겉넓이는 상자를 포장지로 감싸거나 벽에 페인트를 칠할 때 필요한 ‘면적’이에요(단위: cm², m²). 부피는 물병에 들어가는 음료수의 양이나 방 안의 공기량처럼 ‘속을 채우는 공간의 크기’예요(단위: cm³, L, m³).
🔎 입체도형을 왜 전개도로 펼쳐서 보나요?
입체 상태에서는 숨겨진 면이 있어서 겉넓이를 한눈에 계산하기 어려워요. 모서리를 잘라 평면으로 펼쳐놓은 ‘전개도’를 만들면, 3차원 입체의 모든 면이 2차원 사각형이나 원으로 바뀌어 넓이를 쉽게 더할 수 있습니다. 상자 공장이나 옷 패턴 제작에서도 모두 전개도를 씁니다.
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 다면체·회전체를 구분한다. ② 전개도로 겉넓이를 구한다. ③ 기둥·뿔·구의 부피를 구한다. ④ 회전체의 모양을 떠올린다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 가로 3, 세로 4인 직사각형의 넓이는?
② 직육면체의 면은 모두 몇 개일까요?
① 12 · ② 6개. 밑넓이를 구할 줄 알면 기둥의 부피가 바로 나와요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 원의 둘레와 넓이 공식
반지름이 r인 원에서: ① 둘레의 길이 l = 2πr (지름 2r에 원주율 π를 곱한 것). ② 원의 넓이 S = πr² (반지름의 제곱에 π를 곱한 것). 입체도형에서 원기둥, 원뿔, 구를 다룰 때 이 두 공식이 밑넓이와 옆넓이의 기본이 됩니다.
다면체와 회전체 — 입체의 두 집안
우리가 만지는 상자와 공은 모두 입체도형이에요.
입체도형은 크게 둘러싼 면에 따라 두 집안으로 나뉩니다.
평평한 다각형 면으로만 둘러싸인 입체를 다면체라고 불러요. 각기둥, 각뿔, 각뿔대가 여기에 속해요.
모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같으면 정다면체예요. 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 해서 딱 5가지뿐이에요. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체가 있어요.
평면도형을 한 직선을 축으로 360° 돌려 만든 입체를 회전체라고 해요. 중심이 되는 직선을 회전축이라고 부릅니다.
회전체를 회전축에 수직으로 자르면 단면은 언제나 원이에요. 회전축을 품은 평면으로 자르면 항상 합동인 선대칭도형이 나옵니다.
기억해요 — 다면체=평면으로 둘러쌈, 회전체=한 축으로 빙글 돌려 만든 입체
🔎 「다면체」와 「회전체」는 어떻게 구별하나요?
둘러싸고 있는 ‘면의 성질’을 보면 바로 알 수 있어요. 다면체는 오직 삼각형·사각형 같은 평평한 다각형 면으로만 둘러싸여 있어요(각기둥, 각뿔). 회전체는 둥근 곡면을 가지고 있으며, 어느 한 축을 잡고 360° 빙글 돌렸을 때 딱 들어맞는 도형이에요(원기둥, 원뿔, 구).
🔎 정다면체는 왜 딱 5가지밖에 없을까요?
입체를 만들려면 한 꼭짓점에 면이 적어도 3개 이상 모여야 하고, 그 각들의 합이 360°보다 작아야 입체로 접혀 올라갈 수 있어요. 정삼각형은 3개(180°), 4개(240°), 5개(300°) 모일 수 있고(정사면체·팔면체·이십면체), 정사각형은 3개(270°, 정육면체), 정오각형은 3개(324°, 정십이면체)만 가능해요. 정육각형은 3개만 모여도 360°가 되어 평면이 되어버리므로 오직 5가지만 존재합니다!
🔎 「모선」이 무슨 말이죠?
원뿔이나 원기둥을 만들 때, 회전축 둘레를 빙글 돌면서 둥근 옆면을 낳아주는 ‘어미 선’이라는 뜻이에요(모선=母線). 원뿔에서는 꼭짓점과 밑면 원 둘레의 한 점을 잇는 옆면 선분 l을 가리킵니다. 원뿔의 높이 h(꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 길이)와는 서로 다릅니다.
