가로 축을 x축, 세로 축을 y축이라고 불러요.
두 축이 직각으로 만나면 점의 위치를 (x, y)로 나타낼 수 있어요.
두 축이 만나는 기준점이 바로 원점 O(0, 0)이에요.
왜 정비례·반비례를 배울까?
속력과 거리처럼 두 양이 함께 변하는 관계는 세상에 많아요.
그 관계를 식과 그래프로 그리면 미래를 예측할 수 있어요.
2학년 일차함수와 과학의 그래프 해석으로 곧장 이어집니다.
🔎 좌표와 그래프를 왜 배우나요?
내비게이션 지도, 날씨 예보 그래프, 주식 변동 차트 모두 좌표를 써요.
복잡하게 변하는 두 수의 관계를 눈으로 바로 보게 해 줍니다.
수학에서 그림으로 생각을 넓히는 가장 강력한 도구예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 좌표평면에 점을 나타내고 사분면을 안다. ② 정비례 y=ax를 이해하고 그래프를 그린다. ③ 반비례 y=a/x를 이해한다. ④ 그래프로 생활 속 관계를 해석한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 점 (3, 2)에서 앞의 3은 가로·세로 중 무엇인가요?
② 한 개에 500원인 사탕 4개의 값은?
① 가로(x) · ② 2000원. 개수가 2배면 값도 2배 — 이게 정비례예요.
🔎 그 전에 알아야 할 비례 관계
초등학교 때 배운 규칙에서 사탕 1개에 500원이면 2개에 1000원이었어요.
개수가 2배, 3배 늘어나면 가격도 정확히 2배, 3배로 늘어납니다.
이렇게 함께 같은 비율로 커지는 관계를 중학교에서는 정비례라고 불러요.
좌표평면 — 점에 ‘주소’를 붙여요
🔎 「순서쌍」이 무슨 말이죠?
두 수를 순서를 정하여 짝지어 나타낸 쌍을 순서쌍이라고 해요.
(3, 2)처럼 괄호 안에 쉼표로 가로 위치와 세로 위치를 적어요.
앞뒤 순서가 바뀌면 전혀 다른 자리가 되므로 순서가 아주 중요해요.
두 축에 의해 평면은 네 구역인 사분면으로 나뉘어요.
오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 제1, 2, 3, 4사분면이에요.
x축과 y축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않아요.
기억해요 — 점의 주소는 (가로 x, 세로 y) 순서! 제1(+, +) · 제2(−, +) · 제3(−, −) · 제4(+, −)🔎 사분면은 왜 시계 반대 방향으로 번호를 붙이나요?
수학에서는 각도를 잴 때 시계 반대 방향을 ‘양의 방향’으로 약속해요.
둘 다 양수인 (+, +) 구역에서 시작해 양의 방향으로 회전하며 번호를 붙여요.
고등학교 삼각함수와 기하에서도 이 반시계 회전 규칙을 그대로 쓴답니다.
기억 그림 · 반시계 방향으로 도는 제1~4사분면과 부호
오른쪽 위 제1사분면(+, +)에서 출발해 시계 반대 방향으로 1 → 2 → 3 → 4 번호를 붙여요.
(x, y) 순서를 헷갈려요
(3, 2)와 (2, 3)은 완전히 다른 점이에요.
항상 가로(x) 먼저, 세로(y) 나중으로 읽어야 해요.
x축 위의 점은 y=0이고, y축 위의 점은 x=0입니다.
🔎 x축과 y축 위의 점은 왜 사분면에 안 들어가나요?
사분면은 두 축으로 나뉜 네 개의 ‘열린 방’ 구역을 뜻해요.
축은 방과 방을 나누는 ‘경계선(벽)’과 같아요.
따라서 (3, 0)이나 (0, -2) 같은 점은 축 위의 점이라 사분면에 포함되지 않아요.
정비례 y = ax — 원점을 지나는 직선
x가 2배, 3배 커질 때 y도 똑같이 2배, 3배 커지면 정비례예요.
정비례 관계식은 y = ax (단, a ≠ 0)로 나타냅니다.
여기서 곱해진 일정한 수 a를 비례상수라고 불러요.
🔎 「비례상수 a」가 무슨 뜻인가요?
