왜 삼각비를 배울까?
직접 오를 수 없는 산의 높이도 각도만 알면 잴 수 있어요. 건널 수 없는 강의 너비도 쉽게 구합니다. 삼각비는 측량과 건축의 핵심 도구랍니다.
🔎 「삼각비」가 무슨 말이죠?
직각삼각형에서 두 변의 길이 사이의 비율을 삼각비라고 해요.
어떤 각이 정해지면 삼각형 크기와 상관없이 변의 비율은 항상 일정해요.
사인, 코사인, 탄젠트 세 가지가 대표적인 삼각비랍니다.
🔎 각도만으로 어떻게 높이를 재나요?
탑 밑에서 내가 서 있는 곳까지의 거리를 먼저 걸어서 재요.
그다음 올려다본 각도를 측정기구로 잽니다.
밑변의 길이에 탄젠트 값을 곱하면 탑의 높이가 바로 계산돼요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 삼각비 sin·cos·tan를 이해한다. ② 특수각의 삼각비를 안다. ③ 한 변·한 각으로 다른 변을 구한다. ④ 높이·거리에 활용한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 직각삼각형에서 가장 긴 변은?
② 닮은 직각삼각형의 대응변의 비는 어떨까요?
① 빗변 · ② 같다. 각이 같으면 크기가 달라도 변의 비가 같아 ‘각의 비’가 정해져요.
삼각비 — 직각삼각형 속 변의 비
직각삼각형에서 기준각 A를 먼저 정해요. 마주 보는 변이 높이(대변)가 됩니다. 각에 이웃한 직각 변은 밑변이에요. 각 A가 같으면 삼각형은 모두 닮음이에요. 크기와 상관없이 두 변의 길이의 비가 항상 일정합니다. 이 일정한 비를 삼각비라고 불러요. sin A = 높이/빗변, cos A = 밑변/빗변, tan A = 높이/밑변으로 정해요. 빗변 5, 높이 3, 밑변 4이면 sin A는 3/5이 됩니다.
기억해요 — sin A = 높이(대변)/빗변, cos A = 밑변(이웃한 변)/빗변, tan A = 높이(대변)/밑변
🔎 「대변」과 「이웃한 변」이 무슨 뜻인가요?
대변(對邊)은 마주 대하고 있는 변이라는 뜻이에요.
기준각 A의 맞은편에 있는 변이 바로 대변(높이)이랍니다.
반대로 기준각 A와 바로 붙어 있는 직각변을 이웃한 변(밑변)이라 해요.
🔎 왜 삼각형 크기가 달라도 삼각비가 같나요?
직각과 각 A가 같으면 모든 직각삼각형은 닮음(AA 닮음)이에요.
삼각형을 2배, 3배 확대해도 대응변의 길이의 비는 그대로 유지돼요.
그래서 삼각비는 오직 각도의 크기에 의해서만 결정된답니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — sin, cos, tan 쉽게 외우기
알파벳 필기체를 상상하면 아주 쉬워요.
s는 빗변을 타고 올라가 높이로 내려오니 (높이/빗변)이에요.
c는 빗변에서 밑변을 감싸 안으니 (밑변/빗변)이에요.
t는 밑변에서 높이로 꺾여 올라가니 (높이/밑변)이 된답니다.
📺📺 영상으로 보기삼각비는 변의 비▶
📺 움직이는 개념 — 삼각비는 변의 비
직각삼각형 변에 이름을 붙여요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
🔎 왜 그럴까 삼각형이 커져도 왜 삼각비는 그대로일까?
직각삼각형에서 한 예각 A의 크기가 같으면 나머지 각도 모두 같아 AA 닮음이 돼요. 세 변의 길이가 2배, 3배로 늘어나도 분모와 분자가 똑같이 약분되므로 sin A, cos A, tan A의 값은 삼각형의 크기와 상관없이 오직 각 A의 크기에만 따라 정해져요.
🔎 흔한 실수 기준각이 바뀌면 높이와 밑변도 바뀌어요!
