같은 수를 여러 번 곱한 거듭제곱끼리는 뚜렷한 규칙이 있어요.
밑이 같은 두 수를 곱하면 지수끼리 더합니다.
식으로 쓰면 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 이 돼요.
왜 식의 계산을 배울까?
문자가 든 식을 다루면 공식을 자유롭게 바꿀 수 있어요.
지수법칙은 큰 수와 컴퓨터 용량 계산의 바탕입니다.
다항식 계산은 앞으로 배울 모든 대수의 기본 손놀림이에요.
🔎 컴퓨터 용량에서 지수법칙이 어떻게 쓰이나요?
컴퓨터는 0과 1의 2진수로 정보를 다루어요.
1KB는 2¹⁰ 바이트(1024B), 1MB는 2²⁰ 바이트예요.
1GB는 2³⁰ 바이트로, 거듭제곱을 쓰면 큰 데이터 크기도 간단히 나타낼 수 있어요.
🔎 문자가 든 식을 계산할 때 가장 중요한 원칙은 무엇인가요?
문자는 수가 잠시 변장을 하고 있는 것뿐이에요.
사칙연산(덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈)의 순서와 분배법칙은 수의 계산과 똑같이 적용됩니다.
성격이 같은 동류항끼리 묶어서 정리하는 것이 계산의 핵심이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 지수법칙을 이해하고 쓴다. ② 단항식의 곱셈·나눗셈을 한다. ③ 다항식의 덧셈·뺄셈을 한다. ④ 괄호가 있는 식을 정리한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 2 × 2 × 2 를 거듭제곱으로 쓰면?
② 2x + 3x 는 얼마일까요?
① 2³ · ② 5x. 같은 것끼리 모으는 감각이 식의 계산의 핵심이에요.
🔎 거듭제곱에서 「밑」과 「지수」는 어떻게 다른가요?
같은 수를 여러 번 곱할 때 곱하는 수를 밑이라고 해요.
밑을 몇 번 곱했는지 오른쪽 위에 작게 적은 수를 지수라고 부릅니다.
예를 들어 2³에서 밑은 2이고 지수는 3으로, 2를 3번 곱했다는 뜻이에요.
지수법칙 — 거듭제곱끼리의 약속
🔎 밑이 같을 때 곱셈에서 지수를 왜 더하나요?
a² × a³ 을 곱셈으로 모두 풀어서 적어 보세요.
(a × a) × (a × a × a)로 a가 모두 5번 곱해져 있어요.
곱한 개수를 세는 것이므로 2 + 3 = 5, 즉 지수끼리 더하게 됩니다.
거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수끼리 곱해요.
식으로 쓰면 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ 이 됩니다.
층을 통째로 복사해서 쌓아 올리는 것과 같아요.
🔎 거듭제곱의 거듭제곱은 왜 지수끼리 곱하나요?
(a²)³ 은 a² 묶음을 3번 곱했다는 뜻이에요.
즉 (a × a) × (a × a) × (a × a)로 2개씩 3묶음이 생깁니다.
묶음의 곱이므로 2 × 3 = 6이 되어 지수끼리 곱하게 돼요.
밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때는 지수를 비교해요.
앞 지수가 크면 지수를 뺍니다(aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ).
두 지수가 똑같으면 나눈 값은 언제나 1이 돼요.
🔎 나눗셈에서 지수가 같으면 왜 항상 1이 되나요?
같은 수끼리 나누면 어떤 수든 1이 돼요(5 ÷ 5 = 1).
a³ ÷ a³ 도 똑같은 수끼리 나눈 것이므로 결과는 1입니다.
분수 꼴로 적어 위아래를 모두 약분하면 1만 남아요.
뒤 지수가 더 크면 분모의 지수에서 빼요(1/aⁿ⁻ᵐ).
곱의 거듭제곱은 각자에게 지수를 나누어 줍니다((ab)ⁿ = aⁿbⁿ).
분수의 거듭제곱도 분자와 분모에 골고루 분배돼요.
🔎 뒤 지수가 더 클 때 왜 분수 꼴이 되나요?
a² ÷ a⁵ 를 분수로 쓰면 aa를 aaaaa로 나눈 것이에요.
분자의 a 2개와 분모의 a 2개가 서로 약분되어 사라집니다.
