연 수학›중학교 2학년›경우의 수와 확률
중학교 2학년 · 자료와 가능성
YEON MATH · GRADE 8

경우의 수와 확률

곱·합의 법칙 · 확률 · 여사건

왜 경우의 수와 확률을 배울까?

게임과 날씨, 운동 경기와 보험처럼 우리 세상은 불확실해요.

경우의 수와 확률은 가능성을 수로 따져 현명한 선택을 도와줘요.

미래 사회의 핵심인 통계와 인공지능을 만드는 튼튼한 바탕이 됩니다.

🔎 「불확실한 세상」에서 확률은 왜 필요할까요?

내일 비가 올지 안 올지 아무도 100% 장담할 수는 없어요.

하지만 "비 올 확률이 80%"라는 것을 알면 우산을 챙길 수 있지요.

확률은 불확실한 미래를 수치로 예측하여 최선의 결정을 내리도록 돕는 지혜예요.

🔎 인공지능(AI)도 경우의 수와 확률을 쓰나요?

네, 인공지능 언어 모델은 다음에 올 단어로 가장 확률이 높은 낱말을 골라 문장을 완성해요.

자율주행 자동차도 앞에 있는 물체가 사람일 확률을 계산해 브레이크를 밟아요.

경우의 수와 확률은 최첨단 컴퓨터 과학의 든든한 뼈대랍니다.

경우의 수와 확률 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 경우의 수를 곱·합의 법칙으로 구한다. ② 확률의 뜻을 안다. ③ 여사건을 이용한다. ④ 생활 속 가능성을 수로 나타낸다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 주사위 한 개의 눈은 몇 가지인가요?
② 동전 한 개를 던질 때 나올 수 있는 면은 몇 가지인가요?
① 6가지(1~6)예요.
② 2가지(앞면, 뒷면)예요.
일어날 수 있는 모든 가짓수를 빠짐없이 세는 것이 출발이에요.
🔎 가위바위보를 할 때 나올 수 있는 경우는 몇 가지일까요?

내가 낼 수 있는 손 모양이 3가지(가위, 바위, 보)예요.

친구도 똑같이 3가지를 낼 수 있어요.

두 사람이 동시에 내므로 3 × 3 = 9가지의 모든 경우가 생겨납니다.

경우의 수 — 일어날 수 있는 가짓수

실험이나 관찰에서 일어나는 결과를 사건이라고 해요.

사건이 일어나는 모든 가짓수를 경우의 수라고 부릅니다.

두 사건이 동시에 일어나지 않을 때는 가짓수를 더해요(합의 법칙).

두 사건에 겹치는 부분이 있다면 겹친 수를 한 번 빼 줍니다.

두 사건이 잇따라 연속해서 일어날 때는 가짓수를 곱해요(곱의 법칙).

동전 2개는 2 × 2 = 4가지, 주사위 2개는 6 × 6 = 36가지예요.

기억해요 — 잇따라(그리고)는 곱하고, 둘 중 하나(또는)는 더해요!
🔎 「사건」과 「경우의 수」가 무슨 말이죠?

수학에서 사건은 주사위를 던지는 것처럼 어떤 실험이나 관찰을 했을 때 나타나는 결과를 말해요.

경우의 수는 그 사건이 일어날 수 있는 모든 가짓수를 빠짐없이 센 값이에요.

예를 들어 "주사위의 짝수 눈이 나오는 사건"의 경우의 수는 2, 4, 6으로 3가지예요.

🔎 합의 법칙은 왜 「동시에 일어나지 않을 때」만 더하나요?

집에서 학교까지 갈 때 버스를 타거나 지하철을 탈 수 있어요.

버스를 타면서 동시에 지하철을 탈 수는 없지요. 둘 중 하나만 골라야 해요.

이렇게 서로 겹치지 않는 별개의 선택지일 때 각각의 가짓수를 그대로 더합니다.

🔎 겹치는 경우가 있으면 어떻게 계산하나요?

