연 수학›중학교 2학년›피타고라스 정리
중학교 2학년 · 도형과 측정
YEON MATH · GRADE 8

피타고라스 정리

a²+b²=c² · 피타고라스 수 · 거리·대각선

왜 피타고라스 정리를 배울까?

직각만 있으면 잴 수 없는 거리도 계산해요.

텔레비전 화면의 대각선 크기를 잴 때도 쓰입니다.

사다리 높이나 지도 위 거리 측정에도 활용돼요.

이천오백 년 전부터 오늘날까지 쓰이는 정리예요.

인류 역사상 가장 널리 쓰이는 수학 법칙입니다.

직각삼각형의 세 변이 맺는 놀라운 비밀을 알아봐요.

🔎 TV 화면 크기는 왜 대각선으로 잴까요?

화면의 가로와 세로 비율이 제품마다 다를 수 있어요.

대각선 길이를 재면 화면의 크기를 통일해 비교할 수 있습니다.

피타고라스 정리를 쓰면 가로와 세로로 대각선을 바로 구해요.

🔎 스마트폰 GPS에도 피타고라스 정리가 쓰이나요?

위성에서 보낸 신호로 나의 위치를 삼각측량해요.

위성과 내 위치 사이의 직선거리를 계산할 때 정리의 원리가 쓰입니다.

고대 수학이 현대 첨단 기술의 바탕이 되고 있어요.

피타고라스 정리 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 피타고라스 정리 a²+b²=c²를 이해한다. ② 빗변·직각변의 길이를 구한다. ③ 피타고라스 수를 안다. ④ 대각선·거리에 활용한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지가 떠오르면 좋아요.

① 3² 은 얼마일까요?
② 직각삼각형에서 가장 긴 변을 무엇이라 할까요?
① 9 · ② 빗변. 두 직각변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱이에요.
🔎 빗변은 항상 가장 긴 변인가요?

삼각형에서 가장 큰 각과 마주 보는 변이 가장 길어요.

직각삼각형에서는 직각인 90도가 가장 큰 각입니다.

따라서 직각의 맞은편 변인 빗변이 항상 가장 깁니다.

피타고라스 정리 — 직각삼각형의 약속

직각을 낀 두 변을 직각변이라고 불러요.

직각과 마주 보는 가장 긴 변은 빗변입니다.

세 변 위에 각각 정사각형을 그리면 특별한 관계가 나타나요.

두 직각변 위 정사각형 넓이를 더해 봅니다.

놀랍게도 빗변 위 정사각형 넓이와 똑같아져요.

기호로 나타내면 a² + b² = c²이 됩니다.

🔎 직각변과 빗변의 이름을 어떻게 구분하나요?

직각을 만드는 두 선분이 바로 직각변이에요.

직각과 마주 보며 비스듬히 누운 변이 빗변입니다.

빗변은 언제나 셋 중에서 가장 긴 변이에요.

🔎 가장 대표적인 3, 4, 5의 관계 살펴보기

한 변이 3인 정사각형의 넓이는 9예요.

한 변이 4인 정사각형의 넓이는 16입니다.

두 넓이를 더하면 25가 되어 5의 제곱과 딱 맞아요.

세 변의 길이를 알 때도 공식을 거꾸로 써요.

가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱합과 같나요?

그렇다면 그 삼각형은 반드시 직각삼각형이 됩니다.

🔎 세 변의 길이로 직각삼각형인지 확인하는 법

세 변 중 가장 긴 변을 먼저 골라내요.

나머지 두 변을 각각 제곱하여 더해 봅니다.

가장 긴 변의 제곱과 같으면 직각삼각형이에요.

기억해요 — a² + b² = c² (두 직각변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱)
📺📺 영상으로 보기세 정사각형의 넓이▶

피타고라스 수와 활용

세 변의 길이가 모두 자연수인 특별한 짝이 있어요.

이러한 자연수 묶음을 피타고라스 수라고 불러요.

자주 나오는 수를 기억해 두면 계산이 훨씬 빨라집니다.

대표적으로 (3, 4, 5)와 (5, 12, 13)이 있어요.