항상 가로 변이 밑변이고 세로 변이 높이라고 생각하면 틀리기 쉬워요. 기준각이 위쪽 꼭짓점 B로 바뀌면, 각 B와 마주 보는 아래쪽 변(AC)이 높이(대변)가 되고 각 B에 이웃한 세로 변(BC)이 밑변(이웃한 변)이 됩니다. 반면 빗변은 언제나 직각(90°)과 마주 보는 가장 긴 변이에요.
🔎 다른 방법 삼각비 사이의 관계 (고등학교 과정 미리보기)
sin A / cos A = (a/c)/(b/c) = a/b = tan A이므로, sin A와 cos A를 알면 삼각형을 다시 그리지 않고도 tan A = sin A / cos A로 바로 구할 수 있어요. 또한 피타고라스 정리 a²+b²=c²의 양변을 c²으로 나누면 sin²A + cos²A = 1이 항상 성립해요. (고등학교 삼각함수에서 다시 깊이 만나요)
특수각과 활용 — 30°·45°·60°
자주 쓰이는 특수각의 삼각비는 도형에서 바로 나와요. 정삼각형을 반으로 자르면 30°와 60°가 생깁니다. 정사각형을 반으로 자르면 45°가 나와요. 변의 길이 비율로 특수각 값을 정해요. sin30°=cos60°=½, sin45°=cos45°=1/√2=√2/2, sin60°=cos30°=√3/2예요. 탄젠트는 tan30°=1/√3=√3/3, tan45°=1, tan60°=√3입니다. 또 각이 0°이면 높이가 0이라 sin0°=0, cos0°=1, tan0°=0이고, 90°이면 sin90°=1, cos90°=0이 돼요. 한 변과 한 각을 알면 높이 = 빗변×sin A = 밑변×tan A, 밑변 = 빗변×cos A로 다른 변을 구해요. 이를 이용하면 건물 높이나 강 너비를 쉽게 잽니다.
기억해요 — 30°·45°·60°(및 0°·90°)의 삼각비 표를 익히면 한 변과 한 각으로 나머지 변을 구할 수 있어요
🔎 「특수각」이 왜 특별한가요?
30°, 45°, 60°는 정삼각형과 정사각형에서 유도되는 각이에요.
피타고라스 정리를 쓰면 제곱근 기호로 정확한 값을 구할 수 있어요.
그래서 측량과 시험에서 가장 널리 쓰이는 기준 각이 됩니다.
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — 높이 = 빗변 × sin A
사인 공식 sin A = (높이 / 빗변)의 양변에 빗변을 곱해 봐요.
그러면 (빗변 × sin A = 높이)라는 식이 바로 나와요.
마찬가지로 tan A = (높이 / 밑변)이므로 밑변 × tan A = 높이가 됩니다.
🔎 「올려본각(앙각)」과 「내려본각(부각)」이 무슨 말이죠?
눈높이 수평선을 기준으로 위쪽 물체를 올려다본 각을 올려본각이라고 해요.
수평선 아래쪽을 내려다본 각은 내려본각이라고 부릅니다.
평행선의 엇각 성질 덕분에 올려본각과 내려본각의 크기는 항상 서로 같아요.
한눈에 보는 특수각과 0°·90°의 삼각비 표
| 삼각비 \ 각 A | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin A | 0 | ½ | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos A | 1 | √3/2 | √2/2 | ½ | 0 |
| tan A | 0 | √3/3 (1/√3) | 1 | √3 | 정할 수 없음 |
①sin
대변 ÷ 빗변. 높이를 구할 때 자주.
②cos
밑변(이웃한 변) ÷ 빗변. 밑변을 구할 때 자주.
③tan
높이(대변) ÷ 밑변(이웃한 변). 빗변 없이 두 변의 비.
④특수각
30·45·60°는 외워두기 (½, √2/2, √3/2 …).
🔎 왜 그럴까 왜 30°·45°·60°의 변의 비는 1:√3:2와 1:1:√2가 될까?