1부터 10까지 자연수 중에서 "2의 배수 또는 3의 배수"를 찾는다고 해볼게요.

2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10으로 5개이고, 3의 배수는 3, 6, 9로 3개예요.

그런데 6은 둘 다에 들어있어서 두 번 세어졌어요! 그래서 5 + 3에서 겹친 1개를 빼서 7가지가 됩니다.

합의 법칙 (또는 → 더하기) 버스 2가지 (A, B) + 지하철 3가지 (1, 2, 3호선) 둘 중 하나 선택: 2 + 3 = 5가지 곱의 법칙 (잇따라 → 곱하기) 동전1 앞 뒤 앞 → (앞,앞) 뒤 → (앞,뒤) 앞 → (뒤,앞) 뒤 → (뒤,뒤) 2 × 2 = 4가지
📺📺 영상으로 보기동전 2개의 경우의 수▶
🔎 곱의 법칙은 왜 더하지 않고 곱하나요?

상의 2벌과 하의 3벌로 옷을 맞춰 입는 경우를 떠올려 보세요.

상의 1벌을 고를 때마다 어울리는 하의를 3벌씩 입어볼 수 있어요.

상의가 2벌이므로 3가지씩 2번 생겨나서 2 × 3 = 6가지로 곱하게 됩니다.

🔎 동전 2개 던지기 한 걸음씩 다시 보기

첫 번째 동전이 앞(H)일 때 두 번째 동전은 앞(H) 또는 뒤(T)가 돼요.

첫 번째 동전이 뒤(T)일 때도 두 번째 동전은 앞(H) 또는 뒤(T)가 돼요.

그래서 (앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤)의 총 2 × 2 = 4가지 순서쌍이 나옵니다.

🔎 주사위 2개를 던지면 왜 36가지나 되나요?

첫 번째 주사위의 눈이 1부터 6까지 6가지가 있어요.

그 각각의 눈마다 두 번째 주사위도 1부터 6까지 6가지씩 짝을 지을 수 있어요.

그래서 6가지가 6번 반복되어 6 × 6 = 36가지 순서쌍이 만들어져요.

확률 — 가능성을 수로

어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 확률이라고 해요.

확률은 (사건의 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)로 구합니다.

절대로 일어나지 않으면 0이고, 반드시 일어나면 1이에요.

따라서 확률은 항상 0 이상 1 이하의 값을 가져요.

사건이 일어나지 않을 확률은 1 − (일어날 확률)로 구해요(여사건).

서로 영향을 주지 않고 잇따라 일어날 때는 두 확률을 곱해요.

동전 앞면은 1/2, 주사위 짝수는 3/6 = 1/2이에요.

기억해요 — 확률은 원하는 경우 ÷ 전체 경우, 안 일어날 확률은 1에서 빼요!
🔎 「모든 경우가 일어날 가능성이 같다」는 무슨 뜻인가요?

주사위를 던질 때 어느 특정한 눈이 더 잘 나오면 공정하지 않지요.

1부터 6까지 모든 눈이 나올 가능성이 똑같이 기대될 때만 확률 공식에 대입할 수 있어요.

수학에서 확률을 다룰 때는 항상 모든 결과가 나올 가능성이 같다고 가정해요.

🔎 확률은 왜 항상 0과 1 사이의 수인가요?

사건의 경우의 수는 아무리 작아도 0개(절대 안 일어남)예요. 그래서 0 ÷ 전체 = 0이에요.

사건의 경우의 수는 아무리 커도 모든 경우의 수(반드시 일어남)를 넘을 수 없어요. 그래서 전체 ÷ 전체 = 1이에요.

따라서 확률은 항상 0 이상 1 이하의 분수나 소수로 나타납니다.

🔎 「여사건」이 무슨 말이죠?

여사건에서 '여(餘)'는 여유, 여백처럼 '남는다'는 뜻의 한자예요.

어떤 사건 A가 있을 때, A가 일어나지 않는 '나머지 모든 사건'을 A의 여사건이라고 불러요.

