연 수학›중학교 2학년›사각형의 성질
중학교 2학년 · 도형과 측정
YEON MATH · GRADE 8

사각형의 성질

평행사변형 · 여러 가지 사각형

왜 사각형의 성질을 배울까?

책과 창문, 운동장과 타일처럼 사각형은 주변에 가장 흔해요.

평행사변형과 직사각형, 마름모는 대각선 성질로 구분합니다.

도형의 성질을 배우면 논리적으로 분류하고 증명하는 힘이 생겨요.

🔎 책이나 창문은 왜 삼각형이 아니라 사각형으로 만들까요?

직사각형은 모서리를 이어 붙였을 때 빈틈없이 바닥이나 벽을 가득 채울 수 있어요.

책꽂이에 책을 꽂을 때도 네모난 모양이어야 공간을 낭비 없이 알뜰하게 쓸 수 있지요.

공간을 가장 효율적으로 나누고 활용할 수 있는 형태가 바로 직사각형이랍니다.

🔎 찌그러지는 사각형 프레임을 튼튼하게 고정하는 비결

네 개의 막대를 사각형으로 연결하면 쉽게 옆으로 흔들리고 찌그러져요.

하지만 대각선 방향으로 버팀목 막대 하나를 비스듬히 대어주면 꼼짝도 하지 않아요!

사각형이 변형되지 않는 단단한 삼각형 2개로 쪼개지기 때문이에요. 건축의 트러스 구조 원리랍니다.

사각형의 성질 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 평행사변형의 성질을 안다. ② 대각선의 성질로 길이·각을 구한다. ③ 직사각형·마름모·정사각형·사다리꼴을 구분한다. ④ 사각형의 관계(가족)를 이해한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 마주 보는 변이 평행한 사각형을 무엇이라 할까요?
② 사각형의 네 내각의 크기의 합은 몇 도인가요?
① 평행사변형이에요.
② 360°입니다.
평행선 성질과 사각형 내각의 합이 이번 단원의 출발이에요.
🔎 사각형의 네 내각의 합은 왜 360°인가요?

어떤 사각형이든 한 꼭짓점에서 마주보는 꼭짓점으로 대각선 하나를 그어보세요.

사각형이 정확히 2개의 삼각형으로 나뉘는 것을 볼 수 있어요.

삼각형 하나의 내각의 합이 180°이므로, 사각형의 네 각의 합은 180° × 2 = 360°가 됩니다.

평행사변형 — 마주보는 것끼리 같다

마주보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형을 평행사변형이라 해요.

평행사변형은 마주보는 대변의 길이가 각각 같습니다.

마주보는 대각의 크기도 서로 같고, 이웃한 두 각의 합은 180°예요.

두 대각선은 서로의 가운데를 지나며 이등분합니다.

한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같아도 평행사변형이 돼요.

기억해요 — 대변·대각이 같고, 이웃각의 합 180°, 대각선 서로 이등분!
🔎 「대변」과 「대각」이 무슨 말이죠?

대변(對邊)과 대각(對角)에서 '대(對)'는 마주 대할 대 자예요.

도형에서 서로 이웃하지 않고 건너편에서 똑바로 마주보고 있는 변을 대변이라 하고, 마주보는 각을 대각이라고 해요.

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 서로 같고, 두 쌍의 대각의 크기가 서로 같습니다.

🔎 평행사변형에서 마주보는 각의 크기는 왜 같나요?

평행선 사이를 지나는 직선에서 엇각과 동위각의 크기는 항상 같아요.

한 변을 연장하면 이웃한 두 내각의 합이 평각인 180°가 됨을 알 수 있어요.

두 각의 합이 180°로 일정하므로, 마주보고 있는 대각의 크기는 무조건 같아질 수밖에 없답니다.

🔎 두 대각선은 왜 서로를 반으로 이등분하나요?

평행사변형의 두 대각선이 만나는 교점을 점 O라고 해볼게요.

위아래 두 삼각형(△OAD와 △OCB)을 보면, 평행선의 엇각이 같고 마주보는 대변 길이가 같아요(ASA 합동).

두 삼각형이 완벽한 합동이므로 대응하는 변인 OA = OC, OB = OD 가 되어 대각선이 정확히 절반으로 나뉩니다.

🔎 평행사변형이 되는 5가지 조건 한눈에 정리

다음 5가지 중 딱 하나만 만족해도 그 사각형은 무조건 평행사변형이 돼요.

① 두 쌍의 대변이 각각 평행하다 · ② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다 · ③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

④ 두 대각선이 서로를 이등분한다 · ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다(시험 빈출!).

평행사변형 ABCD의 성질 A B C D 대변·대각 같음, AO=OC·BO=OD 사각형 가족 포함 관계 사다리꼴 평행사변형 직사각형 마름모 정 직사각형 ∩ 마름모 = 정사각형(정)
📺📺 영상으로 보기대각선은 서로 이등분▶
🔎 「한 쌍이 평행하고 다른 한 쌍의 길이가 같다」는 왜 안 되나요?

