연 수학›중학교 2학년›유리수와 순환소수
중학교 2학년 · 수와 연산
YEON MATH · GRADE 8

유리수와 순환소수

유한소수·순환소수 · 순환소수를 분수로

왜 순환소수를 배울까?

끝없이 되풀이되는 소수도 사실은 분수예요.

분수와 소수가 한 몸임을 알면 수를 자유롭게 다뤄요.

중3에서 배울 무리수와 실수로 가는 소중한 다리입니다.

🔎 0.333… 처럼 끝없는 수가 어떻게 분수가 되나요?

1을 3으로 직접 나누면 0.3333…으로 나머지가 1씩 계속 맴돌아요.

겉으로는 무한히 길어 보이지만, 그 출발점은 1/3 이라는 아주 단정한 분수예요.

되풀이되는 규칙만 알면 어떤 순환소수든 깔끔한 분수로 거꾸로 되돌릴 수 있답니다.

🔎 컴퓨터는 소수를 어떻게 계산하나요?

컴퓨터는 2진법을 쓰기 때문에 0.1 같은 10진수 소수도 무한소수로 바뀌어요.

그래서 컴퓨터 계산에서는 미세한 자릿수 오차가 생기곤 합니다.

분수와 순환소수의 원리를 알면 컴퓨터 과학의 부동소수점 오차도 쉽게 이해할 수 있어요.

유리수와 순환소수 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 유한소수와 순환소수를 구분한다. ② 순환소수를 분수로 나타낸다. ③ 유한소수가 되는 분모의 조건을 안다. ④ 유리수와 소수의 관계를 이해한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지가 떠오르면 좋아요.

① 1 ÷ 4 를 소수로 하면?
② 0.5를 분수로 하면?
① 0.25 · ② ½. 분수↔소수를 오갈 줄 알면 순환소수도 분수로 바꿀 수 있어요.
🔎 분수를 소수로 바꿀 때 왜 나눗셈을 하나요?

분수 a/b 는 원래 (분자 a) ÷ (분모 b)를 나타내는 또 다른 기호예요.

예를 들어 1/4 은 1 ÷ 4를 뜻하므로 소수 나눗셈을 하면 0.25가 나옵니다.

분자를 분모로 나누면 어떤 분수든 유한소수나 순환소수로 바로 바꿀 수 있어요.

유한소수와 순환소수 — 끝나거나, 되풀이되거나

소수점 아래 숫자가 유한 개이면 유한소수예요.

끝없이 숫자가 이어지면 무한소수라고 부릅니다.

일정한 숫자가 되풀이되는 무한소수를 순환소수라 해요.

🔎 「순환마디」에 점은 어떻게 찍어야 하나요?

되풀이되는 숫자가 1개면 그 숫자 위에 점 1개를 찍어요(0.3̇).

순환마디가 2개면 두 숫자 위에 각각 점을 찍습니다(0.1̇2̇).

순환마디가 3개 이상이면 맨 앞과 맨 끝 숫자 위에만 2개의 점을 찍어요(0.2̇857̇).

되풀이되는 가장 짧은 구간을 순환마디라고 불러요.

순환마디의 양 끝 숫자 위에만 점을 콕 찍어 나타냅니다.

예를 들어 0.1212…는 0.1̇2̇ 로 간단히 써요.

🔎 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 왜 유한소수가 되나요?

우리가 쓰는 10진법 소수는 분모가 10, 100, 1000인 분수예요.

10은 2 × 5로 만들어지므로 분모에 2나 5만 있으면 분모를 10의 거듭제곱으로 고칠 수 있어요.

부족한 2나 5를 분자와 분모에 똑같이 곱해주면 딱 떨어지는 유한소수가 됩니다.

기약분수의 분모를 소인수분해해 보면 성질을 알 수 있어요.

분모의 소인수가 2나 5뿐이면 반드시 유한소수가 됩니다.

2나 5 외에 다른 소인수가 남아 있으면 순환소수가 돼요.

🔎 왜 반드시 「기약분수」로 고친 뒤 분모를 보아야 하나요?

6/15 의 분모 15는 3 × 5로 소인수 3이 들어 있어 순환소수처럼 보여요.

하지만 분자와 분모를 3으로 약분하면 2/5 가 되어 3이 사라집니다.

분모에 5만 남으므로 실제로는 0.4라는 유한소수가 돼요. 그래서 꼭 먼저 약분해야 합니다.

