왜 도형의 닮음을 배울까?
지도·축소 모형·사진 확대는 모두 닮음이에요. 닮음을 알면 직접 못 재는 나무·건물의 높이도 그림자로 구할 수 있어요. 닮음비와 넓이·부피의 관계는 과학·공학에서 두루 쓰여요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 닮음과 닮음비를 이해한다. ② 삼각형의 닮음조건(AA·SAS·SSS)을 안다. ③ 넓이비·부피비를 구한다. ④ 닮음으로 길이를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 모양이 같고 크기만 다른 두 도형의 관계는?
② 한 변을 2배로 늘리면 정사각형 넓이는 몇 배?
① 닮음 · ② 4배(2²). 길이는 비, 넓이는 그 제곱으로 커져요.
닮음 — 모양은 그대로, 크기만 다르게
한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 도형은 원래 도형과 닮음이에요(기호 ∽). 닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 같고, 이 비를 닮음비라 해요. 대응하는 각의 크기는 그대로예요(모양이 같으니까).
기억해요 — 닮음 = 모양 같고 크기만 다름. 대응변의 비(닮음비)는 일정, 대응각은 같음
📺📺 영상으로 보기2배로 확대하면 닮음▶
📺 움직이는 개념 — 2배로 확대하면 닮음
작은 도형을 확대해 닮은 도형을 만들어요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
닮음비와 넓이비·부피비 — 제곱·세제곱으로
닮음비가 m : n이면, 둘레의 비도 m : n이에요. 그런데 넓이의 비는 m² : n², 부피의 비는 m³ : n³으로 커져요. 길이는 한 줄, 넓이는 두 방향, 부피는 세 방향으로 늘어나니까요. 삼각형은 두 각이 같으면(AA) 닮음이에요.
기억해요 — 닮음비 m:n → 둘레 m:n, 넓이 m²:n², 부피 m³:n³
①닮음조건
AA(두 각)·SAS(두 변의 비와 낀각)·SSS(세 변의 비).
②둘레비
닮음비와 같음 (m : n).
③넓이비
닮음비의 제곱 (m² : n²).
④부피비
닮음비의 세제곱 (m³ : n³).
왜 넓이비는 제곱일까
가로·세로가 모두 2배가 되면 넓이는 2×2 = 4배가 돼요. 닮음비 2:1이면 넓이비 4:1. 같은 이치로 부피는 가로·세로·높이 세 방향이라 2×2×2 = 8배가 됩니다.어디에 쓰나
지도의 축척, 모형과 실물, 닮음을 이용한 높이 재기(그림자·거울)에 쓰여요. 다음 단원 닮음의 활용에서 평행선과 무게중심으로 이어집니다.스스로 풀어요 (3단계)
닮음비로 대응변·둘레 구하기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 닮음을 ‘길이는 비, 넓이는 제곱, 부피는 세제곱’ 한 줄로 정리했어요. ‘더 간결하게’: 닮음 판별은 ‘두 각만 같으면(AA)’ 가장 빠른 길을 앞세웠습니다.
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 삼각형의 닮음 조건과 평행선 사이 선분의 길이 비까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1중점 연결
삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 어떤 관계이고, 길이는 몇 배인가요?
답: 평행하고 길이는 ½배
중점연결정리: 평행하고 길이는 ½배
중점연결정리: 평행하고 길이는 ½배
2평행선 비
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점 D, E에 대해 DE∥BC이고 AD : DB = 1 : 2일 때, DE : BC는?
답: 1 : 3
AD : AB = 1 : 3 → DE : BC = 1 : 3
AD : AB = 1 : 3 → DE : BC = 1 : 3
3넓이 차
닮음비가 1 : 3인 두 삼각형의 넓이의 차가 32일 때, 작은 삼각형의 넓이는?
답: 4
넓이비 1 : 9, 차 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 넓이 4
넓이비 1 : 9, 차 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 넓이 4
4그림자
길이 1m인 막대의 그림자가 0.8m일 때, 같은 시각 그림자가 4m인 나무의 높이는?
답: 5m
1 : 0.8 = h : 4 → h = 5m
1 : 0.8 = h : 4 → h = 5m
5부피비
원뿔 모양 그릇에 물을 높이의 절반까지 채우면, 물의 부피는 그릇 전체 부피의 몇 분의 몇인가요?
답: 1/8
닮음비 1 : 2 → 부피비 1 : 8 → 물은 전체의 1/8
닮음비 1 : 2 → 부피비 1 : 8 → 물은 전체의 1/8
6축척 넓이
축척 1 : 1000인 지도에서 넓이가 6cm²인 땅의 실제 넓이는 몇 m²인가요?
답: 600m²
넓이비 1 : 1000² → 6 × 1000000 = 6000000cm² = 600m²
넓이비 1 : 1000² → 6 × 1000000 = 6000000cm² = 600m²
7직각삼각형 닮음
직각삼각형의 직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선은 원래 삼각형과 닮은 삼각형을 만드나요?
답: 예 (닮음이다)
직각삼각형에서 빗변에 내린 수선은 원래와 닮은 두 삼각형을 만들어요
직각삼각형에서 빗변에 내린 수선은 원래와 닮은 두 삼각형을 만들어요
8둘레 합
닮음비가 3 : 5인 두 도형의 둘레의 합이 32일 때, 작은 도형의 둘레는?
답: 12
둘레비 3 : 5, 합 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 둘레 3×4 = 12
둘레비 3 : 5, 합 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 둘레 3×4 = 12
9넓이 분할
삼각형 ABC에서 변 AB, AC의 중점 D, E를 이을 때, 삼각형 ADE와 사다리꼴 DBCE의 넓이의 비는?
답: 1 : 3
△ADE : △ABC = 1 : 4 → △ADE : 사다리꼴 = 1 : 3
△ADE : △ABC = 1 : 4 → △ADE : 사다리꼴 = 1 : 3
10부피비
닮은 두 공의 반지름의 비가 2 : 3일 때, 큰 공의 부피는 작은 공의 몇 배인가요?
답: 27/8배
부피비 = (3/2)³ = 27/8
부피비 = (3/2)³ = 27/8
11축척
실제 거리 3km를 지도에 6cm로 나타낸 지도의 축척은?
답: 1 : 50000
6cm : 3km = 6cm : 300000cm = 1 : 50000
6cm : 3km = 6cm : 300000cm = 1 : 50000
객관식 진단 퀴즈 — 도형의닮음
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 닮음비와 넓이비
닮음비 1 : a 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1닮음 = 모양 같고 크기만 다름(대응각 같음).
- 2닮음비 m:n → 둘레비도 m:n.
- 3넓이비 = 닮음비의 제곱 (m²:n²).
- 4부피비 = 닮음비의 세제곱 (m³:n³).
이 단원의 말·기호
- 닮음
- 확대·축소해 포갤 수 있는 관계(∽).
- 닮음비
- 대응하는 변의 길이의 비.
- 대응변
- 닮은 도형에서 서로 짝이 되는 변.
- AA 닮음
- 두 각이 같으면 닮음.
내 말로 설명하기
넓이비가 왜 닮음비의 제곱인지 한 줄로?
예시 — “닮음비 1:2면 가로도 세로도 2배. 넓이는 2×2=4배라 넓이비는 1:4(=2²). 부피는 세 방향이라 1:8(=2³).”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.