옛 아라비아 수학자들은 모르는 값을 ‘어떤 것’이라는 뜻의 ‘샤이(shay)’라고 불렀다고 해요. 이 말의 첫 글자가 스페인어로 옮겨지며 ‘x’가 되었다는 설이 있어요(다른 의견도 있어요). 확실한 것은 프랑스의 수학자 데카르트가 『기하학』에서 아는 수는 a, b, c로, 모르는 수는 x, y, z로 쓴 뒤로 오늘날 전 세계가 x를 쓰게 되었다는 점이에요.
🔎 실생활에서 일차방정식은 언제 쓰이나요?
마트에서 1,000원짜리 과자 3봉지와 음료수를 사고 5,000원을 냈을 때 음료수 가격을 구하는 상황(3000 + x = 5000)이 바로 일차방정식이에요. 또 택시 요금 계산, 친구들과 더치페이하기, 할인율과 세일 가격 계산 등 일상 속 거의 모든 계산에 쓰입니다.
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 문장을 문자를 써서 식으로 나타낸다. ② 등식의 성질과 이항을 이해한다. ③ 일차방정식을 푼다. ④ 방정식으로 생활 속 문제를 해결한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 2 × 4 + 3 은 얼마일까요?
② 어떤 수에 5를 더해 12가 되면, 그 수는?
① 11 · ② 7. 거꾸로 생각(12−5=7)이 곧 방정식 풀이의 씨앗이에요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 거꾸로 생각하기(역연산)
어떤 수에 5를 더해서 12가 되었다면, 거꾸로 12에서 5를 빼면 7이 나와요. 이처럼 더하기의 반대는 빼기, 곱하기의 반대는 나누기예요. 연산을 거꾸로 되돌리는 ‘역연산’의 원리가 바로 방정식을 푸는 기본 열쇠입니다.
문자로 식 세우기 — 모르는 수에 이름을
모르는 수에 이름을 붙이면 문제가 식이 돼요.
아직 알지 못하는 수를 미지수라고 해요. 보통 알파벳 x를 이름표로 씁니다.
“어떤 수의 2배에 3을 더하면 11”이라는 문장이 있어요. 이것을 2x + 3 = 11로 간단히 적을 수 있어요.
식에서 2x, +3처럼 더하기로 연결된 덩어리를 항이라 해요. 수만 있는 항은 상수항, 문자 앞의 수는 계수예요.
문자가 한 번 곱해진 식을 일차식이라 불러요. 문자의 차수가 1이라는 뜻이에요.
문자와 식에서는 곱셈 기호와 1을 생략해요. 2 × x = 2x, 1 × x = x로 적어요. 나눗셈은 x ÷ 3 = x/3처럼 분수로 나타내요.
문자에 알맞은 수를 넣는 것을 대입이라 해요. 문자와 차수가 같은 동류항끼리는 계수끼리 모아서 더하고 뺍니다.
기억해요 — 모르는 수에 x라는 이름표를 붙이면, 문장이 그대로 식이 된다
🔎 곱셈 기호(×)와 숫자 1은 왜 생략하나요?
문자 x와 곱셈 기호 ×는 모양이 너무 비슷해서 헷갈리기 쉬워요(예: 2 × x와 2xx). 그래서 수학자들은 식을 빠르고 명확하게 쓰기 위해 문자 앞의 곱셈 기호를 생략하기로 약속했어요. 또 1을 곱하면 원래 수 그대로이므로 1x 대신 x라고만 적습니다. 단, −1 × x는 부호를 살려 −x로 씁니다.
🔎 0.1 × x는 왜 0.x가 아니라 0.1x인가요?
0.1에서 1은 자릿수를 나타내는 숫자예요. 1을 지우고 0.x라고 쓰면 수학 기호가 아니라 전혀 다른 의미가 되어버려요. 1을 생략하는 규칙은 오직 숫자 1 하나만 곱해졌을 때(1 × x = x)만 해당하며, 소수나 분수 속의 1은 생략할 수 없습니다.
🔎 「항, 상수항, 계수」가 무슨 말이죠?
2x + 3y − 5라는 식이 있을 때, 덧셈 부호로 나뉘는 덩어리 [2x], [+3y], [−5] 각각을 ‘항’이라 불러요. 그중 문자가 없이 수만 홀로 있는 항 [−5]를 ‘상수항’이라 합니다. 그리고 문자 앞에 곱해진 숫자(x 앞의 2, y 앞의 3)를 문자의 ‘계수’라고 불러요.
🔎 「동류항」끼리만 더하고 뺄 수 있는 까닭은?
