연 수학 · 중2 — 유리수와 순환소수

왜 순환소수를 배울까?

1/3 = 0.333…처럼 끝없이 되풀이되는 소수도 사실은 분수예요. 분수와 소수가 한 몸임을 알면 수를 자유롭게 오가며 다룰 수 있어요. 3학년 무리수·실수로 가는 다리랍니다.

유리수와 순환소수 — 왜 배울까 장면 — 그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 유한소수와 순환소수를 구분한다. ② 순환소수를 분수로 나타낸다. ③ 유한소수가 되는 분모의 조건을 안다. ④ 유리수와 소수의 관계를 이해한다.

읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지가 떠오르면 좋아요.

① 1 ÷ 4 를 소수로 하면?

② 0.5를 분수로 하면?

① 0.25 · ② ½. 분수↔소수를 오갈 줄 알면 순환소수도 분수로 바꿀 수 있어요.

유한소수와 순환소수 — 끝나거나, 되풀이되거나

분수를 소수로 바꾸면 둘 중 하나예요. 딱 떨어지는 유한소수(예: 1/4 = 0.25)거나, 같은 숫자가 끝없이 되풀이되는 순환소수(예: 1/3 = 0.333⋯)거나. 되풀이되는 부분에 점을 찍어 0.3(위에 점) = 0.(3) 처럼 짧게 써요. 기약분수의 분모가 2와 5만으로 되면 유한소수가 돼요. 기억해요 — 분모(기약)에 2·5만 있으면 유한, 다른 소수(3·7⋯)가 있으면 순환

왜 분모 2·5면 딱 떨어질까

우리 수는 10진법이고 10 = 2 × 5예요. 분모를 10, 100, 1000…으로 만들 수 있으면 소수로 깔끔히 떨어져요. 그러려면 분모에 2와 5만 있으면 돼요. 3이나 7이 끼면 10의 거듭제곱이 못 되어 되풀이가 생겨요.

📺📺 영상으로 보기순환소수를 분수로▶

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수를 분수로! 9의 마법(×10ⁿ의 비밀)

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 빵 한 덩이를 셋이 나누는 그림으로 순환소수가 왜 분모를 ‘9’로 두면 딱 풀리는지 보여줍니다. 자릿수만큼 9를 늘리면 모든 순환소수가 분수가 돼요.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 영감: 깨봉수학 「나누기만 잘 배웠으면 3초안에 풀린다고?!」 · 수학 직관은 보편 원리, 우리 방식(코드 애니메이션 + 선생님 음성)으로 다시 만들었어요. ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서.

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 0.333⋯은 왜 정확히 ⅓일까?

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 그림으로 설명해요. 빵을 나눠 먹는 이야기 하나로, 끝없이 되풀이되는 0.333⋯이 왜 깔끔한 ⅓이 되는지 보입니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

친구 A친구 B친구 C아직 남은 빵

📺 영감을 준 원작 영상: 깨봉수학 「나누기만 잘 배웠으면 3초안에 풀린다고?!」 · 수학 직관은 보편 원리, 우리 방식(코드 애니메이션 + 선생님 음성)으로 다시 만들었어요.

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수는 ‘무한 꼬리 자르기’로 분수가 돼요

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 0.1666…에 ×10·×100을 해 무한 꼬리를 포개고 빼서 싹둑 잘라 1/6을 만듭니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.

순환소수 → 분수 — 10의 거듭제곱을 곱해 빼요

순환마디(되풀이 숫자)의 자릿수만큼 10, 100, …을 곱한 뒤, 원래 수를 빼면 순환 부분이 싹 사라져요. 예: x = 0.(7) → 10x − x = 7 → 9x = 7 → x = 7/9. 두 자리면 100을 곱해요(0.(36) → 99x = 36). 기억해요 — 순환마디가 한 자리면 9로, 두 자리면 99로 나눈다

①한 자리 순환

0.(a) = a/9. 예) 0.(4) = 4/9.

②두 자리 순환

0.(ab) = ab/99. 예) 0.(36) = 36/99 = 4/11.

③섞인 순환

0.1(6) = (16−1)/90 = 15/90 = 1/6.

④검산

구한 분수를 다시 나눠 원래 순환소수가 나오면 OK.

