도형의 닮음

닮음 기호 ∽는 '비슷하다, 닮았다'를 뜻하는 라틴어 낱말 Similis의 첫 글자 S에서 따왔어요.

알파벳 S를 옆으로 눕혀서 부드러운 물결 모양(∽)으로 만든 것이랍니다.

두 삼각형이 닮았을 때 △ABC ∽ △DEF 처럼 가운데에 써요.

크기가 달라도 모양이 절대 변하지 않는 도형들은 항상 닮음이에요.

두 원, 두 반원, 변의 수가 같은 두 정다각형(두 정사각형, 두 정삼각형 …), 두 직각이등변삼각형은 항상 닮은 도형입니다.

하지만 일반 직사각형이나 이등변삼각형은 가로·세로 비율이나 각도가 다를 수 있어 항상 닮음은 아니에요.

삼각형의 세 내각의 합은 모양에 상관없이 무조건 180°로 정해져 있어요.

두 쌍의 대응각의 크기가 같으면, 180°에서 두 각을 뺀 남은 세 번째 각도 무조건 같아질 수밖에 없지요.

결국 세 각이 모두 같아지므로, 각을 3개 다 재지 않고 딱 2개만 확인해도 완벽한 닮음이 됩니다.

△ABC ∽ △DEF 라고 적으면 점 A의 짝은 점 D, 점 B의 짝은 점 E, 점 C의 짝은 점 F라는 약속이에요.

순서가 정확해야 그림을 보지 않고도 AB : DE = BC : EF = CA : FD 처럼 대응변의 비례식을 바로 세울 수 있어요.

순서를 엉뚱하게 쓰면 변의 짝이 뒤섞여 전혀 다른 오답이 나오므로 꼭 짝을 맞춰 적어야 합니다.

SSS 닮음은 세 변의 길이가 같은 것이 아니라, 세 쌍의 변의 '길이의 비'가 모두 같을 때 성립해요(예: 2, 3, 4와 4, 6, 8).

SAS 닮음은 두 쌍의 변의 길이의 비가 같고, 반드시 그 두 변 사이의 '낀각'의 크기가 같아야 해요.

합동 조건과 비슷하지만 '길이가 같다' 대신 '길이의 비율이 일정하다'는 점이 결정적인 차이입니다.

닮은 두 도형에서 서로 짝이 되는 대응변의 길이를 비교하여 가장 간단한 자연수의 비로 나타낸 값이에요.

예를 들어 한 변이 4cm인 정사각형과 6cm인 정사각형의 닮음비는 4 : 6 = 2 : 3 이 됩니다.

닮음비는 오직 '길이'의 비율만을 뜻하므로, 각도의 크기나 넓이와 혼동하지 않아야 해요.

닮음비가 1 : 2인 두 삼각형이 있다면, 세 변의 길이가 모두 똑같이 원래의 2배가 돼요.

세 변의 길이를 모두 더한 둘레 역시 (a+b+c)에서 2×(a+b+c)로 정확히 2배가 됩니다.

둘레도 결국 선분의 길이를 더한 것이기 때문에 닮음비 m : n 과 완전히 같아요.

가로 1, 세로 1인 모눈종이 위의 작은 정사각형(넓이 1)을 가로 2, 세로 2로 확대해 보세요.

가로로 2배, 세로로도 2배 늘어나므로 그 안에는 작은 정사각형이 2 × 2 = 4개가 들어가요.

가로 3, 세로 3이면 3 × 3 = 9개가 들어가지요. 그래서 넓이의 비는 닮음비의 제곱인 m² : n²이 됩니다.

한 모서리가 1인 작은 쌓기나무 블록(부피 1)으로 한 모서리가 2인 정육면체를 만든다고 해볼게요.

가로 2개, 세로 2개로 1층에 4개가 깔리고, 높이로 2층까지 쌓아야 하므로 총 2 × 2 × 2 = 8개가 필요해요.

가로, 세로, 높이의 세 방향이 모두 늘어나므로 부피의 비는 닮음비의 세제곱인 m³ : n³이 됩니다.

입체도형 문제라고 해서 겉넓이까지 무조건 세제곱으로 계산하면 안 돼요!

겉넓이는 입체도형의 겉 표면을 감싸고 있는 평면 면적들의 합이에요.

겉넓이 역시 '넓이'의 일종이므로, 부피와 달리 닮음비의 제곱인 m² : n²을 따라갑니다.

지도의 축척은 실제 지형을 지도 위에 줄여서 그린 닮음비를 말해요.

축척 1 : 1000은 지도에서의 1cm가 실제 땅 위에서는 1000cm(즉 10m)라는 뜻이에요.

단위를 맞출 때는 1m = 100cm, 1km = 1000m = 100,000cm 임을 꼭 활용하세요.