연 수학›중학교 1학년›평면도형의 성질
중학교 1학년 · 도형과 측정
YEON MATH · GRADE 7

평면도형의 성질

다각형의 내각·외각 · 원과 부채꼴 · 작도·합동

왜 평면도형의 성질을 배울까?

타일·시계·피자처럼 다각형과 원은 생활 곳곳에 있어요. 내각의 합과 부채꼴 공식을 알면 직접 재지 않고도 길이와 넓이를 구해요. 작도와 합동은 도형 증명의 든든한 출발점이랍니다.

평면도형의 성질 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
🔎 다각형 성질을 알면 건축에서 왜 유리한가요?

건축가들은 건물을 튼튼하게 지을 때 삼각형 구조(트러스 구조)를 즐겨 써요. 사각형은 모서리를 밀면 쉽게 찌그러지지만, 삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 모양이 절대 변하지 않기 때문이에요. 자전거 프레임이나 에펠탑, 큰 다리 등 튼튼한 건축물에는 모두 다각형의 기하학적 성질이 숨어 있답니다.

이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 다각형의 내각·외각의 합을 구한다. ② 정다각형의 한 내각·외각을 구한다. ③ 부채꼴의 호의 길이·넓이를 구한다. ④ 작도와 합동의 뜻을 안다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 삼각형 세 각의 합은 몇 도일까요?
② 사각형은 삼각형 몇 개로 나눌 수 있나요?
① 180° · ② 2개(→ 360°). 다각형을 삼각형으로 쪼개는 게 핵심 열쇠예요.
🔎 그 전에 알아야 할 삼각형 내각 180°의 비밀

삼각형의 세 각을 색종이로 오려서 한 꼭짓점에 모아 붙이면 정확하게 평평한 일직선(180°)이 돼요. 이것은 삼각형의 한 꼭짓점을 지나고 마주보는 변에 평행한 직선을 그었을 때, 엇각과 동위각의 크기가 같아 한 직선 위에 세 각이 나란히 놓이기 때문이에요.

다각형의 내각의 합 — 삼각형으로 쪼개요

n각형의 한 꼭짓점에서는 자신과 이웃을 뺀 (n − 3)개의 대각선을 그어요. 총 개수는 양 끝에서 두 번씩 세므로 n(n−3)/2개입니다. 대각선을 그으면 다각형이 (n − 2)개의 삼각형으로 나뉘어요. 따라서 내각의 크기의 합은 180° × (n − 2)예요. 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같아요. 어떤 다각형이든 외각의 크기의 합은 항상 360°랍니다.
🔎 「대각선 총 개수」 공식은 왜 n(n-3)/2 인가요?

n각형에는 n개의 꼭짓점이 있어요. 각 꼭짓점에서는 자신과 양옆 이웃 꼭짓점을 뺀 (n − 3)개의 대각선을 그을 수 있죠. 모든 꼭짓점에서 그으면 n(n − 3)개가 되지만 선분의 양 끝에서 각각 두 번씩 겹쳐 세게 돼요. 그래서 2로 나누어 줍니다.

🔎 n각형 내각의 합은 왜 180° × (n - 2) 인가요?

사각형은 삼각형 2개(360°), 오각형은 삼각형 3개(540°)로 쪼개져요. 꼭짓점이 1개 늘어날 때마다 삼각형이 1개씩 더 생기므로 n각형은 (n − 2)개의 삼각형으로 나뉩니다. 삼각형 하나의 내각 합이 180°이므로 180° × (n − 2)가 된답니다.

기억해요 — 대각선 총 개수 = n(n−3)/2 · 내각의 합 = 180°×(n − 2) · 외각의 합 = 360°
📺📺 영상으로 보기오각형의 내각의 합▶

삼각형의 한 외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합 · 외각의 합 360°

삼각형에서 세 내각의 합은 ∠a + ∠b + ∠c = 180°이고, 한 꼭짓점에서 안쪽 각(내각)과 바깥쪽 각(외각)을 더해도 평각 ∠c + (외각) = 180°예요. 따라서 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 합(∠a + ∠b)과 같아요! 또한 어떤 다각형이든 둘레를 따라 한 바퀴 걸어 제자리로 돌아오면 꼭짓점마다 방향을 꺾은 각(외각)의 합이 정확히 한 바퀴 회전인 360°가 됩니다.
a b c 외각 = a + b

