온도(영하)와 승강기(지하층)처럼 세상엔 0보다 작은 수가 가득해요. 음수를 알면 0을 기준으로 양쪽을 모두 나타낼 수 있어요. 부호 규칙은 앞으로 배울 모든 계산의 기본기랍니다.
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.🔎 음수는 역사 속에서 어떻게 생겨났나요?
고대 사람들은 물건을 셀 때 자연수만 썼어요. 하지만 장사를 하면서 ‘남에게 빌린 빚’이나 ‘손해 본 금액’을 적을 필요가 생겼죠. 동양의 고대 수학책 『구장산술』에서는 빨간 막대로 양수를, 검은 막대로 음수를 나타냈답니다. 0보다 작은 수도 엄연한 수라는 생각이 계산을 훨씬 넓혀 주었어요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 정수·유리수를 알고 수직선에 나타낸다. ② 절댓값으로 수의 크기를 비교한다. ③ 부호 규칙으로 덧셈·뺄셈을 한다. ④ 부호 규칙으로 곱셈·나눗셈을 한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐는지 살펴봐요.
① 수직선에서 3은 0의 어느 쪽에 있나요?
② 5 + 3, 그리고 7 − 2 를 계산할 수 있나요?
① 오른쪽 · ② 8, 5. 자연수의 덧셈·뺄셈이 든든하면 부호만 더하면 돼요.
🔎 그 전에 알아야 할 수직선의 기초
수직선은 수를 직선 위에 점으로 나타낸 그림이에요. 기준이 되는 0을 원점이라고 부릅니다. 0에서 오른쪽으로 갈수록 수가 커지고, 0에서 왼쪽으로 갈수록 수가 작아져요. 같은 간격으로 눈금을 매겨 두면 두 수의 크기를 눈으로 쉽게 비교할 수 있어요.
정수와 수직선 — 0을 기준으로 양쪽
기준인 0보다 큰 수에는 +(양의 부호), 작은 수에는 −(음의 부호)를 붙여요. 양의 정수(+1, +2, …)와 0, 음의 정수(−1, −2, …)를 합쳐 정수라 해요. 여기에 +1/2, −0.7처럼 분수·소수를 합친 전체 가족을 유리수라고 해요. 수직선에서는 0의 오른쪽이 +, 왼쪽이 −예요. 오른쪽으로 갈수록 큰 수랍니다.
🔎 「유리수」가 무슨 뜻인가요?
유리수(有理數)는 ‘비(ratio)가 있는 수’라는 뜻의 영어(rational number)를 옮긴 말이에요. 분모와 분자가 모두 정수인 분수(단, 분모는 0이 아님)로 나타낼 수 있는 수를 통틀어 유리수라고 불러요. 자연수, 정수, 소수 모두 분수로 바꿀 수 있으므로 유리수에 속해요.
🔎 0은 양수인가요, 음수인가요?
0은 양수도 아니고 음수도 아니에요. 0은 양수와 음수를 가르는 정가운데 기준점이에요. 수직선의 출발점(원점) 역할을 하며, 부호 없이 그냥 0으로 씁니다.
기억해요 — 수직선에서 오른쪽일수록 큰 수, 0의 양쪽으로 거울처럼 펼쳐진다
기억 그림 · 영상/영하 = 지상층/지하층
온도(영상·영하), 건물 층(지상·지하), 승강기처럼 0을 기준으로 양쪽이면 모두 정수예요. ‘올라가면 +, 내려가면 −’.
절댓값 = 0에서 떨어진 거리
어떤 수의 절댓값은 0에서 그 수까지의 거리예요. 거리는 방향(부호)과 상관없으니 항상 0 이상. |+5| = 5, |−5| = 5. 그래서 −5는 +3보다 ‘크기(절댓값)’는 크지만, 수로는 더 작아요(왼쪽).
“−5가 −2보다 크다”는 착각
절댓값만 보면 5가 2보다 크지만, 수직선에서 −5는 −2보다 왼쪽이라 더 작은 수예요. 음수끼리는 절댓값이 클수록 더 작다는 점을 꼭 기억해요.
🔎 「절댓값」은 왜 항상 0 이상인가요?
절댓값은 수직선에서 기준점 0부터 그 점까지의 ‘거리’를 뜻해요. 거리는 아무리 멀어도 음수가 될 수 없고 0이나 양수로만 나타내죠. 따라서 기호 안에 어떤 수가 들어가도 절댓값은 항상 0 이상이 된답니다.
🔎 음수끼리는 왜 절댓값이 클수록 더 작나요?
음수는 0에서 왼쪽으로 멀어질수록 절댓값이 커져요. 수직선에서는 왼쪽으로 갈수록 더 작은 수입니다. 그래서 −100은 −1보다 절댓값은 훨씬 크지만 수로는 훨씬 작아요.
덧셈과 뺄셈 — 부호 규칙
같은 부호끼리 더하면 절댓값의 합에 공통 부호를 붙여요. 다른 부호끼리 더하면 절댓값의 차에 절댓값이 큰 쪽의 부호를 붙입니다. 분수나 소수도 부호 규칙은 똑같아요. 분수는 분모를 통분한 뒤 더해요: (−1/2)+(+1/3)=−1/6. 뺄셈은 ‘부호 바꿔 더하기’로 통일해요: (−7) − (−12) = (−7) + (+12) = +5.