🔎 회전체를 자를 때 단면의 모양은 어떻게 되나요?
① 회전축에 수직인 평면으로 자르면: 축을 중심으로 회전했기 때문에 어떤 위치에서 잘라도 항상 완벽한 ‘원’이 나와요. ② 회전축을 포함하는 평면으로 자르면: 축을 기준으로 양쪽이 대칭이므로 언제나 합동인 ‘선대칭도형’이 돼요(원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변삼각형, 원뿔대는 등변사다리꼴, 구는 가장 큰 원).
📺📺 영상으로 보기원기둥의 전개도▶
📺 움직이는 개념 — 원기둥의 전개도
원기둥을 펼치면 어떤 모양인지 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
겉넓이와 부피 — 펼쳐서, 쌓아서
입체도형을 다룰 때는 겉과 속을 나누어 생각해요.
겉넓이는 입체의 겉면 전체의 넓이예요. 포장지나 페인트가 얼마나 드는지 잴 때 써요.
부피는 입체도형이 공간에서 차지하는 크기예요. 물이나 모래를 담을 수 있는 양이랍니다.
기둥의 부피는 밑넓이 × 높이로 구해요. 밑면이 위로 곧게 쌓인 모양이기 때문이에요.
뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 기둥 부피의 딱 3분의 1이에요. 기둥 부피 = (밑넓이)×(높이), 뿔 부피 = ⅓×(밑넓이)×(높이)입니다.
기억해요 — 기둥 부피 = 밑넓이 × 높이, 뿔은 그 ⅓. 겉넓이 = 전개도 면을 다 더하기
🔎 기둥의 부피는 왜 「밑넓이 × 높이」인가요?
두께가 거의 없는 종이 한 장의 넓이가 밑넓이(S)라고 생각해보세요. 이 종이를 높이 h만큼 차곡차곡 쌓아 올리면 기둥 모양의 입체가 돼요. 따라서 쌓인 전체 공간의 양(부피)은 밑면 하나의 넓이에 높이를 곱한 ‘밑넓이 × 높이(Sh)’가 됩니다. 각기둥이든 원기둥이든 모두 똑같습니다.
🔎 뿔의 부피는 왜 기둥 부피의 딱 3분의 1일까요?
밑면의 모양과 넓이가 같고 높이도 똑같은 투명한 원기둥과 원뿔 물통을 준비해요. 원뿔에 물을 가득 채워 원기둥에 부으면 정확히 3번 만에 가득 찹니다. 사각뿔과 사각기둥으로 실험해도 항상 똑같이 3번이에요. 그래서 모든 뿔의 부피는 기둥의 부피에 ⅓을 곱합니다(V = ⅓Sh).
🔎 원기둥 옆면 전개도의 가로는 왜 「2πr」인가요?
원기둥의 옆면 직사각형을 둘둘 말면 위아래의 밑면 원을 빈틈없이 딱 감싸 안아야 해요. 따라서 옆면 직사각형의 가로 길이는 밑면 원의 둘레의 길이(2πr)와 완벽히 같아야 합니다. 세로 길이는 원기둥의 높이(h)가 되므로 옆넓이는 2πrh가 됩니다.
🔎 원뿔의 옆넓이 공식 「πrl」은 어떻게 나오나요?
원뿔의 옆면을 펼치면 반지름이 모선 길이 l인 부채꼴이 돼요. 이 부채꼴의 호의 길이는 밑면 원의 둘레(2πr)와 같아요. 부채꼴의 넓이 공식은 ‘½ × 반지름 × 호의 길이’이므로, 옆넓이 = ½ × l × 2πr = πrl이 됩니다! 밑넓이(πr²)와 더하면 겉넓이 πr² + πrl이 나옵니다.
🔎 구의 겉넓이는 왜 원 넓이의 4배(4πr²)인가요?
반지름 r인 야구공 표면에 실을 팽팽하게 감은 뒤, 그 실을 풀어서 평면에 같은 반지름 r인 원을 채워보면 정확히 원 4개를 가득 채워요. 즉 구의 겉넓이는 그 구를 반으로 자른 대원의 넓이(πr²)의 꼭 4배인 4πr²가 됩니다.