분자에는 1만 남고 분모에 a가 5 − 2 = 3개 남아 1/a³ 이 돼요.
🔎 괄호 안의 곱이나 분수는 지수가 어떻게 분배되나요?
(ab)³ 은 ab를 3번 곱한 (ab) × (ab) × (ab)예요.
곱하는 순서를 바꾸면 (a × a × a) × (b × b × b) = a³b³ 이 됩니다.
괄호 안의 모든 문자와 숫자에 지수가 공평하게 적용돼요.
기억해요 — 곱하면 지수 합, 거듭하면 지수 곱, 나누면 지수 차(같으면 1, 분모가 크면 분모에 차)
📺📺 영상으로 보기a² × a³▶
📺 움직이는 개념 — a² × a³
지수가 왜 더해지는지 풀어 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 지수법칙은 ‘빌딩 층수 세기’예요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 거듭제곱을 블록을 쌓은 빌딩으로 보여줘요. 곱셈은 빌딩을 얹고(층 더하기), 거듭제곱의 거듭제곱은 통째로 복사하고(층 곱하기), 나눗셈은 층을 깎아요(층 빼기).
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
단항식·다항식의 계산 — 같은 것끼리
항에 곱해진 문자의 개수를 그 항의 차수라고 불러요.
가장 큰 차수를 다항식의 차수라고 부릅니다.
예를 들어 3x² − 5x + 1 은 차수가 2인 이차식이에요.
🔎 「동류항」이란 정확히 무엇을 뜻하나요?
문자도 같고, 그 문자의 차수도 완전히 같은 항을 동류항이라고 해요.
예를 들어 2x와 5x는 동류항이지만, 2x와 2x²은 차수가 달라 동류항이 아니에요.
오직 동류항끼리만 계수를 더하거나 빼서 하나로 합칠 수 있어요.
단항식의 곱셈과 나눗셈은 수는 수끼리 계산해요.
같은 문자는 지수법칙을 써서 정리합니다.
나눗셈은 분수로 바꾸거나 역수를 곱해 풀어요.
🔎 단항식의 나눗셈은 어떻게 계산하는 것이 가장 안전한가요?
나누는 식을 분모로 보내어 분수 꼴로 통째로 적어 보세요.
수는 수끼리 약분하고, 문자는 지수법칙을 써서 위아래를 정리해요.
나누는 식이 분수일 때는 역수를 취해 곱셈으로 바꾸면 실수가 없어요.
다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모아서 더해요.
괄호 앞의 − 부호는 괄호 안의 모든 부호를 반대로 바꿔요.
단항식을 곱하거나 나눌 때는 각 항에 빠짐없이 분배합니다.
🔎 괄호 앞의 「−」 부호는 왜 괄호 속 부호를 모두 바꾸나요?
괄호 앞의 마이너스는 숫자 −1 이 곱해진 것과 똑같아요.
분배법칙에 따라 괄호 안의 모든 항에 −1 을 각각 곱해 줍니다.
따라서 플러스는 마이너스로, 마이너스는 플러스로 부호가 싹 뒤집혀요.
🔎 (다항식) ÷ (단항식)에서 왜 각 항을 빠짐없이 나누어야 하나요?
분수 덧셈 (A+B)/C = A/C + B/C 를 떠올려 보세요.
분자의 모든 항이 분모 C의 혜택을 골고루 받아야 해요.
앞의 항만 나누고 뒤의 항을 그대로 두는 실수를 가장 많이 하니 주의하세요.
기억해요 — 동류항끼리만 더하고 뺀다. 괄호 앞 −는 부호를 모두 바꾸고, 곱셈·나눗셈은 각 항에 골고루 분배한다
①곱셈
2x²·3x³ = (2·3)(x²·x³) = 6x⁵.
②나눗셈
12x⁵ ÷ 3x² = 4x³.
③괄호
(2a³)² = 2²·a⁶ = 4a⁶.
④전개·나눗셈
2x(x+3) = 2x²+6x, (6x³−4x²)÷2x = 3x²−2x.