🔎 나눗셈을 직접 해보지 않고 유한소수인지 아는 비법은?

1단계: 분수를 더 이상 나누어떨어지지 않는 기약분수로 약분해요.

2단계: 분모를 소인수분해하여 어떤 소인수들이 있는지 확인합니다.

3단계: 분모에 2와 5 외에 3, 7, 11 같은 다른 수가 없으면 100% 유한소수예요!

기억해요 — 기약분수의 분모 소인수가 2·5뿐이면 유한소수, 그 밖의 소인수(3·7⋯)가 남으면 순환소수

왜 분모 2·5면 딱 떨어질까

소수는 분모가 10, 100, 1000…인 분수이고 10 = 2 × 5예요. 분모에 2와 5만 있으면 부족한 2나 5를 보충해 분모를 10ⁿ으로 만들 수 있어요. 예컨대 3/20 = 3/(2²×5) = 15/100 = 0.15처럼 딱 떨어져요. 반대로 기약분수 분모에 3이나 7이 남으면 10ⁿ을 만들 수 없어요. 그래서 나눗셈 나머지가 되풀이되며 순환소수가 돼요. 주의! 6/15 = 2/5 = 0.4처럼 약분하면 3이 사라질 수 있어요. 반드시 기약분수로 먼저 고친 뒤 분모를 살펴야 해요.
📺📺 영상으로 보기순환소수를 분수로▶

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수를 분수로! 9의 마법(×10ⁿ의 비밀)

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 빵 한 덩이를 셋이 나누는 그림으로 순환소수가 왜 분모를 ‘9’로 두면 딱 풀리는지 보여줍니다. 자릿수만큼 9를 늘리면 모든 순환소수가 분수가 돼요.

남는 1칸 → 0 🙂 😋 😀 ? 💡 🍞 9
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 영감: 깨봉수학 「나누기만 잘 배웠으면 3초안에 풀린다고?!」 · 수학 직관은 보편 원리, 우리 방식(코드 애니메이션 + 선생님 음성)으로 다시 만들었어요. ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서.

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 자리값으로 보는 0.3̇ = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ⋯ = ⅓

▶ 를 누르면 정사각형을 10칸씩 차례로 쪼개어, 소수 각 자리의 합(3/10 + 3/100 + 3/1000 + ⋯)이 왜 정확히 1/3이 되는지 눈으로 확인합니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
친구 A친구 B친구 C아직 남은 빵

📺 영감을 준 원작 영상: 깨봉수학 「나누기만 잘 배웠으면 3초안에 풀린다고?!」 · 수학 직관은 보편 원리, 우리 방식(코드 애니메이션 + 선생님 음성)으로 다시 만들었어요.

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수는 ‘무한 꼬리 자르기’로 분수가 돼요

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 0.1666…에 ×10·×100을 해 무한 꼬리를 포개고 빼서 싹둑 잘라 1/6을 만듭니다.

x = 0.1666… 10x = 1.666… 100x = 16.666… ✂️ 90x = 15 1 6 15÷15 / 90÷15 검산: 1 ÷ 6 = 0.1666… ✓ 처음 값과 일치 💡 ?
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.

순환소수 → 분수 — 10의 거듭제곱을 곱해 빼요

순환소수를 x 로 두고 10의 거듭제곱을 곱해요.

소수점 아래 순환마디의 모양을 완벽히 똑같이 맞춥니다.

두 식을 빼면 끝없는 무한 순환 꼬리가 단숨에 지워져요.

🔎 순환소수를 분수로 바꿀 때 왜 10의 거듭제곱을 곱하나요?

끝없이 이어지는 소수점 아래 꼬리를 똑같이 포개어 빼기 위해서예요.

10배, 100배를 곱해 소수점을 한두 칸 뒤로 밀면 순환마디가 완벽히 포개집니다.

두 식을 빼는 순간 무한했던 소수점 아래가 감쪽같이 사라져 깔끔한 정수만 남아요.

바로 순환하면 10x − x = 9x = 7 이 되어 x = 7/9 가 돼요.

순환 안 하는 자리가 섞여 있으면 100x와 10x로 꼬리를 맞춰요.

두 식을 빼면 90x = 15가 되어 x = 1/6 이 됩니다.

🔎 분모에 들어가는 9와 0의 개수는 어떻게 정하나요?

소수점 아래 순환마디의 개수만큼 '9'를 먼저 적어요.

그다음 소수점 아래 순환하지 않는 자릿수만큼 '0'을 뒤에 붙입니다.