대각선 총 개수에서 ‘÷ 2’를 잊지 마세요

n각형의 꼭짓점 n개에서 각각 (n − 3)개씩 대각선을 그으면 n(n − 3)이지만, 선분 AC와 선분 CA처럼 모든 대각선이 양 끝 꼭짓점에서 두 번씩 세어져요. 그래서 반드시 2로 나눈 n(n−3)/2가 대각선의 총 개수예요. 또한 한 꼭짓점에서 (내각) + (외각) = 180°라는 점도 늘 함께 기억해요.
🔎 삼각형의 한 외각은 왜 이웃하지 않는 두 내각의 합인가요?

삼각형 세 내각 a, b, c의 합은 180°예요. 한편 내각 c와 그 외각을 더해도 일직선(평각)이므로 180°가 됩니다. 둘 다 c를 더해서 180°가 되므로 외각의 크기는 나머지 두 내각의 합인 a + b와 정확히 같아집니다.

🔎 모든 다각형의 외각의 합은 왜 항상 360°인가요?

다각형 둘레를 따라 로봇이 한 바퀴 돈다고 상상해 봐요. 꼭짓점을 돌 때마다 로봇은 외각만큼 몸을 틀어요. 제자리로 돌아와 처음 방향을 보면 정확히 360° 회전한 셈이죠. 다각형의 변이 몇 개이든 상관없이 항상 360°가 됩니다.

🔎 정다각형의 한 내각과 외각을 가장 쉽게 구하는 비결

정n각형의 한 내각을 복잡한 내각 공식으로 구하기보다 외각을 먼저 구하면 훨씬 쉬워요. 외각의 합은 무조건 360°이므로 한 외각은 360° ÷ n 이에요. 그다음 180°에서 외각을 빼면 한 내각의 크기가 순식간에 나온답니다.

원과 부채꼴 — 중심각에 비례해요

원 위의 곡선 부분은 호, 곧게 이은 선분은 현이에요. 가장 긴 현은 원의 지름입니다. 두 반지름과 호가 이루는 모양이 부채꼴이에요. 현과 호로 둘러싸인 모양은 활꼴이라 합니다. 호의 길이와 부채꼴 넓이는 중심각에 정비례해요. 하지만 현의 길이는 중심각에 정비례하지 않아요. 반지름 r, 중심각 x°일 때 공식은 다음과 같아요: 호의 길이 ℓ = 2πr × x/360, 부채꼴 넓이 S = πr² × x/360 = 1/2rℓ.
🔎 「호」와 「현」은 무엇이 다른가요?

활을 떠올리면 쉽게 구별할 수 있어요. 구부러진 활대 모양의 곡선 부분이 호(弧)이고, 팽팽하게 당겨진 활시위 모양의 직선 부분이 현(弦)이에요. 원 위의 두 점을 어떻게 잇느냐에 따라 곡선은 호, 곧은 선분은 현이 됩니다.

🔎 「부채꼴」과 「활꼴」의 차이점

부채꼴은 원의 중심에서 나온 두 반지름과 호가 만나는 부채 모양이에요. 반면 활꼴은 원의 중심을 지나지 않고 현과 호만으로 둘러싸여 있어요. 단, 중심각이 180°인 반원은 현이 지름이 되면서 부채꼴과 활꼴이 완벽히 같아집니다.

🔎 부채꼴 호의 길이는 왜 중심각에 정비례하나요?

중심각이 2배, 3배로 커지면 원의 중심에서 자르는 피자 조각의 개수도 똑같이 2배, 3배가 돼요. 원둘레 전체 360° 중에서 중심각이 차지하는 비율(x/360)만큼 호의 길이도 정직하게 늘어나기 때문이에요.

기억해요 — 호의 길이·부채꼴 넓이는 중심각에 정비례(× x/360), 현의 길이는 정비례 X
기억 그림 · 원 위의 부채꼴(반지름·호·중심각)과 현·활꼴 x° r 호 ℓ 부채꼴 현 활꼴 O
부채꼴은 두 반지름 + 호(피자 조각), 활꼴은 현 + 호(활 모양)예요. 중심각이 180°(반원)일 때만 부채꼴과 활꼴이 같아져요.

