 표준편차예요.
①편차
각 자료 − 평균. 모두 더하면 0.
②분산
편차를 제곱해 평균낸 값. 흩어짐의 크기.
③표준편차
√분산. 자료와 같은 단위로 흩어짐 표현.
④상관관계
두 양의 관계 — 양의·음의·상관 없음.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 분산과 표준편차 계산 4단계
첫째, 자료를 모두 더해 개수로 나누어 평균을 구해요.
둘째, 각 변량에서 평균을 빼서 편차를 각각 구해요.
셋째, 편차를 각각 제곱한 뒤 평균을 내어 분산을 구해요.
넷째, 분산에 루트를 씌워 표준편차(√분산)를 완성해요.
🔎 「자료가 고르다」는 말이 왜 헷갈릴까요?
일상에서 '반찬을 골고루 먹는다' 할 때는 넓게 퍼진 것을 뜻해요.
하지만 통계에서 '고르다'는 땅이 고르듯 기복 없이 일정하다는 뜻이에요.
자료들이 평균 주위에 오순도순 모여 있을 때, 즉 분산이 작을 때 고르다고 말해요.
🔎 「산점도」와 「상관관계」가 무슨 뜻인가요?
두 변량 x와 y를 순서쌍 (x, y)로 만들어 좌표평면에 흩뿌리듯 점을 찍은 그림을 산점도라고 해요.
점을 찍었을 때 두 변량이 함께 늘거나 줄어드는 연관된 경향을 상관관계라고 부릅니다.
기온과 아이스크림 판매량처럼 서로 영향을 주고받는 관계를 한눈에 볼 수 있어요.
🔎 양의 상관관계와 음의 상관관계는 어떻게 구별하나요?
x가 커질 때 y도 함께 대체로 커지면(오른쪽 위 ↗ 방향) 양의 상관관계예요.
반대로 x가 커질 때 y는 대체로 작아지면(오른쪽 아래 ↘ 방향) 음의 상관관계예요.
점이 둥글게 퍼져 아무 방향성도 보이지 않으면 상관관계가 없다고 판정해요.
왜 편차를 제곱할까
편차를 그냥 더하면 양수와 음수가 상쇄돼 항상 0이 돼요.
그래서 제곱하여 모두 양수로 만든 뒤 평균을 냅니다.
멀리 떨어진 값일수록 크게 반영되어 흩어진 정도가 잘 드러나요.
분산의 또 다른 계산법과 변량의 변환
① 제곱의 평균 빼기 평균의 제곱: 편차 구하기가 번거로울 때 유용한 공식이에요.
분산 = (변량²의 평균) − (평균)²으로 계산해도 똑같아요.
② 변량의 변환: 변량에 같은 수를 더해도 흩어진 폭은 그대로라 분산은 불변이에요.
반면 변량을 k배 하면 표준편차는 |k|배, 분산은 k²배가 됩니다.
짝수 개 중앙값 · 표준편차 구별 · '고르다'의 통계적 뜻 주의!
① 짝수 개 중앙값: 크기순으로 늘어놓고 가운데 두 수의 평균을 내요.
2, 4, 8, 10의 중앙값은 (4 + 8) ÷ 2 = 6이에요.
② 분산과 표준편차: 편차 제곱의 평균은 분산이에요.
거기에 양의 제곱근을 씌운 √분산이 표준편차입니다.
③ '자료가 고르다': 통계에서 '고르다'는 평균에 촘촘히 모였다는 뜻이에요.
따라서 분산·표준편차가 작을수록 자료가 고른 것입니다.
산점도와 상관관계
두 변량을 좌표평면에 점으로 나타낸 그림을 산점도라 해요.
점들이 오른쪽 위로 향하면 양의 상관관계예요.
점들이 오른쪽 아래로 향하면 음의 상관관계예요.
뚜렷한 경향이 보이지 않으면 상관관계가 없다고 합니다.
자주 틀리는 것 세 가지
① '자료가 고르다'의 오해
틀린 보기: 분산이 큰 자료를 보고 "넓게 골고루 퍼져 있으니 자료가 고르다"고 생각함.
왜 틀렸나: 일상에서 쓰는 '골고루'와 통계에서 쓰이는 '고르다'의 뜻을 반대로 혼동했어요.
바른 것: 통계에서 '고르다'는 평균 주위에 빽빽이 모여 기복이 없다는 뜻이에요. 분산이나 표준편차가 작을수록 자료가 고른 것이에요.
② 짝수 개 자료의 중앙값 구하기 실수
틀린 보기: 4개 자료 2, 4, 8, 10에서 중앙값을 4나 8 중 하나만 고름.
왜 틀렸나: 자료가 짝수 개일 때는 정가운데에 딱 한 개의 숫자가 남지 않는다는 규칙을 깜빡했어요.