예를 들어 0.12̇3̇ 은 순환마디가 2개, 안 하는 자리가 1개이므로 분모가 990이 돼요.

🔎 0.16̇ 을 분수로 바꿀 때 분자는 왜 16 − 1을 하나요?

100x = 16.666… 에서 10x = 1.666… 을 빼는 원리예요.

우변에서 소수점 아래 666…은 사라지고, 정수 부분인 16에서 1을 빼게 됩니다.

따라서 분자는 항상 (전체 수) − (순환하지 않는 앞부분 수)가 되는 공식이 탄생해요.

🔎 0.999… 와 1은 정말로 완전히 같은 수인가요?

x = 0.9̇ 로 두고 10배를 하면 10x = 9.999… 가 돼요.

두 식을 빼면 10x − x = 9x = 9 가 되어 x = 9/9 = 1 이 완벽하게 성립합니다.

1/3 = 0.333⋯ 의 양변에 3을 곱해도 1 = 0.999… 가 됨을 알 수 있어요.

기억해요 — 분모는 순환마디 개수만큼 9를 쓰고 순환 안 하는 소수 자릿수만큼 0을 붙인다 · 분자는 (전체 수) − (순환 안 하는 앞부분 수)

①한 자리 순환

0.ȧ = a/9 (10x − x = 9x). 예) 0.4̇ = 4/9.

②두 자리 순환

0.ȧḃ = ab/99 (100x − x = 99x). 예) 0.3̇6̇ = 36/99 = 4/11.

③섞인 순환

0.aḃ = (ab−a)/90 (100x − 10x = 90x). 예) 0.16̇ = (16−1)/90 = 15/90 = 1/6.

④기약분수·검산

구한 분수는 반드시 기약분수로 약분하고, 분자를 분모로 다시 나눠 원래 순환소수가 나오는지 확인해요.

유리수의 정체

유한소수와 순환소수는 모두 분수(정수/0이 아닌 정수)로 바꿀 수 있어요. 따라서 유한소수와 순환소수는 모두 유리수예요. 하지만 무한소수라고 해서 모두 유리수는 아니에요! 원주율 π = 3.141592⋯나 0.1010010001⋯는 순환하지 않는 무한소수예요. 이런 소수는 분수로 나타낼 수 없어 유리수가 아니랍니다(중3에서 무리수로 배워요).
🔎 순환소수의 덧셈과 곱셈은 어떻게 계산해야 하나요?

순환소수 상태 그대로 세로셈을 하면 받아올림이 꼬여서 틀리기 쉬워요.

반드시 모든 순환소수를 분수로 먼저 바꾼 뒤 분수의 사칙계산을 하세요.

마지막 결과가 분수로 나오면, 문제의 요구에 따라 순환소수로 고쳐 쓰면 됩니다.

🔎 모든 순환소수는 왜 전부 「유리수」인가요?

유리수의 정의는 분수 a/b (b ≠ 0인 정수)로 나타낼 수 있는 수예요.

모든 순환소수는 10의 거듭제곱을 이용해 분모가 9, 99, 90인 정수 분수로 완벽히 바꿀 수 있어요.

따라서 순환소수는 하나도 빠짐없이 모두 유리수에 쏙 들어갑니다.

🔎 순환하지 않는 무한소수에는 어떤 것들이 있나요?

원둘레를 지름으로 나눈 원주율 π = 3.14159265⋯ 가 대표적이에요.

규칙은 있지만 순환마디가 없는 0.101001000100001… 도 순환하지 않아요.

이런 수들은 분수로 나타낼 수 없으므로 유리수가 아니며, 중3에서 무리수로 배웁니다.

스스로 풀어요 (3단계)

분수↔소수, 유한·순환 구분부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 순환소수→분수를 ‘×10ⁿ 한 뒤 빼기’ 한 가지로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 유한소수 판별은 ‘분모에 2·5만?’ 한 물음으로 끝내게 했습니다.

새 문제로 무한 연습

버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 분수↔소수, 순환소수↔기약분수, 유한/순환 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.