①내각의 합

(n − 2) × 180°. 삼각형 개수 × 180.

②정n각형 한 내각

내각의 합 ÷ n. 또는 180 − (한 외각).

③외각의 합

어떤 다각형도 360°. 정n각형 한 외각 = 360 ÷ n.

④부채꼴

호·넓이 모두 중심각 x에 비례 (× x/360).

왜 호의 길이는 중심각에 정비례하지만 현은 아닐까

원을 피자처럼 똑같은 중심각으로 두 조각 포개면 곡선 테두리인 호의 길이와 조각의 넓이는 정확히 2배가 돼요. 하지만 두 끝점을 직선으로 가로지르는 현의 길이는 삼각형의 한 변이라 두 현을 합친 길이보다 짧아지므로 중심각에 정비례하지 않아요.

부채꼴 넓이의 또 다른 식

호의 길이 ℓ을 알면 넓이 = ½ · r · ℓ 로도 구해요 (삼각형 ½·밑변·높이와 닮은꼴!). 중심각을 몰라도 반지름과 호만 있으면 넓이가 나와요.

부채꼴의 ‘둘레’에는 두 반지름(+2r)이 꼭 들어가요!

부채꼴의 호의 길이는 곡선 부분(ℓ)만 뜻하지만, 부채꼴의 둘레의 길이는 도형을 둘러싼 모든 변의 합이므로 호의 길이에 양옆 두 반지름(2r)을 반드시 더해야 해요: (부채꼴의 둘레) = ℓ + 2r.

작도와 합동

눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 정확히 그리는 게 작도예요. 두 도형이 포개지면 합동(기호 ≡). 삼각형의 합동조건(SSS·SAS·ASA)은 2학년 도형 증명의 출발점이에요.
🔎 현의 길이는 왜 중심각에 정비례하지 않나요?

현은 두 점을 곧게 잇는 직선거리예요. 중심각이 2배가 되면 두 점을 잇는 삼각형에서 ‘두 변의 합은 나머지 한 변보다 크다’는 성질 때문에, 직선으로 잰 현의 길이는 원래 길이의 2배보다 무조건 짧아집니다.

🔎 부채꼴 넓이 공식 S = ½ r ℓ 은 왜 삼각형 넓이와 같나요?

부채꼴을 잘게 쪼개어 번갈아 맞추면 가로가 호의 절반(½ℓ), 세로가 반지름(r)인 직사각형에 가까워져요. 또 밑변이 호의 길이 ℓ이고 높이가 반지름 r인 수많은 작은 삼각형들의 넓이를 모두 합친 것으로 생각할 수도 있답니다.

스스로 풀어요 (3단계)

내각의 합, 정다각형 한 내각, 원·부채꼴의 기본부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 다각형은 ‘삼각형 몇 개로 쪼개지나’ 하나로, 부채꼴은 ‘× x/360’ 하나로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 정다각형은 한 외각(360÷n)에서 거꾸로 빨리 풀게 했습니다.

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 다각형의 대각선과 내각·외각의 합까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1내각·외각 비
한 내각이 한 외각의 5배인 정다각형은 몇 각형인가요?
2별 모양 각합
정오각별(★)의 다섯 꼭짓점에 있는 각의 크기의 합은?
3대각선 개수
대각선의 총 개수가 35개인 다각형은 몇 각형인가요?
4부채꼴 둘레
반지름 6, 중심각 60°인 부채꼴의 둘레(호 + 두 반지름)의 길이는?
5부채꼴 호
반지름 6인 부채꼴의 중심각이 정육각형의 한 내각과 같을 때, 호의 길이는?
6분침 각
시계의 분침이 20분 동안 움직이는 각도는?
7정다각형 판별
한 내각이 156°인 정다각형은 몇 각형인가요?
8평면 채우기
정육각형 모양 타일로 평면을 빈틈없이 채울 때, 한 점에 모이는 정육각형은 몇 개인가요?
9부채꼴 넓이비
반지름이 같고 중심각이 각각 90°, 180°인 두 부채꼴의 넓이의 비는?
10원의 둘레
원의 둘레의 길이가 12π일 때, 이 원의 반지름은?
11외각 약수
정n각형의 한 외각의 크기가 자연수가 되는 n 중 가장 큰 두 자리 수는?