예를 들어 주사위에서 "짝수가 나오는 사건"의 여사건은 "홀수가 나오는 사건"이에요.

🔎 왜 1에서 일어날 확률을 빼면 여사건 확률이 되나요?

세상의 모든 일은 '일어나거나' 아니면 '일어나지 않거나' 둘 중 하나예요.

따라서 (일어날 확률) + (일어나지 않을 확률)은 반드시 일어나는 전체 확률 1이 됩니다.

양변에서 일어날 확률을 빼주면, (일어나지 않을 확률) = 1 − (일어날 확률)이 유도돼요.

🔎 「적어도 하나」라는 말이 나오면 왜 여사건이 편할까요?

동전 3개를 던질 때 "적어도 하나는 앞면"이 나올 확률을 구한다고 해볼게요.

앞면이 1개인 경우, 2개인 경우, 3개인 경우를 각각 찾으려면 7가지나 따져야 해요.

하지만 반대인 "모두 뒷면"은 딱 1가지(1/8)뿐이에요. 1 − 1/8 = 7/8로 단번에 풀립니다!

🔎 두 사건의 확률은 언제 곱하나요?

동전을 던져 앞면이 나오고, 주사위를 던져 짝수가 나올 확률을 구해볼게요.

동전 앞면 확률은 1/2이고, 주사위 짝수 확률도 3/6 = 1/2이에요.

두 사건이 서로 영향을 주지 않고 잇따라 일어나므로 1/2 × 1/2 = 1/4로 두 확률을 곱합니다.

①곱의 법칙

잇따라 일어나면 가짓수를 곱함 (2×2=4).

②합의 법칙

동시에 안 되는 두 경우는 더함.

③확률

원하는 경우 ÷ 전체 경우 (0 ~ 1).

④여사건

일어나지 않을 확률 = 1 − (일어날 확률).

곱할까 더할까 헷갈릴 때

문제에 ‘그리고/잇따라/둘 다’가 보이면 곱하기, 동시에 일어나지 않는 ‘또는/이거나’가 보이면 더하기예요. 단, ‘1~10에서 2의 배수 또는 5의 배수’처럼 둘 다에 해당하는 수(10)가 있으면 겹치는 가짓수를 한 번 빼야 해요! 예: 동전 그리고 주사위 → 2 × 6 = 12가지.

왜 전체 확률은 1이고, 여사건은 1에서 뺄까

반드시 일어나는 일은 ‘모든 경우의 수 ÷ 모든 경우의 수’라 확률이 1이에요(절대 안 일어나면 0). 어떤 사건이 ‘일어나는 경우’와 ‘일어나지 않는 경우(여사건)’를 합치면 전체(1)가 되므로, 일어나지 않을 확률은 1 − (일어날 확률)로 구할 수 있어요.

나뭇가지 그림(수형도)과 표로 세기

동전이나 줄 세우기처럼 차례대로 일어나는 일은 나뭇가지 그림(수형도)을 그리면 빠짐없이 셀 수 있어요. 주사위 두 개를 던질 때는 가로 6칸·세로 6칸인 36칸 표를 그리면 눈의 합이나 곱을 한눈에 찾을 수 있어요.

여사건이 빠른 이유

“적어도 한 번”처럼 경우가 많을 땐, 반대 경우(전혀 안 일어남)를 구해 1에서 빼면 훨씬 빨라요. 예: 동전 2개에서 적어도 한 번 앞면 = 1 − (둘 다 뒤) = 1 − 1/4 = 3/4.

스스로 풀어요 (3단계)

주사위·동전의 경우의 수, 간단한 확률부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 경우의 수를 ‘그리고=곱, 또는=합’ 한 줄로 정리했어요. ‘더 간결하게’: 복잡한 확률은 여사건(1에서 빼기)으로 짧게 풀게 했습니다.

새 문제로 무한 연습

버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 경우의 수 세기·확률·여사건이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.