① 30°·60° (정삼각형의 반): 한 변의 길이가 2인 정삼각형에서 꼭짓점의 수선을 내리면 밑변이 반으로 나뉘어 1이 돼요. 피타고라스 정리로 높이는 √(2²−1²)=√3이므로 세 변의 비가 1:√3:2가 됩니다. 여기서 sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tan 30°=1/√3=√3/3이 나와요.
② 45° (정사각형의 반): 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 직각이등변삼각형이 되고, 피타고라스 정리로 빗변은 √(1²+1²)=√2이므로 세 변의 비가 1:1:√2가 됩니다. 따라서 sin 45°=cos 45°=1/√2=√2/2, tan 45°=1이에요.
② 45° (정사각형의 반): 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 직각이등변삼각형이 되고, 피타고라스 정리로 빗변은 √(1²+1²)=√2이므로 세 변의 비가 1:1:√2가 됩니다. 따라서 sin 45°=cos 45°=1/√2=√2/2, tan 45°=1이에요.
🔎 더 나아가기 0°·90°의 삼각비와 sin²A + cos²A = 1의 비밀
① 0°와 90°의 삼각비: 빗변의 길이가 1인 직각삼각형(사분원)에서 각 A가 0°에 가까워지면 높이는 0, 밑변은 1이 되어 sin 0°=0, cos 0°=1, tan 0°=0이 돼요. 반대로 각 A가 90°에 가까워지면 높이는 1, 밑변은 0이 되어 sin 90°=1, cos 90°=0이 됩니다(tan 90°는 분모인 밑변이 0이 되어 정할 수 없어요).
② 왜 sin²A + cos²A = 1일까?: 직각삼각형의 피타고라스 정리 a²+b²=c²에서 양변을 빗변의 제곱(c²)으로 나누면 (a/c)²+(b/c)²=1이 돼요. 여기서 a/c=sin A, b/c=cos A이므로 어떤 예각 A에 대해서도 항상 sin²A + cos²A = 1이 성립합니다. 측량·항해·건축에서 직접 못 재는 높이와 거리를 각도로 구하는 이 원리는 고등학교 삼각함수로 크게 확장됩니다.
② 왜 sin²A + cos²A = 1일까?: 직각삼각형의 피타고라스 정리 a²+b²=c²에서 양변을 빗변의 제곱(c²)으로 나누면 (a/c)²+(b/c)²=1이 돼요. 여기서 a/c=sin A, b/c=cos A이므로 어떤 예각 A에 대해서도 항상 sin²A + cos²A = 1이 성립합니다. 측량·항해·건축에서 직접 못 재는 높이와 거리를 각도로 구하는 이 원리는 고등학교 삼각함수로 크게 확장됩니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 직각삼각형 변 구하기 3단계
① 주어진 각과 알고 있는 변, 구하려는 변의 위치를 살펴요.
② 세 변 중 어느 두 변이 쓰이는지 보고 sin, cos, tan 중 하나를 골라요.
③ 특수각 삼각비 값을 대입하여 일차방정식처럼 길이를 계산해요.
스스로 풀어요 (3단계)
변의 비로 sin·cos·tan, 특수각 값부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 삼각비를 ‘sin=높이(대변)/빗변, cos=밑변(이웃한 변)/빗변, tan=높이(대변)/밑변’ 세 줄로 고정했어요. ‘더 간결하게’: 특수각은 한 표로 외워 바로 쓰게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 특수각 값·변의 비가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
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지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 삼각비의 활용과 값 구하기까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1특수각 합·차
sin 60° − cos 30° 의 값은?
답: 0
√3/2 − √3/2 = 0
√3/2 − √3/2 = 0
2삼각비와 피타고라스 정리
임의의 예각 A에 대해 sin²A + cos²A 의 값은?
답: 1
직각삼각형에서 피타고라스 정리 a²+b²=c²의 양변을 빗변의 제곱(c²)으로 나누면 (a/c)²+(b/c)²=1이 되어, 항상 sin²A + cos²A = 1이 성립해요.
직각삼각형에서 피타고라스 정리 a²+b²=c²의 양변을 빗변의 제곱(c²)으로 나누면 (a/c)²+(b/c)²=1이 되어, 항상 sin²A + cos²A = 1이 성립해요.
