미지수가 둘인 일차방정식의 해를 점으로 찍어요.
수많은 점들이 모여 하나의 곧은 직선을 이룹니다.
그래서 일차방정식을 직선의 방정식이라고 불러요.
왜 함수와 방정식을 잇는 걸까?
식을 그래프로 나타내는 눈을 길러요.
그래프를 다시 식으로 읽는 눈도 함께 자랍니다.
이렇게 오가는 눈을 가지면 어려운 문제가 쉬워져요.
연립방정식의 답은 두 직선이 만나는 점이에요.
계산과 그림을 한 몸으로 볼 수 있게 됩니다.
두 생각을 이으면 수학이 훨씬 즐거워져요.
🔎 함수와 방정식은 원래 다른 것 아닌가요?
방정식은 등식을 참이 되게 하는 미지수를 찾는 식이에요.
함수는 x가 하나 정해질 때 y가 하나씩 정해지는 관계예요.
둘은 모양만 다를 뿐 같은 관계를 다르게 표현한 것이에요.
🔎 두 직선의 교점을 알면 어디에 도움이 되나요?
직접 손으로 복잡하게 계산하지 않아도 돼요.
눈으로 그래프의 만나는 점을 보며 해를 짐작할 수 있어요.
더 나아가 해가 몇 개인지도 바로 판단하게 됩니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 일차방정식의 그래프가 직선임을 안다. ② 가로·세로 직선을 안다. ③ 연립방정식의 해가 두 직선의 교점임을 이해한다. ④ 해의 개수(평행·일치)를 판별한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 2x + y = 4 를 y = … 꼴로 고치면?
② 두 직선이 만나는 점은 무엇을 뜻할까요?
① y = −2x+4 · ② 두 식을 동시에 만족하는 해(연립방정식의 답).
🔎 일차방정식을 y = ax + b 꼴로 바꾸는 이유
y에 대해 정리하면 기울기와 절편이 바로 보여요.
그래프를 그리기 훨씬 수월해집니다.
방정식과 함수의 관계도 한눈에 파악돼요.
직선의 방정식 — 일차방정식이 곧 직선
방정식을 y에 대해 풀면 일차함수 꼴이 돼요.
x의 계수는 직선의 기울기가 됩니다.
상수항은 y축과 만나는 y절편을 나타내요.
🔎 ax + by + c = 0을 함수로 바꾸는 과정
by만 남기고 나머지 항을 우변으로 이항해요.
양변을 b로 나누면 y = −(a/b)x − c/b가 됩니다.
기울기와 y절편을 한눈에 읽을 수 있어요.
x = 3은 y값에 상관없이 x좌표가 늘 3인 직선이에요.
점 (3, 0)을 지나며 위아래로 곧게 뻗은 세로 직선입니다.
따라서 세로축인 y축에 평행하고 x축에 수직이에요.
🔎 x = 3은 왜 일차함수가 아닌가요?
함수는 x 하나에 y가 딱 하나만 정해져야 해요.
하지만 x = 3에는 무수히 많은 y값이 겹쳐 있어요.
따라서 함수는 아니지만 직선의 방정식은 맞습니다.
y = 2는 x값에 상관없이 y좌표가 늘 2인 직선이에요.
점 (0, 2)를 지나며 좌우로 곧게 뻗은 가로 직선입니다.
따라서 가로축인 x축에 평행하고 y축에 수직이에요.
🔎 x축과 y축 자체의 직선의 방정식은 무엇인가요?
x축 위의 모든 점은 y좌표가 0이므로 식은 y = 0이에요.
y축 위의 모든 점은 x좌표가 0이므로 식은 x = 0입니다.
좌표축도 하나의 직선 방정식으로 표현돼요.
📺📺 영상으로 보기두 직선의 교점 = 연립의 해▶
📺 움직이는 개념 — 두 직선의 교점 = 연립의 해
두 직선을 그리고 만나는 점을 찾아요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
연립방정식의 해 = 두 직선의 교점
직선 위의 점은 방정식을 참이 되게 하는 해예요.
두 식을 묶은 연립방정식은 공통된 해를 찾아요.
그 공통 해가 바로 두 직선이 만나는 교점입니다.
한 점에서 만나면 해는 오직 하나예요.
두 직선이 평행하면 만나는 점이 없어 해가 없어요.
두 직선이 완전히 겹치면 해가 무수히 많습니다.
🔎 연립방정식을 풀지 않고 해의 개수를 아는 법
각 방정식을 일차함수 꼴로 정리해 기울기를 비교해요.
기울기가 서로 다르면 무조건 한 점에서 만나요.
기울기가 같을 때만 절편을 비교하면 바로 알 수 있어요.
🔎 교점의 좌표는 어떻게 구하나요?
가감법이나 대입법으로 연립방정식을 풀면 돼요.
나온 x와 y의 값이 곧 교점의 (x, y) 좌표입니다.