시험에서 가장 많은 학생이 함정에 빠지는 대표적인 보기예요.

윗변과 아랫변이 평행하고, 양쪽 옆변의 길이가 같은 등변사다리꼴을 떠올려 보세요.

등변사다리꼴은 마주보는 두 쌍이 평행하지 않으므로 결코 평행사변형이 아니랍니다. 반드시 평행한 그 변의 길이가 같아야 해요!

여러 가지 사각형 — 조건이 더해질수록

평행사변형에 특별한 조건이 더해지면 새로운 사각형이 됩니다.

네 각이 모두 직각이면 직사각형(대각선 길이 같음)이에요.

네 변의 길이가 모두 같으면 마름모(대각선 수직이등분)가 돼요.

두 성질을 모두 갖추면 완벽한 정사각형이 됩니다.

한 쌍만 평행하면 사다리꼴이고, 밑각이 같으면 등변사다리꼴이에요.

등변사다리꼴은 두 옆변의 길이가 같고 두 대각선 길이도 같습니다.

기억해요 — 직사각형(직각·대각선), 마름모(변·수직), 정사각형(둘 다)!
🔎 직사각형의 두 대각선은 왜 길이가 서로 같을까요?

직사각형 ABCD에서 대각선 AC를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC와, 대각선 BD를 빗변으로 하는 직각삼각형 DCB를 비교해 보세요.

밑변 BC는 공통이고, 높이 AB와 DC의 길이가 같으며, 끼인각이 90°로 같아요(SAS 합동).

두 직각삼각형이 완전히 합동이므로 대응하는 빗변인 두 대각선의 길이(AC = BD)가 완벽하게 같아집니다.

🔎 마름모의 두 대각선은 왜 수직으로 만날까요?

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로, 대각선으로 나뉜 위쪽 삼각형 ABC는 이등변삼각형이에요.

평행사변형 성질에 의해 다른 대각선 BD는 선분 AC의 중점을 지나므로 '꼭지각의 이등분선' 역할을 하게 돼요.

이등변삼각형의 꼭지각 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로, 마름모의 두 대각선은 서로 직교(수직)하게 됩니다.

🔎 마름모의 넓이는 왜 「½ × 한 대각선 × 다른 대각선」인가요?

마름모의 네 꼭짓점을 지나면서 대각선과 평행한 선들을 그어 둘러싸는 큰 직사각형을 만들어 보세요.

큰 직사각형의 가로는 한 대각선 길이와 같고, 세로는 다른 대각선 길이와 같아요(넓이 = 대각선1 × 대각선2).

마름모는 이 큰 직사각형 안의 4개 작은 직사각형들을 각각 절반씩 차지하므로 넓이가 정확히 절반(1/2)이 됩니다.

🔎 정사각형은 직사각형인가요, 마름모인가요?

정답은 "둘 다 맞다"예요!

정사각형은 네 각이 직각이므로 직사각형에 속하고, 네 변의 길이가 같으므로 마름모에도 속해요.

직사각형의 성질(대각선 길이 같음)과 마름모의 성질(대각선 수직)을 모두 겸비한 가장 완벽한 왕 사각형이랍니다.

🔎 「등변사다리꼴」의 성질 한 걸음씩 다시 보기

등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각(밑각)의 크기가 같은 사다리꼴로 정의해요.

이 정의로부터 평행하지 않은 양쪽 두 옆변의 길이가 같아지고, 두 대각선의 길이도 완벽하게 같아져요.

그래서 등변사다리꼴은 두 대각선의 길이가 같아요. (직사각형이나 정사각형도 대각선의 길이가 같아요.)

🔎 네 변의 중점을 연결하면 어떤 사각형이 생기나요?

어떤 사각형이든 네 변의 중점을 차례로 이으면 항상 평행사변형이 돼요(중점연결정리).

특별히 직사각형의 중점을 이으면 마름모가 되고, 마름모의 중점을 이으면 직사각형이 돼요!

그리고 정사각형의 중점을 이으면 크기가 절반인 또 다른 정사각형이 만들어집니다.

①직사각형

네 각이 직각. 대각선 길이가 같음.

②마름모

네 변이 같음. 대각선이 수직이등분.

③정사각형

직사각형 + 마름모. 모든 성질 가짐.

④사다리꼴

마주보는 한 쌍의 변이 평행. 등변사다리꼴은 밑각·대각선 같음.

왜 이웃각의 합이 180°일까

마주보는 변이 평행하니, 한 변을 연장한 직선에서 보면 한 내각과 이웃한 내각의 동위각(또는 엇각)이 한 직선(평각 180°)을 이루어요. 따라서 평행사변형에서 이웃한 두 내각의 크기의 합은 항상 180°가 됩니다.