🔎 부호가 다른 두 수의 덧셈 비결
부호가 다르면 두 수가 줄다리기를 한다고 생각해요. +팀과 −팀이 힘겨루기를 하면, 더 큰 힘(절댓값)을 가진 쪽이 이기고 그 차이만큼 남아요. (+7) + (−4)는 +팀이 3만큼 이겨서 +3이 됩니다.
🔎 뺄셈을 왜 ‘부호 바꿔 더하기’로 바꾸나요?
뺄셈을 그대로 풀면 부호가 겹쳐서 실수가 잦아져요. 빼는 수의 부호를 반대로 뒤집어 덧셈으로 바꾸면 하나의 덧셈 규칙으로 모두 해결할 수 있어요. 3 − (−5)는 3 + (+5)로 바꾸어 8이 됩니다.
기억해요 — 뺄셈은 ‘부호 바꿔 더하기’ 하나로 통일하면 헷갈리지 않는다
📺📺 영상으로 보기수직선에서 (+3) + (−5)▶
📺 움직이는 개념 — 수직선에서 (+3) + (−5)
수직선 위에서 한 칸씩 움직여요. ▶ 다시보기·한 단계씩 볼 수 있어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
왜 음수를 빼는 것이 양수를 더하는 것과 같을까
빚이 −5원인데 그 빚을 없애 주면(−(−5)) 내게 +5원이 생긴 것(+(+5))과 똑같죠! 그래서 빼는 수의 부호를 반대로 바꾸어 더하면 돼요. 또한 덧셈에서는 두 수의 자리를 바꾸는 교환법칙(a+b=b+a)과 어느 쪽을 먼저 더해도 같은 결합법칙이 성립해, 양수는 양수끼리, 음수는 음수끼리 모아서 더하면 훨씬 빨라요.
덧셈인데 곱셈 부호 규칙을 쓰지 마세요
(−3) + (−5)를 보고 ‘마이너스 두 개니까 플러스!’라고 착각해 +8이라 쓰면 안 돼요. 왼쪽으로 3칸 간 뒤 또 왼쪽으로 5칸 갔으니 −8이에요. ‘음수 × 음수 = 양수’는 곱셈·나눗셈 규칙이고, 같은 부호의 덧셈은 그 부호를 그대로 따라갑니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 분수 유리수의 덧셈과 뺄셈
분수 계산은 먼저 부호를 확인하고 분모를 같게 통분해요. 그 다음 정수의 덧셈·뺄셈 규칙에 따라 분자끼리 계산합니다. 마지막으로 기약분수로 약분하고 부호를 점검하면 완벽해요.
🔎 수직선 걷기로 이해하는 (+3) + (−5)
0에서 출발해 +3은 오른쪽으로 3걸음 걸어가요. 거기서 −5를 더하는 것은 왼쪽으로 5걸음 돌아가는 것이죠. 결국 도착한 자리는 0의 왼쪽인 −2가 된답니다.
곱셈과 나눗셈 — 부호의 약속과 역수
두 수의 곱셈·나눗셈은 같은 부호끼리는 양수(+), 다른 부호끼리는 음수(−)가 돼요. 나눗셈은 두 수의 곱이 1이 되는 역수를 곱해 계산해요: −2/3의 역수는 −3/2입니다. 역수를 취할 때 부호는 그대로 유지해요. 혼합 계산은 거듭제곱 → 괄호 → 곱·나눗셈 → 덧·뺄셈 순서로 풀어요. a × (b + c) = a × b + a × c 인 분배법칙을 쓰면 계산이 훨씬 빨라집니다.
🔎 「역수」가 무슨 뜻인가요?
어떤 수에 곱해서 1이 되게 만드는 짝꿍 수를 ‘역수’라고 해요. 분수에서 분모와 분자의 자리를 서로 맞바꾸면 역수가 됩니다. 0은 어떤 수를 곱해도 0이 되므로 0의 역수는 존재하지 않아요.
수직선에서 ‘−를 곱하기’는 방향 뒤집기예요. 한 번 뒤집으면(−) 반대쪽, 두 번 뒤집으면(−×−) 다시 제자리(+). 빚(−)을 덜어주는(−) 것이 곧 이득(+)이라고 생각해도 좋아요.
(−2)⁴ 과 −2⁴ 은 부호가 달라요!
괄호가 있는 (−2)⁴ = (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = +16은 −2 전체를 네 번 곱한 것이고, 괄호가 없는 −2⁴ = −(2×2×2×2) = −16은 2만 네 번 곱한 뒤 앞에 − 부호를 붙인 거예요. 또한 음수의 역수를 구할 때 부호까지 양수로 바꾸지 않도록 주의하세요(−2/3의 역수는 −3/2).
다음 학년으로
이 부호 규칙은 곧바로 이어지는 중1 문자와 식·일차방정식의 이항, 그리고 2학년 식의 계산·연립방정식의 바탕이에요. 여기서 유리수의 부호와 역수 계산을 몸에 익히면 앞으로의 계산이 훨씬 가벼워져요.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 음수 곱하기 음수, 180도 영화 되감기 직관
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 원리를 비디오 되감기 직관으로 풀어냅니다.