객관식 진단 퀴즈 — 평면도형의성질

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 다각형 내각의 합

n각형의 n 5
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

평면도형의 성질에서 자주 틀리는 세 가지

❌ 틀린 풀이: 반지름 6 cm, 중심각 60°인 부채꼴의 둘레 = 2π cm
🔍 왜 틀렸을까? 2π cm는 곡선인 호의 길이만 구한 것입니다. 둘레는 도형의 모든 테두리 길이이므로 양옆의 두 반지름(2r)을 반드시 더해야 합니다.
⭕ 바른 풀이: (둘레) = (호의 길이) + 2r = 2π + 2×6 = 2π + 12 (cm) 입니다.
🔎 부채꼴 둘레를 구할 때 양옆 반지름(2r)을 빠뜨리는 실수

문제에서 ‘호의 길이’를 묻는지 ‘부채꼴의 둘레’를 묻는지 반드시 구별해야 해요. 호는 곡선 부분만이지만 둘레는 피자 조각의 테두리 전체를 따라 걷는 것이므로 양쪽 곧은 변(반지름 2개)을 꼭 더해 주어야 한답니다.

❌ 틀린 풀이: 육각형의 대각선의 총 개수 = 6 × 3 = 18개
🔍 왜 틀렸을까? 한 꼭짓점에서 3개씩 그을 수 있어 6×3을 하면, 선분 AC와 선분 CA처럼 모든 대각선을 양 끝 꼭짓점에서 두 번씩 세게 됩니다.
⭕ 바른 풀이: 반드시 2로 나누어 6×3/2 = 9개입니다.
🔎 대각선 개수 계산에서 나누기 2를 빠뜨리는 실수

n(n − 3)은 한쪽 방향으로만 센 것이 아니에요. 꼭짓점 A에서 C로 그은 선과 C에서 A로 그은 선은 완전히 같은 선분이죠. 2로 나누지 않으면 대각선이 딱 2배로 부풀려져 오답이 됩니다.

❌ 틀린 풀이: 정십이각형의 한 내각을 180° × (12 − 2) ÷ 12 로 구하다가 계산 실수
🔍 왜 틀렸을까? 내각의 합(1800°)을 먼저 구하고 12로 나누면 숫자가 커져 계산 실수가 생기기 쉽습니다.
⭕ 바른 풀이: 외각의 합이 360°임을 이용해 한 외각 360° ÷ 12 = 30°를 먼저 구한 뒤, 180° − 30° = 150° 로 계산하면 훨씬 빠르고 정확합니다.
🔎 내각과 외각의 합 180°를 이용해 빠르게 검산하기

정다각형 문제를 풀고 나면 항상 (한 내각) + (한 외각) = 180° 가 성립하는지 맞춰 보세요. 정십각형의 한 내각이 144°라면 외각은 36°이고, 36° × 10 = 360°가 맞는지 확인하면 단 3초 만에 검산이 끝납니다.

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내각
다각형 안쪽의 각.
외각
한 변을 연장한 바깥쪽 각.
부채꼴
원을 중심각만큼 잘라낸 부분.
호
원둘레의 일부(부채꼴의 곡선 변).
현·활꼴
원 위의 두 점을 이은 선분이 현, 호와 현이 둘러싼 도형이 활꼴.
대각선
다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분.

내 말로 설명하기

다각형 내각의 합 공식을 왜 그렇게 쓰는지 설명해 봐요.

예시 — “n각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형 (n−2)개로 나뉘어. 삼각형 하나가 180°니까 (n−2)×180°.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학

읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.

피자 자르기 — 부채꼴은 원의 몇 분의 몇손으로 끌고 눌러서 알아내기
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눈을 감아요

방금 배운 평면도형의 성질을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
다각형 (n−2)×180 → 외각 360 → 부채꼴 ×(x/360)
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

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