닮음의 활용

삼각형 ABC에서 변 BC와 평행하게 DE를 그으면 동위각의 크기가 서로 같아요(∠ADE = ∠B, ∠AED = ∠C).

두 각의 크기가 같으므로 작은 삼각형 ADE와 큰 삼각형 ABC는 AA 닮음이 됩니다.

따라서 대응하는 변의 길이의 비인 AD : AB = AE : AC = DE : BC 가 항상 성립해요.

옆변의 나뉜 조각끼리는 AD : DB = AE : EC 처럼 조각 대 조각으로 쓸 수 있어요.

하지만 밑변 DE와 BC는 작은 삼각형과 큰 삼각형의 밑변 전체예요!

따라서 밑변의 비를 구할 때는 반드시 작은 변 대 전체 변인 AD : AB = DE : BC로 식을 세워야 합니다.

삼각형의 두 변의 정가운데 점(중점)을 곧게 이어 만든 선분을 말해요.

이 선분은 마주보는 밑변과 완벽하게 평행을 이루게 돼요.

그리고 그 길이는 밑변 길이의 딱 절반(1/2)이 되는 놀라운 성질이 있답니다.

사다리꼴에 대각선 하나를 그으면 사다리꼴이 두 개의 삼각형으로 쪼개져요.

위쪽 삼각형에서 중점연결정리로 윗변의 절반 길이가 생기고, 아래쪽 삼각형에서 아랫변의 절반 길이가 생겨요.

둘이 나란히 이어져 있으므로 (윗변 ÷ 2) + (아랫변 ÷ 2) = (윗변 + 아랫변) ÷ 2가 됩니다.

서로 평행한 세 직선이 다른 두 직선과 만날 때도 똑같은 길이의 비가 성립해요.

한 직선에서 잘린 위쪽과 아래쪽 선분의 비가 a : b 라면, 다른 쪽 직선에서 잘린 선분의 비도 똑같이 a : b 가 됩니다.

한 선분을 평행이동해서 삼각형 모양으로 겹쳐 보면 앞서 배운 평행선의 비와 완전히 같아진답니다.

삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변(대변)의 정가운데 중점까지 곧게 그은 선분이에요.

삼각형에는 꼭짓점이 3개 있으므로, 중선도 각 꼭짓점에서 출발해 3개를 그을 수 있어요.

중선은 원래 삼각형을 넓이가 똑같은 두 조각으로 이등분하는 성질이 있습니다.

삼각형의 세 꼭짓점에 질량이 똑같은 세 물체가 놓여 있다고 상상해 보세요.

밑변의 중점은 두 물체의 평균 균형점이 되고, 남은 꼭짓점과 잇는 중선 위에 전체 균형점이 놓이게 돼요.

어느 꼭짓점을 기준으로 잡아도 전체 균형점은 오직 하나뿐이므로, 세 중선은 반드시 한 점(G)에서 만납니다.

삼각형의 두 변의 중점을 이으면 밑변과 평행하고 길이가 절반인 작은 선분이 생겨요(중점연결정리).

그러면 위쪽 작은 삼각형과 아래쪽 큰 삼각형이 모래시계 모양으로 1 : 2 닮음이 됩니다.

대응하는 변의 길이의 비가 1 : 2이므로, 꼭짓점에서 무게중심까지와 무게중심에서 중점까지의 비가 2 : 1이 돼요.

중선은 밑변을 반으로 나누므로 양쪽 두 작은 삼각형은 밑변과 높이가 같아 넓이가 같아요.

여기에 무게중심의 2 : 1 길이 비를 적용하면 6개로 쪼개진 모든 작은 삼각형의 넓이가 똑같이 1/6씩 돼요.

따라서 무게중심과 세 꼭짓점을 이은 세 큰 삼각형의 넓이도 각각 1/3씩 완전히 같습니다.

두꺼운 도화지로 삼각형을 오려낸 뒤 무게중심 G를 찾아 연필 끝이나 손가락으로 받쳐 보세요.

놀랍게도 바닥과 평행을 유지하며 떨어지지 않고 안정되게 균형을 잡아요.

물체의 모든 무게가 그 한 점에 모여 있는 것처럼 작용하기 때문이랍니다.

직각삼각형의 빗변의 중점은 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같은 외심이에요.

반면 무게중심은 세 중선이 2 : 1로 만나는 삼각형 내부의 균형점입니다.

둘은 위치도 다르고 성질도 완전히 다르니 문제에서 꼭 구분해서 읽어야 해요.

좌표평면 위에 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C가 있을 때도 무게중심을 아주 쉽게 찾을 수 있어요.

세 꼭짓점의 x좌표를 모두 더해 3으로 나누고, y좌표도 모두 더해 3으로 나누면 바로 무게중심의 좌표가 됩니다.

세 점의 '산술평균' 위치가 곧 물리적인 균형점이 되는 수학의 아름다운 규칙이랍니다.

강이나 호수를 직접 건너지 않고도 건너편 두 지점 사이의 거리를 잴 수 있어요.

내가 서 있는 땅 위에 기준점을 잡고, 평행선을 이용해 1 : 100 축소 모형 삼각형을 그립니다.

작은 삼각형의 길이를 줄자로 잰 뒤 100배를 곱해주면 호수의 실제 폭이 정확하게 계산돼요.