3특수각 곱
tan 45° + tan 45° 의 값은?
답: 2
1 + 1 = 2
1 + 1 = 2
4변의 비
직각삼각형에서 tan A = 4/3 일 때, sin A는?
답: 4/5
3-4-5 직각삼각형(A의 맞은편이 4) → sinA = 4/5
3-4-5 직각삼각형(A의 맞은편이 4) → sinA = 4/5
5거리 구하기
높이 6m인 탑의 꼭대기를 수평선에서 올려다본 각(올려본각)이 30°인 지점은 탑의 밑에서 몇 m 떨어져 있나요?
답: 6√3 m
거리 = 높이 ÷ tan30° = 6 ÷ (√3/3) = 6√3
거리 = 높이 ÷ tan30° = 6 ÷ (√3/3) = 6√3
6특수각 곱
sin 30° × 4 의 값은?
답: 2
½ × 4 = 2
½ × 4 = 2
7정삼각형 넓이
한 변의 길이가 2인 정삼각형의 넓이는?
답: √3
넓이 = ½ × 밑변 × 높이 = ½ × 2 × √3 = √3
넓이 = ½ × 밑변 × 높이 = ½ × 2 × √3 = √3
8코사인90
cos 0° + cos 90° 의 값은?
답: 1
1 + 0 = 1
1 + 0 = 1
9유리화
sin 45° 를 분모를 유리화한 형태로 나타내면?
답: √2/2
1/√2 × √2/√2 = √2/2
1/√2 × √2/√2 = √2/2
10직각삼각형 넓이
빗변이 4이고 한 예각이 30°인 직각삼각형의 넓이는?
답: 2√3
두 변 4sin30°=2, 4cos30°=2√3. 넓이 = ½×2×2√3 = 2√3
두 변 4sin30°=2, 4cos30°=2√3. 넓이 = ½×2×2√3 = 2√3
11곱의 값
tan 60° × cos 60° 의 값은?
답: √3/2
√3 × ½ = √3/2 (= sin60°)
√3 × ½ = √3/2 (= sin60°)
객관식 진단 퀴즈 — 삼각비
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 30°의 높이(빗변×sin30°)
빗변 12
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
🔎 분모의 유리화는 왜 꼭 해야 하나요?
1 / √2 같은 수는 분모가 무리수라서 실제 크기를 짐작하기 어려워요.
분모와 분자에 √2를 곱해 √2 / 2 로 바꾸면 크기를 어림하기 쉬워집니다.
답을 적을 때도 약속된 표준 형태(기약분수·유리화)로 정리하는 것이 원칙이에요.
한 장 핵심
- 1sin A = 높이(대변)/빗변, cos A = 밑변(이웃한 변)/빗변, tan A = 높이(대변)/밑변.
- 2각이 같으면(닮음) 변의 비도 같다 → ‘각의 함수’.
- 3특수각: sin30°=cos60°=½, sin45°=cos45°=√2/2, sin60°=cos30°=√3/2, tan30°=√3/3, tan45°=1, tan60°=√3 · 0°·90°: sin0°=cos90°=0, sin90°=cos0°=1, tan0°=0.
- 4변의 길이 구하기: 높이 = 빗변×sin A = 밑변×tan A, 밑변 = 빗변×cos A로 직접 재기 어려운 높이와 거리를 구해요.
이 단원의 말·기호
- 삼각비
- 직각삼각형 변의 비(sin·cos·tan).
- 대변
- 어떤 각과 마주 보는 변.
- 밑변(이웃한 변)
- 기준각 A에 이웃한 변(빗변이 아닌 직각변).
- 특수각
- 30°·45°·60°(및 0°·90°)처럼 삼각비 값을 바로 알 수 있는 각.
- 올려본각(앙각)
- 정면 수평선에서 위쪽 물체를 올려다본 각.
내 말로 설명하기
삼각비가 왜 각만으로 정해지는지 한 줄로?
예시 — “각이 같은 직각삼각형은 크기가 달라도 모두 닮음이야. 닮으면 대응변의 비가 같아서, 같은 각엔 같은 삼각비가 정해져.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.