바른 것: 자료가 짝수 개일 때는 가운데 두 수의 평균을 내요. (4 + 8) ÷ 2 = 6이 바른 중앙값이에요.
③ 분산과 표준편차 구별 실수
틀린 보기: 편차 제곱의 평균을 구한 뒤 그 값을 그대로 표준편차라고 적음.
왜 틀렸나: 표준편차는 분산에 루트를 씌워야 한다는 마지막 단계를 놓쳤어요.
바른 것: 편차 제곱의 평균은 분산이에요. 표준편차는 반드시 분산에 양의 제곱근을 씌운 √분산이어야 해요.
스스로 풀어요 (3단계)
평균·중앙값·최빈값, 편차의 합부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 산포도를 ‘편차 → 제곱 → 평균’ 세 걸음으로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 분산이 작을수록 고르다는 한 문장으로 해석을 묶었습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 자료가 나와요. 평균·편차·분산·표준편차 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 대푯값과 산포도(분산·표준편차)까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1편차의 합
어떤 자료에서 편차의 합은 얼마인가요?
답: 0
편차의 합은 항상 0
편차의 합은 항상 0
2분산
변량 2, 4, 6, 8, 10의 분산은?
답: 8
평균 6, 편차² 합 40 ÷ 5 = 8
평균 6, 편차² 합 40 ÷ 5 = 8
3표준편차
변량 1, 3, 5, 7, 9의 표준편차는?
답: 2√2
평균 5, 분산 8 → √8 = 2√2
평균 5, 분산 8 → √8 = 2√2
4분산 공식
변량 2와 4의 분산을 (변량²의 평균) − (평균)² 으로 구하면?
답: 1
변량²의 평균 = (4+16)/2 = 10, 평균² = 3² = 9 → 10−9 = 1
변량²의 평균 = (4+16)/2 = 10, 평균² = 3² = 9 → 10−9 = 1
5대소 비교
두 자료의 평균이 같을 때, 표준편차가 작은 쪽이 더 고른가요?
답: 예
표준편차가 작을수록 변량들이 평균 주위에 가깝게 모여 있어 '자료가 고르다(일정하다)'고 해요. ('골고루 퍼졌다'는 뜻이 아니에요!)
표준편차가 작을수록 변량들이 평균 주위에 가깝게 모여 있어 '자료가 고르다(일정하다)'고 해요. ('골고루 퍼졌다'는 뜻이 아니에요!)
6편차 추론
5개 변량의 편차가 −3, a, 0, 1, 2 이고 편차의 합이 0일 때 a는?
답: 0
−3+a+0+1+2 = 0 → a = 0
−3+a+0+1+2 = 0 → a = 0
7자료 변환
변량 10, 10, 10의 분산과 표준편차는?
답: 둘 다 0
모두 같으므로 분산 0, 표준편차 0
모두 같으므로 분산 0, 표준편차 0
8분산
표준편차가 3인 자료의 분산은?
답: 9
3² = 9
3² = 9
9상수배
변량 6, 8, 10, 12 (평균 9)의 분산은?
답: 5
편차 −3,−1,1,3 → 제곱 합 20 ÷ 4 = 5
편차 −3,−1,1,3 → 제곱 합 20 ÷ 4 = 5
10자료 만들기
자료의 모든 값을 2배로 하면 표준편차는 몇 배가 되나요?
답: 2배
값을 k배 하면 표준편차도 k배
값을 k배 하면 표준편차도 k배
11분산 활용
변량 1, 2, 3 (평균 2)의 분산은?
답: 2/3
편차 −1,0,1 → 제곱 합 2 ÷ 3 = 2/3
편차 −1,0,1 → 제곱 합 2 ÷ 3 = 2/3
객관식 진단 퀴즈 — 통계
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 두 변량의 편차와 분산
값 ① 6
값 ② 10
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1대푯값 = 평균·중앙값·최빈값. 극단값엔 중앙값이 든든.
- 2편차 = 변량(자료) − 평균. 합은 항상 0.
- 3분산 = (편차)²의 평균, 표준편차 = √분산.
- 4분산이 작을수록 고르게 모여 있다.
이 단원의 말·기호
- 변량
- 키·점수처럼 자료를 수량으로 나타낸 값.
- 편차
- 각 변량에서 평균을 뺀 값(변량 − 평균).
- 분산
- 편차의 제곱의 평균(흩어짐).
- 표준편차
- √분산(자료와 같은 단위).
- 상관관계
- 두 양이 함께 변하는 경향(양·음).
내 말로 설명하기
편차를 왜 제곱하는지 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “편차를 그냥 더하면 양수·음수가 상쇄돼 0이야. 그래서 제곱해 모두 양수로 만든 뒤 평균을 내 — 그게 분산.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.