비례상수 a는 x가 1 커질 때마다 y가 얼마나 늘어나는지 보여주는 비율이에요.
y를 x로 나눈 값(y ÷ x)은 언제나 a로 일정해요.
그래프에서는 직선이 얼마나 가파르게 기울어져 있는지를 결정합니다.
정비례 그래프는 항상 원점 O(0, 0)을 지나는 곧은 직선이에요.
a > 0이면 오른쪽 위로 뻗으며 제1, 3사분면을 지나요.
a < 0이면 오른쪽 아래로 향하며 제2, 4사분면을 통과합니다.
🔎 a의 부호에 따라 왜 지나는 사분면이 달라지나요?
a가 양수이면 x가 양수일 때 y도 양수가 되어 (+, +)인 제1사분면을 지나요.
x가 음수이면 y도 음수가 되어 (−, −)인 제3사분면을 지나게 돼요.
반대로 a가 음수이면 x와 y의 부호가 항상 반대가 되어 제2, 4사분면을 지납니다.
a의 절댓값(|a|)이 클수록 그래프는 y축에 가까워져요.
경사가 더 가파르게 서 있는 직선이 됩니다.
기억해요 — 정비례 = 원점을 지나는 직선, a는 비례상수(|a|가 클수록 가파름)🔎 절댓값 |a|가 클수록 왜 y축에 가까워지나요?
x가 1만큼만 옆으로 가도 y는 a만큼 훌쩍 위나 아래로 뛰어요.
y가 빠르게 오르내리니 세로선인 y축 쪽으로 바싹 달라붙게 됩니다.
반대로 |a|가 작으면 완만한 언덕처럼 x축 쪽으로 눕게 돼요.
📺📺 영상으로 보기y = 2x 그래프 그리기▶
📺 움직이는 개념 — y = 2x 그래프 그리기
점을 하나씩 찍고 직선으로 이어요. ▶ 다시보기·한 단계씩 볼 수 있어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
왜 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선일까
y = ax 에 x = 0을 넣으면 a값에 상관없이 늘 y = 0이에요.
그래서 정비례 그래프는 반드시 원점 (0, 0)을 지납니다.
x가 일정하게 늘 때 y도 일정하게 변하므로 곧은 직선이 돼요.
y = 2x + 1 이나 y = x/3 은 정비례일까요?
y = 2x + 1 처럼 뒤에 수가 더해지면 정비례가 아니에요.
x가 2배가 되어도 y가 2배가 되지 않기 때문이에요.
반면 y = x/3 은 y = 1/3x 이므로 정비례가 맞습니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 점 하나로 정비례 식 구하기
1단계: 정비례이므로 기본 뼈대 식 y = ax 를 적어요.
2단계: 지나는 점 (2, 6)을 x와 y 자리에 대입해요: 6 = a × 2.
3단계: a = 3을 찾아내어 완성된 식 y = 3x 를 얻습니다.
반비례 y = a/x — 한쪽이 커지면 다른 쪽은 작아져요
x가 2배, 3배 될 때 y가 1/2배, 1/3배가 되면 반비례예요.
반비례 관계식은 y = a/x (단, a ≠ 0)로 나타냅니다.
양변에 x를 곱하면 두 수의 곱 xy = a 로 항상 일정해요.
🔎 「반비례」가 무슨 말이죠?
한쪽이 2배로 커질 때 다른 쪽은 거꾸로 절반(½)으로 줄어드는 관계예요.
사탕 12개를 1명이 먹으면 12개, 2명이 나누면 6개씩 먹게 되지요.
두 사람의 몫을 곱하면 항상 12로 일정한 것이 바로 반비례예요.
반비례 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선이에요.
a > 0이면 제1사분면과 제3사분면에 그려집니다.
a < 0이면 제2사분면과 제4사분면에 위치해요.
기억해요 — 반비례는 곱이 일정(xy = a). a>0이면 제1·3사분면, a<0이면 제2·4사분면🔎 반비례 곡선은 왜 축과 절대 만나지 않나요?
수학에서 분모는 0이 될 수 없으므로 x는 절대 0이 아니에요.
또한 분자 a가 0이 아니므로 y값도 절대 0이 될 수 없어요.
축에 아무리 가까이 다가가도 결코 축에 닿지 않는 특별한 곡선이랍니다.
