연 수학›중학교 2학년›삼각형의 성질
중학교 2학년 · 도형과 측정
YEON MATH · GRADE 8

삼각형의 성질

이등변삼각형 · 외각 · 외심·내심

왜 삼각형의 성질을 배울까?

삼각형은 형태가 변하지 않는 가장 단단한 도형이에요.

건축 다리와 지붕, 송전탑을 지을 때 널리 쓰입니다.

이등변삼각형의 대칭을 배우면 도형 증명이 쉬워져요.

🔎 왜 사각형보다 삼각형이 더 튼튼할까요?

나무 막대 4개로 사각형을 만들고 옆을 누르면 쉽게 찌그러져요.

하지만 막대 3개로 삼각형을 만들면 세 변의 길이가 정해져 모양이 결코 변하지 않아요.

이런 튼튼한 성질을 트러스 구조라고 하며 큰 다리와 타워크레인에 쓰여요.

🔎 「도형 증명」은 왜 배워야 하나요?

눈으로 대충 보아서 같은 것과, 참인 이유를 논리적으로 밝히는 것은 달라요.

이미 알려진 성질을 바탕으로 어떤 사실이 언제나 성립함을 밝히는 과정을 증명이라고 해요.

증명 연습을 통해 생각을 논리적으로 펼치는 힘을 키울 수 있어요.

삼각형의 성질 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 이등변삼각형의 성질을 안다. ② 외각의 성질로 각을 구한다. ③ 외심·내심의 뜻을 안다. ④ 조건을 식으로 세워 각을 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지가 떠오르면 좋아요.

① 삼각형 세 각의 합은?
② 두 변의 길이가 같은 삼각형을 무엇이라 할까요?
① 180° · ② 이등변삼각형. 두 변이 같으면 두 밑각도 같다는 게 핵심이에요.
🔎 삼각형의 세 내각의 합은 왜 항상 180°인가요?

삼각형의 한 꼭짓점을 지나면서 마주보는 밑변과 평행한 직선을 그어 보세요.

평행선의 엇각의 크기가 서로 같으므로 세 각이 일직선(평각)으로 쫙 모입니다.

일직선의 각도는 180°이므로 삼각형의 세 각을 더하면 언제나 180°가 돼요.

이등변삼각형 — 두 변이 같으면 두 밑각도 같다

두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 해요.

길이가 같은 두 변이 이루는 각을 꼭지각이라고 부릅니다.

꼭지각과 마주보는 밑변의 양 끝 각을 밑각이라고 해요.

🔎 「꼭지각」과 「밑각」은 어디에 있나요?

길이가 같은 두 변이 만나는 위쪽 각을 꼭지각이라고 해요.

꼭지각을 마주보는 아래쪽 변을 밑변이라고 불러요.

밑변의 양쪽 끝에 놓인 두 각을 밑각이라고 하며 둘의 크기는 같아요.

이등변삼각형은 좌우가 대칭이라 두 밑각의 크기가 같아요.

꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직으로 반 나눕니다.

거꾸로 두 각이 같은 삼각형은 반드시 이등변삼각형이 됩니다.

🔎 꼭지각의 이등분선은 왜 밑변을 수직이등분하나요?

꼭지각을 반으로 나누는 선을 그으면 좌우 두 삼각형이 생겨요.

두 변의 길이와 낀 각이 같으므로 두 삼각형은 완벽한 합동(SAS 합동)이에요.

따라서 밑변이 반으로 똑같이 나뉘고, 두 각의 합이 180°이므로 90°씩 수직이 됩니다.

직각삼각형은 빗변과 한 예각이 같으면 합동이에요(RHA).

빗변과 다른 한 변이 같아도 합동이 돼요(RHS).

각의 이등분선 위의 점에서 두 변에 이르는 거리는 항상 같아요.

🔎 직각삼각형 합동 조건 「RHA와 RHS」는 무슨 뜻인가요?

R은 직각(Right angle), H는 빗변(Hypotenuse)을 뜻해요.

RHA는 직각과 빗변, 한 예각(Angle)이 같을 때 합동이라는 뜻이에요.

RHS는 직각과 빗변, 다른 한 변(Side)이 같을 때 합동이라는 뜻입니다.

🔎 각의 이등분선 위의 점에서 왜 두 변까지 거리가 같을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 양쪽 변에 수선을 내려 보세요.

두 직각삼각형은 직각(R), 공통 빗변(H), 이등분된 예각(A)이 같아요.

따라서 RHA 합동이 되므로 두 수선의 길이(거리)가 서로 완전히 같습니다.

기억해요 — 이등변삼각형: 두 밑각 같음, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분. 직각삼각형 합동: RHA · RHS
이등변삼각형 (AB=AC) ∠B=∠C, 꼭지각 이등분선 ⊥ 밑변 이등분 직각삼각형의 합동 조건 빗변 H 예각 A 빗변 H 변 S RHA 합동 (빗변+예각) RHS 합동 (빗변+다른 변)
📺📺 영상으로 보기두 밑각은 같다▶

삼각형의 외각과 외심·내심

삼각형의 한 변을 바깥으로 늘여 만든 각을 외각이라고 해요.