자주 틀리는 곳
① 덧셈에서 지수끼리 더하지 마세요 — x² + x³은 x⁵가 아니에요(차수가 달라 동류항이 아니므로 더 이상 간단히 할 수 없음)! 곱할 때만 지수를 더해요.② 괄호의 거듭제곱은 계수(부호 포함)에도 적용돼요 — (−2a²)³ = (−2)³·(a²)³ = −8a⁶예요.
③ 나눗셈·뺄셈 분배 실수 주의 — (6x²−3x)÷3x = 2x − 1이지 2x가 아니에요(−3x÷3x = −1이 꼭 남아요!).
왜 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ 이고, 괄호 앞 −는 모든 부호를 바꿀까
① 거듭제곱의 거듭제곱: 예를 들어 (a²)³은 a²을 세 번 곱한 a²×a²×a² = a²⁺²⁺² = a²×³ = a⁶이므로 지수끼리 곱해요.② 괄호 앞의 − 부호: −(2x − 3)은 (−1)×(2x − 3)과 같아요. 분배법칙으로 −1을 각 항에 곱하면 −2x + 3이 되어 괄호 안 모든 항의 부호가 반대로 바뀝니다.
다항식 나눗셈의 두 가지 방법 · 지수 변형 비법
① (다항식)÷(단항식) 두 가지 길: 나누는 식이 정수·단항식일 때는 (6x³−4x²)/2x = 6x³/2x − 4x²/2x = 3x²−2x처럼 분수로 쪼개는 것이 빠르고, 나누는 식이 분수 꼴(예: ÷(2/3)x)일 때는 역수 ×(3/2x)를 곱해 분배하면 실수가 없어요.② 거듭제곱 대입 비법: 2ˣ = a일 때 8ˣ = (2³)ˣ = (2ˣ)³ = a³처럼 밑을 소인수분해하고 지수법칙을 거꾸로 쓰면 쉽게 풀려요.
다음으로
이 계산은 곱셈공식·인수분해(3학년)와 모든 함수식 정리의 바탕이에요. 문자 계산을 손에 익히면 방정식·함수가 훨씬 가벼워져요.🔎 덧셈에서 왜 지수를 더하면 안 되나요?
x² + x³ 은 동류항이 아니라서 더 이상 더할 수 없어요.
사과 2개와 배 3개를 더해 사과 5개가 될 수 없는 것과 같아요.
지수를 더하는 법칙은 오직 곱셈(x² × x³ = x⁵)에서만 씁니다.
🔎 음수가 들어간 거듭제곱의 부호는 어떻게 결정되나요?
음수를 짝수 번 곱하면 플러스(+)가 되고, 홀수 번 곱하면 마이너스(−)가 돼요.
예를 들어 (-2)² = +4 이고, (-2)³ = -8 입니다.
괄호가 있는지 없는지도 꼭 보아야 해요: -2² = -4, (-2)² = 4 입니다.
🔎 거듭제곱의 자릿수 문제는 어떻게 푸나요?
10은 2와 5의 곱이에요: 2 × 5 = 10.
2⁵ × 5⁵ = (2×5)⁵ = 10⁵ 처럼 지수를 맞추어 10의 거듭제곱으로 묶어요.
10⁵ 은 1 뒤에 0이 5개 붙으므로 6자리 수가 됩니다.
🔎 복잡한 식에서 소괄호·중괄호·대괄호는 어떤 순서로 푸나요?
가장 안쪽에 있는 소괄호 ( )를 먼저 풀어요.
그다음 중괄호 { }를 정리하고, 마지막으로 대괄호 [ ]를 풉니다.
한 번에 한 괄호씩 동류항을 모아가며 풀면 실수를 완벽히 막을 수 있어요.
스스로 풀어요 (3단계)
지수법칙 기본, 동류항 덧셈부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 지수는 ‘곱하면 더, 나누면 빼, 거듭하면 곱’ 한 줄로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 다항식은 동류항만 모으기 한 가지 원칙으로 풀게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 지수법칙·단항식·다항식 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
간단히 하세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 거듭제곱의 일의 자리·지수 대입·자릿수·지수 비교·곱셈 분배까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1끝자리 규칙
2¹⁰⁰ 의 일의 자리 숫자는?
답: 6
2의 거듭제곱의 일의 자리는 2,4,8,6 이 반복(주기 4). 100은 4의 배수 → 네 번째인 6
2의 거듭제곱의 일의 자리는 2,4,8,6 이 반복(주기 4). 100은 4의 배수 → 네 번째인 6
2지수 대입
2ˣ = a 일 때, 8ˣ 을 a로 나타내면?