기억 그림 · 반비례 y = a/x 의 한 쌍의 매끄러운 곡선
x와 y는 0이 될 수 없으므로 반비례 곡선은 x축·y축에 한없이 가까워질 뿐 절대 축과 만나지 않아요.
①정비례 찾기
x로 나눈 값 y/x 가 항상 같으면 정비례. 그 값이 a.
②반비례 찾기
곱 x·y 가 항상 같으면 반비례. 그 값이 a.
③그래프 모양
정비례=원점 지나는 직선, 반비례=두 갈래 곡선.
④지나는 점으로 a
한 점 (p, q)를 식에 넣으면 a를 바로 구해요.
왜 반비례 그래프는 곡선일까
두 수의 곱 xy = a 가 항상 일정해야 해요.
x가 커질수록 y는 작아지지만 0보다 밑으로 떨어지지는 않아요.
0에 가까워질수록 급히 솟구쳐서 부드러운 곡선 모양이 됩니다.
분수가 있다고 다 반비례는 아니에요
x가 분모에 있어야 진짜 반비례 식이에요.
y = x/3 처럼 x가 분자에 있으면 정비례(y = 1/3x)예요.
뒤에 상수가 더해진 y = 3/x + 1 은 반비례가 아니에요.
생활 속 정비례·반비례
정비례: 속력이 일정할 때 시간과 거리, 물건 1개 값과 총액. 반비례: 일정한 일을 나눌 때 사람 수와 걸리는 시간, 톱니 수와 회전수. 2학년 일차함수로 이어져요.🔎 정비례와 반비례 식을 한눈에 구별하는 방법
두 수의 나눗셈 y ÷ x 가 일정하면 정비례(y = ax)예요.
두 수의 곱 x × y 가 일정하면 반비례(y = a/x)입니다.
표에 적힌 두 수를 곱해보거나 나눠보면 1초 만에 가려낼 수 있어요.
스스로 풀어요 (3단계)
비례상수 구하기, 정비례·반비례 값 찾기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 정비례는 나눗셈, 반비례는 곱이 일정해요. ‘더 간결하게’: a는 지나는 점 하나만 대입하면 바로 풀립니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 정비례·반비례의 값과 비례상수가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 자연수 점의 개수·교점·톱니바퀴·넓이 일정·그래프 사분면까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1정비례 점
두 점 (2, 6)과 (5, k)가 같은 정비례 그래프 위에 있을 때, k는?
답: 15
a=6/2=3 → k=3×5=15
a=6/2=3 → k=3×5=15
2자연수 점
반비례 y = 36/x 그래프 위의 점 중 x좌표, y좌표가 모두 자연수인 점은 몇 개인가요?
답: 9개
36의 약수는 9개 → 점도 9개
36의 약수는 9개 → 점도 9개
3곱 일정
정비례 y=ax 와 반비례 y=b/x 가 점 (3, 6)에서 만날 때, a × b의 값은?
답: 36
a=6/3=2, b=3×6=18 → a×b=36
a=6/3=2, b=3×6=18 → a×b=36
4교점
y = 3x 와 y = 12/x 의 교점 중 제1사분면에 있는 점의 좌표는?
답: (2, 6)
두 그래프가 만나는 점은 y = 3x 와 xy = 12 를 동시에 만족해요. 제1사분면(x>0, y>0)에서 y가 x의 3배이면서 두 수의 곱이 12가 되는 수는 x = 2, y = 6 이므로 교점은 (2, 6)입니다.
두 그래프가 만나는 점은 y = 3x 와 xy = 12 를 동시에 만족해요. 제1사분면(x>0, y>0)에서 y가 x의 3배이면서 두 수의 곱이 12가 되는 수는 x = 2, y = 6 이므로 교점은 (2, 6)입니다.
5반비례 시간
거리 120km를 시속 x km로 갈 때 걸리는 시간 y는 반비례합니다. 시속 40km면 몇 시간 걸리나요?
답: 3시간
y=120/x → 120/40=3시간
y=120/x → 120/40=3시간
6부호
정비례 y=ax 의 그래프가 제2사분면과 제4사분면을 지나면, a의 부호는?
답: 음수
a<0이면 제2·4사분면을 지나요
a<0이면 제2·4사분면을 지나요
7반비례 변화
반비례 y=a/x 에서 x가 2배가 되면 y는 몇 배가 되나요?