1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 순환마디 자리·자릿수 합·0.999=1·혼합순환·대소 비교까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1순환마디 자리
0.2̇85714̇ 의 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는?
2유한 조건
분수 a/30 (a는 1부터 10까지의 자연수)이 유한소수가 되는 a는 모두 몇 개인가요?
3순환소수 곱
0.3̇ × 0.6̇ 을 기약분수로 나타내면?
4대소
0.3̇ 과 1/3 중 더 큰 것은?
5자릿수 합
0.1̇42857̇ 한 순환마디의 각 자리 숫자의 합은?
6순환소수 방정식
x = 0.6̇ 일 때, 3x + 1 의 값은?
7순환마디
1/11 의 순환마디는 무엇인가요?
8유한 만들기
분수 1/15 에 자연수를 곱해 유한소수로 만들려고 합니다. 곱하는 가장 작은 자연수는?
90.999=1
순환소수 x = 0.9̇ = 0.999⋯ 에 대하여 10x − x 를 이용하여 구한 x 의 값은?
10혼합순환
0.53̇ 을 기약분수로 나타내면?
11대소 비교
두 순환소수 0.1̇2̇ 와 0.12̇ 중 더 큰 것은?

객관식 진단 퀴즈 — 유리수와순환소수

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 0.ȧ 를 분수로

되풀이 숫자 7
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

유리수와 순환소수에서 자주 틀리는 세 가지

학생들이 시험에서 아쉽게 틀리는 세 가지 함정이에요. 이것만 조심해도 실수를 싹 줄일 수 있어요.

① 기약분수로 약분하지 않고 분모를 보는 실수 — 6/15 의 분모 15에 3이 있다고 순환소수로 고르면 틀려요! 반드시 3으로 약분해 2/5 로 만든 뒤 분모의 소인수를 보아야 유한소수임을 맞힐 수 있습니다.
② 순환마디가 3개 이상일 때 가운데 점을 찍는 실수 — 0.123123…의 순환마디는 123이에요. 세 숫자에 점을 다 찍어 0.1̇2̇3̇ 로 쓰면 감점돼요! 반드시 맨 앞과 맨 끝 숫자 위에만 점 2개를 찍어 0.1̇23̇ 로 써야 합니다.
③ 공식을 쓸 때 순환하지 않는 앞부분 수를 빼지 않는 실수 — 0.16̇ 을 분수로 바꿀 때 분자에 16만 쓰면 안 돼요! 순환하지 않는 앞의 숫자 1을 뺀 16 − 1 / 90 = 15/90 = 1/6 이 맞습니다. (전체 수) − (순환 안 하는 수)를 잊지 마세요.
🔎 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 반드시 해야 할 마지막 단계는?

공식으로 구한 분수가 기약분수인지 반드시 확인하고 약분해야 해요.

예를 들어 15/90 을 그대로 두면 감점당할 수 있어요. 15로 약분해 1/6 로 써야 완벽합니다.

시간이 남는다면 분자 1을 분모 6으로 직접 나누어 원래의 0.1666…이 나오는지 검산해 보세요.

🔎 분수 문제에서 「어떤 자연수 x를 곱해 유한소수가 되게 한다」는 어떻게 푸나요?

먼저 분수를 기약분수로 약분하고, 분모를 소인수분해해요.

분모에서 2와 5를 제외하고 남아 있는 '불청객 소인수'(예: 3이나 7, 9)를 찾습니다.

그 불청객 소인수를 약분으로 없애줄 수 있는 배수를 곱해주면 유한소수로 변신해요!

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

유한소수
자릿수가 끝나는 소수(0.25).
순환소수
같은 마디가 끝없이 반복(0.3̇).
순환마디
반복되는 숫자 덩어리.
기약분수
더 약분되지 않는 분수.

내 말로 설명하기

순환소수를 분수로 바꾸는 법을 한 줄로?

예시 — “x=0.7̇이면 10x=7.7̇. 빼면 9x=7이라 x=7/9. 10배 해서 빼면 순환 부분이 똑같이 지워져.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학

읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.

나눗셈 기계 — 왜 하필 되풀이될까손으로 끌고 눌러서 알아내기
읽기 설정
글씨 크기
글씨체

눈을 감아요

방금 배운 순환소수를 머릿속에 천천히 그려 봐요.
유한·순환 구분 → ×10ⁿ 하고 빼기 → 분수
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

이 교과서를 내 기기에 담아둘까요?
언제든 오프라인으로 보고, 친구에게도 나눠줄 수 있어요.

친구에게 공유 · 내 기기에 설치

QR을 찍거나 링크를 보내면 친구도 바로 볼 수 있어요.
이 교과서 QR 코드
자유롭게 나눠 쓰셔도 좋아요 · 출처(연라이프·살아있는 수학교과서)는 꼭 밝혀 주세요.