사과 3개와 사과 2개를 더하면 사과 5개(3a + 2a = 5a)가 되지만, 사과 3개와 바나나 2개는 합쳐서 ‘사과바나나 5개’라고 부를 수 없어요. 단위가 다르기 때문이에요. 문자도 문자의 종류와 차수가 똑같은 ‘동류항’끼리만 계수를 묶어서 계산할 수 있습니다(분배법칙의 원리).
🔎 문자에 음수를 대입할 때 왜 괄호를 꼭 쳐야 하나요?
x = −3일 때 2x의 값을 구할 때, 괄호 없이 2 − 3이라고 쓰면 곱셈이 뺄셈으로 바뀌어 버려요. 원래는 2 × (−3)이므로 반드시 괄호를 씌워 2(−3) = −6으로 계산해야 부호와 연산 기호가 뒤엉키지 않습니다.
생략 규칙 · 음수 대입 · 괄호 풀기(분배법칙) 주의점
① 생략 규칙: a × b는 ab, 0.1 × x는 0.1x(0.x 아님!), x × x는 x²(차수가 2인 항). ② 음수 대입: 문자에 음수를 대입할 때는 꼭 괄호를 써요(예: x = −2일 때 3x + 1 = 3 × (−2) + 1 = −5). ③ 괄호 풀기(분배법칙): 2(x − 3)은 괄호 앞의 2를 안의 모든 항에 골고루 곱해 2x − 6이 돼요(2x − 3으로 뒷항 곱셈을 빠뜨리지 마세요!).
등식의 성질과 이항 — 저울을 떠올려요
등식은 양팔저울과 같아요.
양쪽에 똑같은 수를 더하거나 빼도 저울은 기울지 않아요. 양쪽에 같은 수를 곱하거나 0이 아닌 수로 나누어도 균형을 지켜요.
이 성질을 이용해 x만 혼자 남기면 답이 나와요.
등호의 한쪽에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 쪽으로 옮기는 것을 이항이라고 해요. 사실은 ‘양변에 같은 수를 더하거나 뺀 것’을 빠르게 줄여 쓴 규칙이에요.
기억해요 — 옮기면 부호가 바뀐다(이항) = 양쪽 저울에 똑같이 하기
🔎 「등식의 네 가지 성질」은 무엇인가요?
등식 A = B가 참일 때: ① 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다(A + c = B + c). ② 양변에서 같은 수를 빼도 성립한다(A − c = B − c). ③ 양변에 같은 수를 곱해도 성립한다(A × c = B × c). ④ 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 성립한다(A ÷ c = B ÷ c). 이 네 가지 원리로 어떤 방정식이든 풀 수 있어요.
🔎 0으로 나누는 것은 왜 안 되나요?
등식의 네 번째 성질에서 반드시 ‘0이 아닌 수로 나눈다’는 조건이 붙어요. 만약 0으로 나눌 수 있다면, 0 × 1 = 0 × 2에서 양변을 0으로 나누어 1 = 2라는 말도 안 되는 결론이 나와버려요. 0으로 나누는 연산은 수학에서 정의되지 않습니다.
🔎 「이항」할 때 부호는 왜 반대로 바뀌나요?
x + 3 = 8에서 좌변의 +3을 없애려면 양변에서 똑같이 3을 빼야 해요(x + 3 − 3 = 8 − 3). 좌변의 +3과 −3은 상쇄되어 사라지고, 우변에는 −3이 새로 생겨나요(x = 8 − 3). 겉으로 보면 +3이 우변으로 넘어가면서 부호가 −3으로 바뀐 것처럼 보이기 때문에 이를 ‘이항’이라고 부르는 것입니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 2x + 3 = 11을 저울로 풀기
① [목표 세우기] 좌변에 x만 홀로 남기는 것이 최종 목표예요. ② [상수항 없애기] 양쪽 저울 접시에서 추 3개를 똑같이 덜어내요: 2x = 11 − 3 = 8. ③ [계수 없애기] x 상자 2개가 8이므로, 양쪽을 똑같이 2로 나누어요: x = 8 ÷ 2 = 4. ④ [검산하기] 구한 x=4를 원래 식에 넣어 2 × 4 + 3 = 11이 맞는지 확인합니다.
기억 그림 · 등식 = 양팔저울
한쪽에서 +3을 덜면 다른 쪽도 똑같이 덜어야 균형. 그것이 ‘이항하면 부호가 바뀐다’의 진짜 뜻이에요.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 이항 공식 탈피, 저울 수평 조절법
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 일차방정식의 이항 원리를 양팔저울의 균형 맞추기(평형 보존)로 풀어냅니다.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
풀이의 길은 여럿 — 같은 답에서 만나요
①이항으로
2x+3=11 → 2x=11−3=8 → x=4. 빠르고 깔끔.
②양변 연산으로
양변 −3, 그다음 ÷2. 원리가 또렷이 보여요.