구한 좌표를 두 식에 각각 대입해 검산하면 완벽해요.
①한 점에서 만남
두 직선의 기울기가 다름 → 교점이 1개이므로 연립방정식의 해가 오직 1개예요.
②평행
기울기가 같고 y절편이 다름 → 아무리 뻗어도 만나지 않아 해가 없어요(0개).
③일치
기울기와 y절편이 모두 같음 → 두 직선이 하나로 포개져 해가 무수히 많아요.
④특수한 직선
x = p는 y축에 평행한(x축에 수직인) 세로 직선, y = q는 x축에 평행한(y축에 수직인) 가로 직선이에요.
🔎 두 직선의 기울기와 절편으로 해의 개수 판별표
기울기가 다르면 무조건 교점 1개(한 쌍의 해)예요.
기울기가 같고 절편이 다르면 교점 0개(해 없음)입니다.
기울기와 절편이 둘 다 같으면 교점이 무수히 많아요.
그래프 없이 미리 알기
두 식을 y = ax + b 꼴로 고쳐 비교해요.
그래프를 그리지 않고도 해의 개수를 바로 압니다.
기울기가 같고 절편이 다르면 평행으로 해가 없어요.
양변을 나누어 식이 완전히 같아지면 일치해요.
이때는 모든 점이 겹쳐 해가 무수히 많습니다.
🔎 계수의 비로 평행과 일치 바로 알아보는 팁
x와 y의 계수 비율이 같으면 기울기가 같아요.
상수항 비율까지 모두 같으면 일치(해 무수히)예요.
상수항 비율만 다르면 평행(해 없음)이 됩니다.
왜 x = 3은 y축에 평행하고, y = 2는 x축에 평행할까? · 다음으로
x = 3은 y축과 나란한 세로 직선이에요.
y값이 무엇이든 x좌표가 늘 3으로 고정됩니다.
y = 2는 x축과 나란한 가로 직선이에요.
x값이 무엇이든 y좌표가 늘 2로 일정합니다.
식과 그래프를 잇는 관점은 고등 수학까지 이어져요.
그림과 수식을 한 몸으로 보는 눈을 길러 둡니다.
🔎 고등학교에서는 이 내용을 어떻게 배우나요?
고등학교에서는 이를 ‘직선의 방정식’ 단원으로 배워요.
기울기와 한 점으로 식을 세우는 일반 공식을 익힙니다.
중2 때 배운 교점과 위치 관계가 기초가 돼요.
스스로 풀어요 (3단계)
직선의 방정식, 가로·세로선, 절편 읽기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 직선을 ‘기울기·절편 두 수’로 보고 교점을 판단하게 했어요. ‘더 간결하게’: 교점은 연립방정식 풀이 그대로임을 한 번에 연결했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 직선의 식·교점·평행과 일치 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 삼각형 넓이·해의 조건·격자점·축에 평행한 직선과 평행이동·세 직선·절편까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1삼각형 넓이
두 직선 y = x, y = −x+6 과 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 9
교점 (3,3). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (6,0). 밑변 6, 높이 3 → ½×6×3 = 9
교점 (3,3). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (6,0). 밑변 6, 높이 3 → ½×6×3 = 9
2해 없음 조건
연립 ax+y=2, 2x+y=5 가 해를 갖지 않으려면 a는?
답: 2
평행이어야: 기울기 −a=−2 → a=2 (절편 2≠5이라 평행)
평행이어야: 기울기 −a=−2 → a=2 (절편 2≠5이라 평행)
3해 무수히 조건
연립 2x+ay=4, x+2y=2 가 해가 무수히 많으려면 a는?
답: 4
둘째 식 ×2: 2x+4y=4. 첫째 식과 같으려면 a=4
둘째 식 ×2: 2x+4y=4. 첫째 식과 같으려면 a=4
4격자점
직선 3x + 2y = 18 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 자연수인 점은 몇 개인가요?
답: 2개
(4,3), (2,6) → 2개
(4,3), (2,6) → 2개
5교점과 축에 평행한 직선
두 직선 2x − y = 1, x + y = 5 의 교점을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은?
답: x = 2
두 식을 연립하여 더하면 3x = 6이므로 x = 2, y = 3입니다. 교점 (2, 3)을 지나고 y축에 평행한(x축에 수직인) 세로 직선은 그 위의 모든 점의 x좌표가 2이므로 직선의 방정식은 x = 2입니다.
두 식을 연립하여 더하면 3x = 6이므로 x = 2, y = 3입니다. 교점 (2, 3)을 지나고 y축에 평행한(x축에 수직인) 세로 직선은 그 위의 모든 점의 x좌표가 2이므로 직선의 방정식은 x = 2입니다.
6평행이동
직선 y = 3x−2 를 y축 방향으로 5만큼 평행이동한 직선의 식은?