답: a³
8ˣ = (2³)ˣ = 2³ˣ = (2ˣ)³ = a³
8ˣ = (2³)ˣ = 2³ˣ = (2ˣ)³ = a³
3자릿수
2⁵ × 5⁵ 은 몇 자리 수인가요?
답: 6자리
2⁵×5⁵ = (2×5)⁵ = 10⁵ = 100000 → 6자리
2⁵×5⁵ = (2×5)⁵ = 10⁵ = 100000 → 6자리
4식의 값
x = 2 일 때, (2x³ − x²) ÷ x 의 값은?
답: 6
(2x³−x²)÷x = 2x²−x. x=2 → 2×4−2 = 6
(2x³−x²)÷x = 2x²−x. x=2 → 2×4−2 = 6
5지수방정식
2ˣ⁺¹ = 16 일 때, x의 값은?
답: 3
16 = 2⁴ 이므로 x+1 = 4 → x = 3
16 = 2⁴ 이므로 x+1 = 4 → x = 3
6분배 역
어떤 다항식에 3x²을 곱했더니 6x⁵ − 9x³ 이 되었습니다. 어떤 다항식인가요?
답: 2x³ − 3x
(6x⁵−9x³) ÷ 3x² = 2x³ − 3x
(6x⁵−9x³) ÷ 3x² = 2x³ − 3x
7대입 정리
A = x² − 2x, B = 2x² + x 일 때, 2A + B 를 간단히 하면?
답: 4x² − 3x
2(x²−2x)+(2x²+x) = 2x²−4x+2x²+x = 4x²−3x
2(x²−2x)+(2x²+x) = 2x²−4x+2x²+x = 4x²−3x
8지수 비교
2¹⁰ 과 10³ 중 더 큰 것은?
답: 2¹⁰
2¹⁰ = 1024, 10³ = 1000 → 2¹⁰ 이 더 큼
2¹⁰ = 1024, 10³ = 1000 → 2¹⁰ 이 더 큼
9지수 곱
3ˣ = 5 일 때, 3ˣ⁺² 의 값은?
답: 45
3ˣ⁺² = 3ˣ × 3² = 5 × 9 = 45
3ˣ⁺² = 3ˣ × 3² = 5 × 9 = 45
10연속 나눗셈
(24a⁵b³) ÷ (2a²b) ÷ (3ab) 를 간단히 하면?
답: 4a²b
24a⁵b³÷2a²b = 12a³b². ÷3ab = 4a²b
24a⁵b³÷2a²b = 12a³b². ÷3ab = 4a²b
11곱셈 분배
2x(3x − 4) − x(x + 5) 를 간단히 하면?
답: 5x² − 13x
6x²−8x − (x²+5x) = 6x²−8x−x²−5x = 5x²−13x
6x²−8x − (x²+5x) = 6x²−8x−x²−5x = 5x²−13x
객관식 진단 퀴즈 — 식의계산
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 지수법칙 (곱셈)
xᵃ 의 a 2
xᵇ 의 b 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1지수법칙: 곱하면 더하고, 거듭하면 곱하고, 나누면 뺀다(m<n이면 분모에 남고, m=n이면 1).
- 2괄호는 각자에게 분배: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- 3단항식 곱·나눗셈 = 수는 수끼리, 문자는 지수법칙.
- 4다항식 = 동류항끼리만 더하고 뺀다.
이 단원의 말·기호
- 지수
- 거듭제곱에서 곱한 횟수(2³의 3).
- 단항식
- 수와 문자의 곱 하나로 된 식(3x²).
- 다항식
- 여러 항의 합으로 된 식.
- 동류항
- 문자와 차수가 같은 항(2x와 5x).
- 차수·전개
- 항에 곱해진 문자의 개수(차수), 분배법칙으로 괄호를 푸는 것(전개).
내 말로 설명하기
왜 같은 밑끼리 곱하면 지수를 더하는지 설명해 봐요.
예시 — “a²×a³ = (a·a)×(a·a·a)로 a가 2+3=5번 곱해져서 a⁵. 그래서 곱할 땐 지수를 더해.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.