답: 1/2배
xy가 일정하므로 x가 2배면 y는 1/2배
xy가 일정하므로 x가 2배면 y는 1/2배
8두 점과 비례상수
정비례 y=ax 위의 두 점 (1, m)과 (4, m+9)에서 a는?
답: 3
(1, m)을 대입하면 m = a, (4, m+9)를 대입하면 m+9 = 4a → a+9 = 4a → 3a = 9 → a = 3
(1, m)을 대입하면 m = a, (4, m+9)를 대입하면 m+9 = 4a → a+9 = 4a → 3a = 9 → a = 3
9톱니 회전
맞물려 도는 두 톱니바퀴에서 톱니 30개가 분당 20회전이면, 톱니 24개는 분당 몇 회전인가요?
답: 25회전
톱니수×회전수 일정: 30×20=600. 600/24=25회전
톱니수×회전수 일정: 30×20=600. 600/24=25회전
10넓이 일정
넓이가 48로 일정한 직사각형에서 가로가 8일 때 세로는?
답: 6
가로×세로=48 → 48/8=6
가로×세로=48 → 48/8=6
11정비례 점
정비례 그래프 y=ax 가 점 (−3, 9)를 지날 때, a는?
답: −3
9=−3a → a=−3
9=−3a → a=−3
객관식 진단 퀴즈 — 정비례반비례
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 정비례 y = ax
비례상수 a 2
x 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
좌표평면과 그래프에서 자주 틀리는 세 가지
학생들이 시험에서 가장 많이 헷갈리는 세 가지 함정이에요. 이것만 주의해도 실수를 싹 줄일 수 있어요.
① (x, y) 순서 뒤바꿔 점 찍기 — 점 (2, 3)을 찍을 때 가로로 3, 세로로 2를 가는 실수를 많이 해요! 항상 가로(x)가 먼저, 세로(y)가 나중임을 명심해요.
② x축과 y축 위의 점의 사분면 오해 — 점 (0, 4)나 (3, 0)처럼 좌표에 0이 있으면 어떤 사분면에도 속하지 않아요! 축은 경계선이므로 사분면 번호를 쓰면 오답이에요.
③ 분수 형태 식의 정비례·반비례 혼동 — y = x/2 는 x가 분자에 있으므로 정비례예요! x가 분모에 있는 y = 2/x 만 반비례입니다.
🔎 점 (−2, −5)는 제몇사분면에 있나요?
x좌표가 음수(−)이므로 원점에서 왼쪽으로 2칸 가요.
y좌표도 음수(−)이므로 아래쪽으로 5칸 내려갑니다.
둘 다 음수인 (−, −) 구역은 바로 제3사분면이에요.
🔎 y = −3x 에서 비례상수 a는 양수인가요, 음수인가요?
x 앞에 곱해진 숫자 전체가 비례상수예요.
따라서 부호까지 포함하여 a = −3 (음수)이에요.
a가 음수이므로 이 직선은 오른쪽 아래로 내려가며 제2, 4사분면을 지납니다.
🔎 반비례 식에서 음수 점을 대입할 때 부호 주의점
반비례 식 y = 12/x 에 x = −3 을 대입하면 12 ÷ (−3) = −4 가 돼요.
곱 xy = (−3) × (−4) = 12 로 양수 비례상수가 그대로 유지됩니다.
음수를 대입할 때는 괄호를 씌워 부호 실수를 예방하세요.
한 장 핵심
- 1좌표평면의 점 = (가로 x, 세로 y) 순서.
- 2정비례 y = ax → 원점을 지나는 직선. a는 비례상수(a>0 제1·3, a<0 제2·4).
- 3반비례 y = a/x (xy = a 일정) → 두 갈래 곡선.
- 4정비례는 y/x가 일정, 반비례는 x·y가 일정.
이 단원의 말·기호
- 좌표
- 점의 위치 (x, y).
- 사분면
- 좌표평면의 네 구역. 제1(+,+)·제2(−,+)·제3(−,−)·제4(+,−).
- 정비례
- x가 2배면 y도 2배. y=ax.
- 반비례
- x가 2배면 y는 ½배. y=a/x.
내 말로 설명하기
정비례와 반비례의 차이를 한 줄로?
예시 — “정비례는 x가 늘면 y도 같은 비로 늘어(직선). 반비례는 곱이 일정해서 x가 늘면 y가 줄어(곡선).”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.