네 변의 중점을 이으면 왜 항상 평행사변형일까 · 평행사변형이 되는 5가지 길

어떤 사각형이든 네 변의 중점을 차례로 이으면, 대각선에 평행한 선분 쌍이 생겨 마주보는 변이 평행하고 길이가 같아지므로 항상 평행사변형이 돼요(직사각형의 중점을 이으면 마름모, 마름모의 중점을 이으면 직사각형!). 또한 사각형이 평행사변형이 되려면 ① 두 쌍의 대변이 평행, ② 두 쌍의 대변의 길이가 같음, ③ 두 쌍의 대각의 크기가 같음, ④ 두 대각선이 서로 이등분, ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같음 중 하나만 만족하면 됩니다.

자주 틀리는 곳 — 평행사변형의 대각선과 조건 함정

① 평행사변형의 두 대각선은 길이가 같지 않아요! 서로를 이등분할 뿐, 두 대각선의 길이까지 같아지려면 직사각형이나 정사각형(또는 등변사다리꼴)이어야 해요.
② “한 쌍의 대변이 평행하고 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같다”는 조건은 평행사변형이 되지 않아요! 등변사다리꼴이 바로 그 반례랍니다. 반드시 평행한 그 대변의 길이가 같아야 평행사변형이에요.

사각형 가족 지도

사다리꼴 → 평행사변형 → (직사각형·마름모) → 정사각형 으로 조건이 더해질수록 특별해져요. “정사각형은 직사각형이자 마름모”처럼 포함 관계로 외우면 쉬워요.
🔎 평행선과 삼각형 넓이의 변형(등적변형)의 원리

밑변이 같고 평행선 사이에 끼어 있는 삼각형들은 모양이 제각각 달라도 넓이가 모두 완벽히 같아요.

삼각형 넓이는 (밑변 × 높이) ÷ 2 인데, 밑변이 공통이고 평행선 사이의 거리가 곧 높이라 높이도 똑같기 때문이에요.

이 원리를 쓰면 복잡하게 꺾인 다각형의 넓이를 간단한 삼각형 하나로 뚝딱 변형해서 구할 수 있답니다.

🔎 사각형 가족 계통도(포함 관계) 쉽게 외우는 법

아무 사각형에서 시작해서 특별한 조건을 하나씩 더해갈수록 사각형의 이름이 점점 좁혀져요.

한 쌍 평행(사다리꼴) → 다른 한 쌍도 평행(평행사변형) → 각 직각(직사각형) 또는 변 같음(마름모) → 둘 다 만족(정사각형)!

뒤로 갈수록 앞의 성질을 모두 물려받으므로, "정사각형은 직사각형이자 마름모이고 평행사변형이자 사다리꼴"이 됩니다.

스스로 풀어요 (3단계)

평행사변형의 변·각 성질부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 평행사변형 네 성질을 ‘마주보는 건 같다’ 한 줄로 묶었어요. ‘더 간결하게’: 여러 사각형은 ‘조건이 더해지는 가족 지도’로 한눈에 정리했습니다.

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 평행사변형과 여러 가지 사각형의 성질까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1중점 연결
사각형의 네 변의 중점을 차례로 이으면 항상 어떤 사각형이 되나요?
2사각형 판별
두 대각선이 서로 수직으로 이등분하는 사각형은?
3사각형 판별
두 대각선의 길이가 같고 서로 수직으로 이등분하는 사각형은?
4각의 비
평행사변형의 한 각이 이웃한 각의 4배일 때, 가장 작은 각의 크기는?
5대각선 분할
평행사변형의 두 대각선은 평행사변형을 넓이가 같은 몇 개의 삼각형으로 나누나요?
6마름모 둘레
한 변의 길이가 5cm이고 두 대각선의 길이가 각각 6cm, 8cm인 마름모의 둘레와 넓이를 차례로 구하면?
7등변사다리꼴
등변사다리꼴의 두 대각선은 어떤 관계인가요?
8평행사변형 넓이
밑변 8, 높이 5인 평행사변형의 넓이는?
9각의 이등분
평행사변형 ABCD에서 ∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선이 만나서 이루는 각의 크기는?
10변의 비
평행사변형의 둘레가 28cm이고 이웃한 두 변의 길이의 비가 3 : 4일 때, 긴 변의 길이는?
11사각형 내각
사각형의 네 내각의 크기의 비가 1 : 2 : 3 : 4일 때, 가장 큰 각의 크기는?

객관식 진단 퀴즈 — 사각형의성질

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 평행사변형의 이웃각

한 각 70 °
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

평행사변형
마주 보는 두 쌍의 변이 평행한 사각형.
대각선
마주 보는 꼭짓점을 잇는 선분.
마름모
네 변의 길이가 같은 사각형.
사다리꼴
마주보는 한 쌍의 변이 평행한 사각형.
등변사다리꼴
아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴(두 대각선의 길이가 같음).

내 말로 설명하기

여러 사각형의 관계를 한 줄로 설명한다면?

예시 — “사다리꼴<평행사변형<(직사각형·마름모)<정사각형. 조건이 하나씩 더해질수록 더 특별한 사각형이 돼.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학

읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.

대각선 둘로 사각형 빚기손으로 끌고 눌러서 알아내기
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눈을 감아요

방금 배운 사각형의 성질을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
평행사변형(마주보는 것 같음) → 대각선 이등분 → 여러 사각형
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

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