답: y = 3x+3
상수항에 +5: y = 3x−2+5 = 3x+3
상수항에 +5: y = 3x−2+5 = 3x+3
7세 직선 교점
세 직선 y = x, y = −x+6, y = ax−3 이 한 점에서 만날 때, 상수 a의 값은?
답: 2
먼저 두 직선 y = x 와 y = −x+6 을 연립하면 x = −x+6 에서 x = 3, y = 3이므로 교점은 (3, 3)입니다. 세 직선이 한 점에서 만나므로 직선 y = ax−3 도 점 (3, 3)을 지나야 합니다. 대입하면 3 = 3a−3 → 3a = 6 → a = 2
먼저 두 직선 y = x 와 y = −x+6 을 연립하면 x = −x+6 에서 x = 3, y = 3이므로 교점은 (3, 3)입니다. 세 직선이 한 점에서 만나므로 직선 y = ax−3 도 점 (3, 3)을 지나야 합니다. 대입하면 3 = 3a−3 → 3a = 6 → a = 2
8기울기 부호
직선 ax + by = c 에서 a>0, b>0, c>0 일 때, 이 직선의 기울기의 부호는?
답: 음수
y = −(a/b)x + c/b → 기울기 −a/b < 0
y = −(a/b)x + c/b → 기울기 −a/b < 0
9절편
직선 3x − 4y = 12 의 x절편을 a, y절편을 b라 할 때, a − b 의 값은?
답: 7
x절편 a=4, y절편 b=−3 → a−b = 4−(−3) = 7
x절편 a=4, y절편 b=−3 → a−b = 4−(−3) = 7
10x절편
직선 y = ax+1 이 점 (2, 5)를 지날 때, 이 직선의 x절편은?
답: −½
5=2a+1 → a=2. y=2x+1, 0=2x+1 → x=−½
5=2a+1 → a=2. y=2x+1, 0=2x+1 → x=−½
11삼각형 넓이
두 직선 y = 2x, y = x+2 와 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 2
교점 (2,4). y축 위 두 점 (0,0),(0,2). 밑변 2, 높이 2 → ½×2×2 = 2
교점 (2,4). y축 위 두 점 (0,0),(0,2). 밑변 2, 높이 2 → ½×2×2 = 2
객관식 진단 퀴즈 — 일차함수와일차방정식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 두 직선이 만나는 곳
x 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
일차함수와 일차방정식에서 자주 틀리는 세 가지
좌표평면과 연립방정식을 연결할 때 가장 자주 나오는 실수 세 가지예요. 꼭 기억해 둬요.
① x = p와 y = q를 어느 축에 평행한지 반대로 쓰는 실수 — x = p는 세로선이므로 y축에 평행(x축에 수직)해요. y = q는 가로선이므로 x축에 평행(y축에 수직)입니다. 문자에 낚이지 말고 점을 두 개 찍어 보세요.
② 평행과 일치 조건을 헷갈리는 실수 — 두 직선의 기울기가 같을 때, y절편까지 같으면 일치(해 무수히 많음)이고 y절편이 다르면 평행(해 없음)이에요. 절편까지 꼼꼼히 확인해야 합니다.
③ 구한 교점의 좌표를 한 식에만 넣고 넘어가는 실수 — 교점 (x, y)는 두 방정식을 동시에 만족하는 공통해예요. 반드시 두 식 모두에 대입해 참이 되는지 확인해야 실수가 없어요.
🔎 두 직선의 위치 관계는 몇 가지가 있나요?
평면 위 두 직선은 세 가지 관계뿐이에요.
한 점에서 만나거나, 평행하거나, 완전히 일치해요.
각각 해가 1개, 0개, 무수히 많음에 대응됩니다.
🔎 세 직선이 한 점에서 만날 때는 어떻게 푸나요?
미지수가 없는 두 직선을 먼저 연립해 교점을 구해요.
그다음 구한 교점 좌표를 남은 세 번째 식에 대입합니다.
그러면 숨겨진 미지수를 쉽게 찾아낼 수 있어요.
한 장 핵심
- 1일차방정식 ax+by+c=0 = 직선 하나.
- 2x = p는 y축에 평행한(x축에 수직인) 세로 직선, y = q는 x축에 평행한(y축에 수직인) 가로 직선.
- 3연립방정식의 해 = 두 직선의 교점.
- 4기울기 다르면 1개, 평행이면 0개, 일치하면 무수히.
이 단원의 말·기호
- 직선의 방정식
- 직선을 나타내는 일차방정식.
- 교점
- 두 그래프가 만나는 점.
- 평행
- 기울기 같고 절편 다름(안 만남).
- 일치
- 두 직선이 완전히 겹침(무수한 해).
내 말로 설명하기
연립방정식의 해가 왜 교점인지 한 줄로?
예시 — “각 직선은 그 식을 만족하는 점들의 모임이야. 두 식을 다 만족하는 (x,y)는 두 직선이 같이 지나는 점, 즉 교점.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.