1번째 문제 · 기본
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지금까지 받은 문제: 1

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 최단 경로·악수·여사건·줄 세우기·조건 배열·약수 확률까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1최단경로
가로 3칸, 세로 2칸 격자에서 왼쪽 아래에서 오른쪽 위 모서리까지 최단 경로의 수는?
2악수
5명이 서로 빠짐없이 한 번씩 악수할 때, 악수의 총 횟수는?
3여사건
주사위를 두 번 던져 적어도 한 번 홀수가 나올 확률은?
4신호 만들기
서로 다른 깃발 3개를 일렬로 들어 신호를 만들 때, 만들 수 있는 신호의 수는?
5조건 배열
남학생 2명, 여학생 2명을 한 줄로 세울 때 남학생끼리 이웃하는 경우의 수는?
6약수 확률
1~12 중 한 수를 뽑을 때, 12의 약수일 확률은?
7동전 확률
동전 네 개를 던져 앞면이 3개 나올 확률은?
8곱의 경우
주사위 두 개를 던져 두 눈의 곱이 12가 되는 경우의 수는?
9짝수 만들기
1, 2, 3, 4 로 중복 없이 세 자리 수를 만들 때 짝수는 모두 몇 개인가요?
10색칠
서로 다른 색 4가지로 깃발의 위·아래 두 칸을 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수는?
11합의 확률
주사위 두 개를 던져 눈의 합이 4의 배수가 될 확률은?

객관식 진단 퀴즈 — 경우의수와확률

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 동전 n개의 경우의 수

동전 개수 2 개
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

경우의 수와 확률에서 자주 틀리는 세 가지

학생들이 시험에서 아쉽게 틀리는 세 가지 함정이에요. 이것만 조심해도 실수를 싹 줄일 수 있어요.

① 합의 법칙에서 겹치는 경우를 빼지 않는 실수 — ‘2의 배수 또는 3의 배수’를 셀 때 6의 배수는 둘 다에 포함돼요. 둘을 더한 뒤 겹치는 공배수의 개수를 반드시 한 번 빼주어야 정확해요.
② ‘적어도 하나’ 문제에서 여사건을 쓰지 않고 세다 빠뜨리는 실수 — ‘적어도 1개는 앞면’을 직접 세면 놓치기 쉬워요. 반대인 ‘모두 뒷면’을 구해 1에서 빼는 여사건으로 풀면 훨씬 빠르고 정확합니다.
③ 잇따라 뽑을 때 전체 개수가 줄어드는 것을 놓치는 실수 — ‘꺼낸 구슬을 다시 넣지 않을 때’는 두 번째 뽑을 때 전체 개수가 하나 줄어요. 첫 번째와 두 번째의 전체 개수를 꼼꼼히 확인하세요.
🔎 줄 세우기와 대표 뽑기는 어떻게 구분하나요?

반장 1명, 부반장 1명을 뽑을 때는 자격이 다르므로 순서가 있어요. A가 반장, B가 부반장인 것과 B가 반장, A가 부반장인 것은 다른 경우예요(4 × 3 = 12가지).

하지만 대의원 2명을 뽑을 때는 둘의 자격이 같아요. A-B를 뽑으나 B-A를 뽑으나 똑같으므로 중복된 2로 나눠줍니다((4 × 3) ÷ 2 = 6가지).

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

경우의 수
일어날 수 있는 가짓수.
확률
어떤 일이 일어날 가능성(0~1).
여사건
어떤 사건이 일어나지 않는 경우.
합의 법칙
동시에 일어나지 않는 두 사건의 경우의 수를 더함.
곱의 법칙
동시에 또는 잇따라 일어나는 사건의 경우의 수를 곱함.

내 말로 설명하기

언제 곱하고 언제 더하는지 한 줄로?

예시 — “동전 그리고 주사위처럼 잇따라 일어나면 경우의 수를 곱해(2×6=12). ‘이것 또는 저것’이면 더해.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학

읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.

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눈을 감아요

방금 배운 경우의 수와 확률을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
경우의 수(곱·합) → 확률(원하는÷전체) → 여사건
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

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