한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같습니다.

이 성질을 쓰면 복잡한 각도 아주 쉽게 계산할 수 있어요.

🔎 삼각형의 「외각」은 어떻게 만드나요?

삼각형의 한 변을 꼭짓점 너머로 길게 연장선을 그어 보세요.

연장한 선과 바로 옆의 이웃한 변이 이루는 바깥쪽 각이 외각이에요.

안쪽 내각과 바깥쪽 외각을 더하면 반듯한 일직선인 180°가 됩니다.

🔎 한 외각은 왜 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같나요?

삼각형 세 내각을 더하면 180°예요: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

한 내각과 그 외각을 더해도 180°예요: ∠C + (외각) = 180°.

두 식에서 ∠C를 빼면 (외각) = ∠A + ∠B 가 바로 나옵니다.

세 변의 수직이등분선이 만나는 점을 외심(O)이라고 해요.

외심은 바깥 접하는 원의 중심이라 세 꼭짓점까지 거리가 같아요.

직각삼각형의 외심은 언제나 빗변의 한가운데에 놓입니다.

🔎 「외심」은 왜 세 변의 수직이등분선이 만나는 점일까요?

선분의 양 끝점에서 거리가 같은 점들을 모으면 선분의 수직이등분선이 돼요.

세 변의 수직이등분선이 만나는 점 O는 점 A, B, C에서 거리가 모두 같아요(OA = OB = OC).

세 꼭짓점을 모두 지나는 바깥 원을 그릴 수 있으므로 외접원의 중심인 외심이 됩니다.

🔎 직각삼각형의 외심은 왜 빗변의 한가운데에 있나요?

직사각형을 대각선으로 반 자르면 직각삼각형이 되지요.

직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로를 정확히 이등분해요.

따라서 빗변의 중점에서 직각 꼭짓점까지의 거리도 같아져서 빗변의 중점이 바로 외심이 됩니다.

세 내각의 이등분선이 한 점에서 만나는 곳이 내심(I)이에요.

내심은 안쪽 접하는 원의 중심이라 세 변까지 이르는 거리가 같아요.

내심에서는 공식 ∠BIC = 90° + ½∠A 가 성립해요.

🔎 「내심」은 왜 세 내각의 이등분선이 만나는 점일까요?

각을 이루는 두 변에서 거리가 같은 점들을 모으면 각의 이등분선이 돼요.

세 각의 이등분선이 만나는 점 I는 삼각형의 세 변에 이르는 수직 거리가 모두 같아요.

세 변에 안쪽에서 쏙 접하는 원을 그릴 수 있으므로 내접원의 중심인 내심이 됩니다.

🔎 내심 공식 「∠BIC = 90° + ½∠A」는 어떻게 나온 건가요?

삼각형 세 각의 합이 180°이므로 반씩 나눈 합은 ½(∠A + ∠B + ∠C) = 90°예요.

아래쪽 작은 삼각형 IBC에서 ∠BIC = 180° − ½(∠B + ∠C) 입니다.

여기에 ½(∠B + ∠C) = 90° − ½∠A 를 넣으면 90° + ½∠A 가 됩니다.

🔎 삼각형의 넓이와 내접원 반지름 r 사이에는 어떤 공식이 있나요?

내심 I에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 삼각형이 3개로 쪼개져요.

세 변의 길이를 a, b, c라 하면 세 삼각형의 넓이는 ½ar, ½br, ½cr 입니다.

셋을 모두 더하면 전체 넓이 S = ½r(a + b + c) 라는 마법 같은 공식이 완성돼요.

기억해요 — 한 외각 = 멀리 있는 두 내각의 합. 외심=변의 수직이등분선, 내심=각의 이등분선

①이등변

두 변 같음 ↔ 두 밑각 같음. 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분.

②외각

한 외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합.

③외심

세 변의 수직이등분선 교점. 외접원 중심.

④내심

세 각의 이등분선 교점. 내접원 중심.

왜 외각이 두 내각의 합일까

삼각형 세 내각의 합은 180°. 한 내각과 그 외각도 일직선이라 합이 180°. 둘을 견주면 외각 = 나머지 두 내각의 합이 돼요. 180° 하나로 깔끔히 설명돼요.

내심에서 왜 ∠BIC = 90° + ½∠A 일까?

삼각형 세 각의 합이 180°이므로 ½(∠A + ∠B + ∠C) = 90°예요. 내심 I는 각의 이등분선의 교점이므로 △IBC에서 ∠BIC = 180° − ½(∠B + ∠C) = 90° + ½∠A가 돼요!

외심(O)과 내심(I), 거꾸로 외우지 마세요!

외심(O)은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이라 세 꼭짓점까지 거리가 같아요(OA=OB=OC). 반면 내심(I)은 세 내각의 이등분선이 만나는 점이라 세 변까지 거리가 같아요. ‘외심 = 변 수직 → 꼭짓점 거리 같음 / 내심 = 각 이등분 → 변 거리 같음’으로 꼭 구분해요!

다음으로

이등변삼각형의 대칭은 도형 증명(합동)의 단골 도구예요. 외심·내심은 고등학교 도형과 좌표 단원으로 이어집니다.