각 수에 2나 3을 곱한 배수도 모두 피타고라스 수예요.

예를 들어 (6, 8, 10)도 직각삼각형을 이룹니다.

🔎 피타고라스 수를 외워두면 어떤 점이 좋은가요?

복잡하게 제곱을 계산하지 않고도 암산할 수 있어요.

두 변이 3과 4이면 빗변은 바로 5임을 알게 됩니다.

시험에서 계산 실수를 크게 줄여 줘요.

도형 속에서 직각삼각형을 찾으면 길이를 구해요.

이등변삼각형은 수선을 내려 높이를 계산합니다.

좌표평면의 두 점 사이 거리도 빗변으로 구해요.

🔎 좌표평면에서 두 점 사이 거리는 어떻게 구하나요?

가로 방향의 차이와 세로 방향의 차이를 직각변으로 삼아요.

두 점을 잇는 선분이 바로 직각삼각형의 빗변이 됩니다.

가로 제곱과 세로 제곱을 더해 거리의 제곱을 구해요.

🔎 빗변에 내린 높이 h를 구하는 ‘소’ 공식

삼각형 넓이는 밑변 곱하기 높이 나누기 2예요.

두 직각변의 곱 ab는 빗변과 높이의 곱 ch와 같아요.

한글 ‘소’ 모양을 닮아 ‘소 공식’이라고도 불러요.

기억해요 — 모르는 변 하나는 a²+b²=c²로. 빗변은 가장 긴 변(왼쪽 두 변 제곱의 합)

①빗변 구하기

c² = a² + b². 두 직각변의 제곱의 합으로 구해요.

②직각변 구하기

b² = c² − a². 빗변의 제곱에서 다른 직각변의 제곱을 빼요.

③피타고라스 수

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)와 그 배수(6, 8, 10 등).

④거리·대각선

직사각형 (대각선)² = (가로)²+(세로)² 등에 활용.

🔎 직사각형의 대각선 길이는 어떻게 구하나요?

직사각형을 대각선으로 자르면 직각삼각형 둘이 돼요.

가로와 세로가 두 직각변이고 대각선이 빗변입니다.

가로 제곱과 세로 제곱을 더하면 대각선 제곱이 돼요.

왜 성립할까(넓이로 보기)

큰 정사각형 안에 똑같은 직각삼각형 4개를 놓아요.

귀퉁이에 배치하면 가운데에 c² 넓이가 남습니다.

삼각형을 둘씩 모으면 빈자리는 a²과 b²이 돼요.

전체 넓이에서 뺀 나머지는 서로 같아야 합니다.

따라서 a² + b² = c²이 항상 성립해요.

🔎 피타고라스 정리의 다른 증명법도 있나요?

피타고라스 정리는 수백 가지 증명법이 전해져요.

유클리드가 기하학적으로 증명한 방법도 유명합니다.

미국의 20대 대통령 가필드가 증명한 사다리꼴 방법도 있어요.

다음으로

가장 긴 변 c를 기준으로 삼각형 모양을 판별해요.

a² + b² > c²이면 세 각이 모두 예각인 예각삼각형이에요.

a² + b² < c²이면 한 각이 둔각인 둔각삼각형이 됩니다.

입체도형 직육면체의 대각선 길이도 구할 수 있어요.

밑면 대각선과 높이로 직각삼각형을 한 번 더 만듭니다.

🔎 직육면체의 대각선 길이는 어떻게 계산하나요?

가로 a, 세로 b로 밑면 대각선의 제곱(a²+b²)을 구해요.

여기에 높이의 제곱 c²을 더하면 공간 대각선 D²이 돼요.

따라서 D² = a² + b² + c² 공식이 완성됩니다.

스스로 풀어요 (3단계)

두 변으로 빗변, 빗변과 한 변으로 나머지 변부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 문제를 ‘a²+b²=c² 한 식’으로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 자주 나오는 피타고라스 수를 외우면 계산을 건너뛸 수 있게 했습니다.

새 문제로 무한 연습

버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 빗변·변 구하기, 대각선, 직각 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.