유리수의 정체

유한소수도 순환소수도 모두 분수(정수/정수)로 쓸 수 있어요 — 즉 유리수예요. 반대로 0.1010010001⋯처럼 규칙 없이 안 끝나는 수는 분수로 못 써요(무리수). 3학년 실수에서 다시 만나요.

스스로 풀어요 (3단계)

분수↔소수, 유한·순환 구분부터.

비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 순환소수→분수를 ‘×10ⁿ 한 뒤 빼기’ 한 가지로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 유한소수 판별은 ‘분모에 2·5만?’ 한 물음으로 끝내게 했습니다.

새 문제로 무한 연습

버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 분수↔소수, 순환소수↔기약분수, 유한/순환 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.

1번째 문제 · 기본

답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)

지금까지 받은 문제: 1

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 순환마디 자리·자릿수 합·0.999=1·혼합순환·대소 비교까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1순환마디 자리

0.(285714) 의 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는?

2유한 조건

분수 a/30 (a는 1부터 10까지의 자연수)이 유한소수가 되는 a는 모두 몇 개인가요?

3순환소수 곱

0.(3) × 0.(6) 을 기약분수로 나타내면?

4대소

0.(3) 과 1/3 중 더 큰 것은?

5자릿수 합

0.(142857) 한 순환마디의 각 자리 숫자의 합은?

6순환소수 방정식

x = 0.(6) 일 때, 3x + 1 의 값은?

7순환마디

1/11 의 순환마디는 무엇인가요?

8유한 만들기

분수 1/15 에 자연수를 곱해 유한소수로 만들려고 합니다. 곱하는 가장 작은 자연수는?

90.999=1

0.5(3) 을 기약분수로 나타내면?

10혼합순환

0.(12) 와 0.1(2) 중 더 큰 것은?

11대소 비교

0.(45) 를 기약분수로 나타내면?

객관식 진단 퀴즈 — 유리수와순환소수

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 0.(a) 를 분수로

되풀이 숫자 7

틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

한 장 핵심

1유한소수(딱 떨어짐) · 순환소수(되풀이됨).
2기약분수 분모에 2·5만 있으면 유한소수.
3순환소수→분수: 10ⁿ 곱해 빼기 → 한 자리는 9, 두 자리는 99로.
4유한·순환소수 모두 분수로 쓰임 = 유리수.

이 단원의 말·기호

유한소수: 자릿수가 끝나는 소수(0.25).
순환소수: 같은 마디가 끝없이 반복(0.3̇).
순환마디: 반복되는 숫자 덩어리.
기약분수: 더 약분되지 않는 분수.

내 말로 설명하기

순환소수를 분수로 바꾸는 법을 한 줄로?

예시 — “x=0.7̇이면 10x=7.7̇. 빼면 9x=7이라 x=7/9. 10배 해서 빼면 순환 부분이 똑같이 지워져.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?

2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)

3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직

복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5

1번째 복습 2번째 3번째 4번째

어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.

유리수와 순환소수

왜 순환소수를 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

유한소수와 순환소수 — 끝나거나, 되풀이되거나

왜 분모 2·5면 딱 떨어질까

📺 움직이는 개념 — 순환소수를 분수로

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수를 분수로! 9의 마법(×10ⁿ의 비밀)

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 0.333⋯은 왜 정확히 ⅓일까?

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수는 ‘무한 꼬리 자르기’로 분수가 돼요

순환소수 → 분수 — 10의 거듭제곱을 곱해 빼요

①한 자리 순환

②두 자리 순환

③섞인 순환

④검산

유리수의 정체

스스로 풀어요 (3단계)

새 문제로 무한 연습

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 유리수와순환소수

직접 해보기 — 0.(a) 를 분수로

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

왜 순환소수를 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

유한소수와 순환소수 — 끝나거나, 되풀이되거나

왜 분모 2·5면 딱 떨어질까

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수를 분수로! 9의 마법(×10ⁿ의 비밀)

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 0.333⋯은 왜 정확히 ⅓일까?

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 순환소수는 ‘무한 꼬리 자르기’로 분수가 돼요

순환소수 → 분수 — 10의 거듭제곱을 곱해 빼요

①한 자리 순환

②두 자리 순환

③섞인 순환

④검산

유리수의 정체

스스로 풀어요 (3단계)

새 문제로 무한 연습

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 유리수와순환소수

직접 해보기 — 0.(a) 를 분수로

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

친구에게 공유 · 내 기기에 설치