스스로 풀어요 (3단계)

이등변삼각형 각, 삼각형 내각의 합부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 삼각형 각을 ‘내각 합 180°·외각=두 내각 합’ 두 도구로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 이등변은 ‘두 밑각이 같다’ 하나로 식을 세우게 했습니다.

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 이등변삼각형, 직각삼각형 합동, 삼각형 내심·외심까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1별 모양 각합
별 모양(오각별 ★)의 다섯 꼭짓점에 있는 각의 크기의 합은?
2외각의 합
삼각형의 세 외각의 크기의 합은?
3직각 두 각
삼각형의 한 내각이 직각일 때, 나머지 두 각의 크기의 합은?
4직각삼각형 합동
∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하고, 점 D에서 빗변 AB에 내린 수선의 발을 E라 할 때, CD = 4cm이면 DE의 길이는?
5삼각형 부등식
두 변의 길이가 5와 8일 때, 나머지 한 변의 길이가 될 수 있는 자연수는 모두 몇 개인가요?
6내심 각
∠A=80°인 삼각형에서 ∠B, ∠C의 이등분선이 만나는 점을 I라 할 때 ∠BIC의 크기는?
7정다각형
정육각형의 한 내각의 크기는?
8외각 활용
삼각형 ABC에서 ∠A=50°이고 ∠B의 외각이 120°일 때, ∠C의 크기는?
9이등변 둘레
이등변삼각형의 둘레가 20cm이고 한 변의 길이가 8cm일 때, 밑변의 길이로 가능한 것을 모두 구하세요.
10직각삼각형 외심
빗변의 길이가 16cm인 직각삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리의 합은?
11각의 비
삼각형 ABC에서 ∠A : ∠B = 1 : 2 이고 ∠C = 90°일 때, ∠A의 크기는?

객관식 진단 퀴즈 — 삼각형의성질

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 이등변삼각형의 밑각

꼭지각 40 °
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

삼각형의 성질에서 자주 틀리는 세 가지

학생들이 시험에서 아쉽게 틀리는 세 가지 함정이에요. 이것만 조심해도 실수를 싹 줄일 수 있어요.

① 외심과 내심의 거리 성질을 거꾸로 헷갈리는 실수 — 외심은 변의 수직이등분선이 만나므로 세 꼭짓점까지 거리가 같아요. 내심은 각의 이등분선이 만나므로 세 변까지 거리가 같습니다. 외심은 꼭짓점, 내심은 변으로 짝을 지어 외우세요.
② 직각삼각형에서 외접원의 반지름을 빗변 전체로 착각하는 실수 — 직각삼각형의 외심은 빗변의 한가운데(중점)에 있어요. 외접원의 지름이 빗변이므로 반지름은 빗변의 절반(½)입니다. 문제를 풀 때 빗변을 반으로 나누었는지 꼭 확인하세요.
③ 이등변삼각형 둘레 문제에서 삼각부등식을 확인하지 않는 실수 — 둘레가 20이고 한 변이 8일 때 밑변이 8이면 등변은 6, 6이에요(6+6=12 > 8 성립). 하지만 숫자에 따라 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 크거나 같아져 삼각형이 안 만들어질 수 있으니 꼭 변의 길이를 점검하세요.
🔎 외심과 내심의 위치는 삼각형 모양에 따라 어떻게 달라지나요?

내심은 어떤 삼각형이든 항상 삼각형 내부에 얌전히 들어 있어요.

하지만 외심은 예각삼각형은 내부, 직각삼각형은 빗변의 중점에 있어요.

특히 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부(바깥)로 삐져나간답니다.

🔎 정삼각형은 외심과 내심이 왜 한 점에서 일치할까요?

정삼각형은 세 변의 길이가 같고 세 각의 크기도 60°로 모두 같아요.

각의 이등분선과 마주보는 변의 수직이등분선이 완전히 같은 선이 됩니다.

따라서 세 변의 수직이등분선의 교점(외심)과 세 각의 이등분선의 교점(내심)이 정확히 한 점에서 만나요.

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

이등변삼각형
두 변의 길이가 같은 삼각형.
밑각
이등변삼각형의 두 밑변 쪽 각(같음).
외각
한 변을 연장한 바깥쪽 각.
외심(외접원)
세 변의 수직이등분선의 교점(외접원의 중심, 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같음).
내심(내접원)
세 내각의 이등분선의 교점(내접원의 중심, 세 변에 이르는 거리가 같음).
RHA·RHS 합동
직각삼각형에서 빗변(H)과 한 예각(A) 또는 다른 한 변(S)이 각각 같으면 합동.

내 말로 설명하기

외각의 성질을 한 줄로 설명해 봐요.

예시 — “내각 합이 180°, 내각과 외각도 180°. 두 식을 비교하면 외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학

읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.

이등변 만들기 — 같음이 옮겨 간다손으로 끌고 눌러서 알아내기
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눈을 감아요

방금 배운 삼각형의 성질을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
이등변(두 밑각 같음) → 외각=두 내각 합 → 외심·내심
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

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