1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 피타고라스 수·공간 대각선·좌표 거리·정삼각형의 높이·변의 비·빗변에 내린 높이까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1좌표 거리
좌표평면에서 두 점 A(1, 2)와 B(4, 6) 사이의 거리는?
2피타고라스 수
한 직각변이 20인 직각삼각형의 세 변이 모두 자연수일 때, 빗변이 될 수 있는 가장 작은 값은?
3정삼각형의 높이
한 변의 길이가 6인 정삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 내린 높이를 h라 할 때, h²의 값은?
4두 변의 차
빗변이 10이고 두 직각변의 길이의 차가 2인 직각삼각형의 두 직각변은?
5원의 반지름
중심이 원점이고 점 (3, 4)를 지나는 원의 반지름은?
6직각 판별
세 변이 9, 12, 15인 삼각형은 직각삼각형입니까?
7공간 대각선
한 모서리의 길이가 4인 정육면체의 대각선의 길이를 d라 할 때, d²의 값은?
8변의 비
직각삼각형의 세 변의 비가 3 : 4 : 5이고 둘레가 36일 때, 빗변의 길이는?
9빗변에 내린 높이
직각을 낀 두 변이 9, 12인 직각삼각형에서, 빗변에 내린 높이는?
10정사각형 넓이
대각선의 길이가 8인 정사각형의 넓이는?
11활용 거리
높이 12m 전봇대 꼭대기에서 땅의 한 점까지 줄의 길이가 13m입니다. 그 점은 전봇대 밑에서 몇 m 떨어져 있나요?

객관식 진단 퀴즈 — 피타고라스정리

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 정사각형 넓이의 합 (a²+b²=c²)

직각변 3 직각변 4
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

피타고라스 정리에서 자주 틀리는 세 가지

직각삼각형 계산에서 학생들이 가장 많이 하는 실수 세 가지와 예방법이에요. 꼭 확인해요.

① 빗변이 아닌 변을 c 자리에 넣는 실수 — 피타고라스 정리 a² + b² = c²에서 c는 반드시 직각과 마주 보는 빗변이어야 해요. 아무 변이나 가장 긴 자리에 넣으면 식 전체가 엉뚱해집니다.
② 제곱 계산을 곱하기 2로 착각하는 실수 — 3²은 3 × 3 = 9인데, 무심코 3 × 2 = 6으로 잘못 계산하는 경우가 많아요. 거듭제곱은 자기 자신을 곱하는 계산임을 꼭 의식해요.
③ 직각삼각형인지 확인하지 않고 공식을 쓰는 실수 — 피타고라스 정리는 오직 한 각이 90도인 직각삼각형에서만 쓸 수 있어요. 일반 삼각형에서는 수선을 내려 직각을 먼저 만든 뒤 써야 합니다.
🔎 빗변이 아닌 직각변 b를 구할 때의 식 변형

a² + b² = c²에서 a²을 우변으로 이항해요.

그러면 b² = c² − a² 꼴이 됩니다.

빗변의 제곱에서 다른 직각변의 제곱을 빼면 돼요.

🔎 대표적인 피타고라스 수 4쌍을 암기하는 법

(3, 4, 5)와 (5, 12, 13)을 먼저 확실히 외워요.

이어서 (8, 15, 17)과 (7, 24, 25)를 함께 묶어 둡니다.

이 네 쌍만 알아도 중학교 문제의 대부분이 바로 풀려요.

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

빗변
직각삼각형에서 직각(90°)과 마주 보는 가장 긴 변.
직각변
직각을 낀 두 변.
피타고라스 수
a²+b²=c²을 만족하는 세 자연수의 짝 (예: 3·4·5, 5·12·13).
대각선
마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선분.

내 말로 설명하기

피타고라스 정리를 넓이로 설명한다면?

예시 — “세 변에 정사각형을 그리면 작은 두 정사각형(9+16) 넓이의 합이 큰 정사각형(25)과 같아. 그게 a²+b²=c².”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
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눈을 감아요

방금 배운 피타고라스 정리을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
직각삼각형 → a²+b²=c² → 빗변·거리·대각선
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

이 교과서를 내 기기에 담아둘까요?
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