🔎 원뿔, 구, 원기둥의 부피비 1 : 2 : 3의 비밀은?
반지름 r이고 높이가 지름(2r)인 원기둥 안에 구와 원뿔이 꼭 맞게 들어갈 때: ① 원기둥 부피 = πr² × 2r = 2πr³. ② 구의 부피 = 4/3 πr³ = ⅔ × (원기둥 부피). ③ 원뿔 부피 = ⅓ × πr² × 2r = ⅔πr³ = ⅓ × (원기둥 부피). 따라서 원뿔 : 구 : 원기둥의 부피비는 정확히 1 : 2 : 3이 됩니다. 고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 이 발견을 너무 자랑스러워해 자신의 묘비에 원기둥에 내접한 구 그림을 새겨달라고 유언했답니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 원뿔의 겉넓이 구하는 3단계
① [밑넓이 구하기] 밑면 원의 반지름 r로 밑넓이 S₁ = πr²을 구해요. ② [옆넓이 구하기] 모선의 길이 l과 반지름 r로 부채꼴 옆넓이 S₂ = πrl을 구해요. ③ [합치기] 밑넓이와 옆넓이를 더해 겉넓이 = πr² + πrl로 완성합니다. (밑면이 1개라는 점을 꼭 기억하세요!)
🔎 구의 부피 공식 4/3 πr³은 어떻게 기억하나요?
겉넓이는 평면 넓이이므로 단위가 제곱(r²)이고 앞의 계수가 4(4πr²)예요. 부피는 3차원 공간이므로 r이 세 번 곱해진 세제곱(r³)이고, 3차원이니 분모에 3이 들어가 ‘4/3 πr³’이 된다고 외우면 겉넓이와 부피 공식을 헷갈리지 않고 기억할 수 있습니다.
①각기둥·원기둥
부피 = 밑넓이 × 높이. 위아래 면이 같음.
②각뿔·원뿔
부피 = ⅓ × 밑넓이 × 높이. 위가 한 점.
③겉넓이
(밑넓이 × 2) + 옆넓이. 전개도로 보면 쉬움.
④구
부피 = (4/3)πr³, 겉넓이 = 4πr². 반원을 돌린 입체.
왜 뿔은 기둥의 ⅓이고, 구는 1 : 2 : 3일까
밑면과 높이가 같은 기둥에 뿔 모양으로 물을 부어 옮겨 담으면 꼭 세 번에 가득 차므로 뿔의 부피는 기둥의 3분의 1이에요. 또한 반지름이 r이고 높이가 지름(2r)인 원기둥 안에 구와 원뿔이 꼭 맞게 들어갈 때, 원뿔 : 구 : 원기둥의 부피비는 1 : 2 : 3(아르키메데스의 발견)이 돼요! 원기둥 부피가 πr² × 2r = 2πr³이므로 원뿔은 그 ⅓인 ⅔πr³, 구는 그 ⅔인 (4/3)πr³이 되고, 구의 겉면에 감은 끈을 평면에 펼치면 반지름 r인 원 넓이(πr²)의 정확히 4배인 4πr²가 돼요.
원기둥과 원뿔 옆넓이의 비밀
원기둥 옆면을 펼치면 가로가 밑면의 둘레(2πr)인 직사각형이므로 옆넓이 = 2πr × h예요. 원뿔 옆면을 펼치면 반지름이 모선의 길이(l)이고 호의 길이가 밑면 원의 둘레(2πr)인 부채꼴이 돼요! 부채꼴 넓이는 ½ × 반지름 × 호의 길이이므로, 원뿔의 옆넓이 = ½ × l × 2πr = πrl, 원뿔의 겉넓이 = πr² + πrl이 됩니다.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 3차원 겨냥도를 펼쳐 납작한 2D 카펫 겉넓이 셈
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 3D 정육면체를 2D 전개도로 펼쳐 겉넓이를 직관적으로 해결하는 원리를 보여줍니다.