③거꾸로(역연산)
x에 2 곱하고 3 더해 11 → 거꾸로 11−3=8, ÷2=4.
④검산
x=4를 다시 넣어 2·4+3=11 ✓. 항상 마지막에!
🔎 괄호가 있는 방정식은 어떻게 푸나요?
괄호가 있을 때는 분배법칙을 써서 괄호를 먼저 풀어요. 예를 들어 3(x − 2) = 12라면 괄호 앞의 3을 괄호 안의 모든 항에 곱해 3x − 6 = 12로 바꾼 뒤 이항해요(3x = 18 → x = 6). 만약 우변이 3의 배수라면 양변을 먼저 3으로 나누어 x − 2 = 4로 풀어도 아주 빠릅니다.
🔎 분수나 소수가 있는 방정식은 어떻게 정수로 바꾸나요?
소수가 있으면 소수점 아래 자릿수에 따라 양변에 10, 100 등을 곱해요(0.2x + 0.3 = 1.1 → 2x + 3 = 11). 분수가 있으면 분모들의 ‘최소공배수’를 양변의 모든 항에 골고루 곱해 분모를 모두 없애주면 복잡한 분수 계산 없이 간단한 정수 방정식으로 바뀝니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 활용 문제에서 식 세우는 4단계
① [1단계: 미지수 정하기] 문제에서 구하려는 수량을 x로 놓아요(단위도 함께 확인). ② [2단계: 방정식 세우기] 문제 속 조건에서 서로 ‘같아지는 두 양’을 찾아 등호(=)로 연결해요. ③ [3단계: 방정식 풀기] 괄호 풀기, 이항, 양변 나누기를 통해 x의 값을 구해요. ④ [4단계: 뜻 확인 및 검산] 구한 답이 문제의 조건(자연수인지, 나이나 개수로 알맞은지)에 맞는지 꼭 확인합니다.
🔎 방정식의 해가 무수히 많거나 없는 경우도 있나요?
일차방정식을 정리했을 때 0 × x = 0 꼴이 되면 x에 어떤 수를 넣어도 항상 참이 되므로 ‘해는 모든 수(무수히 많다)’가 돼요(이런 등식을 항등식이라고 해요). 반대로 0 × x = 5 꼴이 되면 좌변은 항상 0인데 우변은 5이므로 절대 같아질 수 없어 ‘해가 없다’가 됩니다.
괄호·분수·소수가 있으면
① 괄호가 있으면 분배법칙으로 먼저 풀어요: 2(x − 3) = 2x − 6 (또는 양변을 2로 먼저 나눠도 돼요). ② 소수·분수가 있으면 양변에 같은 수를 곱해 정수로 바꾼 뒤 풀면 쉬워요: 0.3x + 0.5 = 1.4 → 양변 ×10 → 3x + 5 = 14 → x=3. 분수면 분모의 최소공배수를 양변의 모든 항에 곱해요.
문장제(활용) 식 세우기와 다음 학년
활용 문제는 ① 구하려는 것을 x로 놓기 → ② 같아지는 양을 찾아 방정식 세우기 → ③ 풀기 → ④ 뜻에 맞는지 확인(검산) 순서로 풀어요. 자주 나오는 세 가지 열쇠: [과부족] 학생이 x명일 때 ‘4개씩 주면 3개 남고(4x+3), 5개씩 주면 2개 부족(5x−2)’ → 전체 개수가 같으므로 4x+3 = 5x−2. [거리·속력·시간]거리 = 속력 × 시간, 시간 = 거리 ÷ 속력. [농도]소금의 양 = (농도 ÷ 100) × 소금물의 양. 이 힘은 2학년 연립방정식·일차부등식, 3학년 이차방정식으로 이어져요.
스스로 풀어요 (3단계)
한 번의 이항으로 끝나는 기본 방정식부터.
괄호·분수·소수, 그리고 문장제(연속수·나이)로 올라갑니다.
조건을 식 두 개로 잡아 푸는 활용. ‘남고/모자라고’를 식으로.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 풀이를 ‘x를 혼자 남기기’ 한 가지 목표로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 문장제는 “구하는 것을 x로” 한 문장으로 시작하게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 한 레벨을 5번이고 10번이고, 막힘없이 풀릴 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 주니 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
x 의 값을 구해 보세요. (종이에 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 일차방정식의 풀이와 활용까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1새 연산
두 수 a, b에 대해 a★b = 3a − 2b 로 약속합니다. (x★2) = (2★x) 를 만족하는 x는?
두 자리 자연수의 각 자리 숫자의 합은 12이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수는 원래 수보다 18 큽니다. 원래 수는?
답: 57 십의 자리 숫자를 x라 하면 일의 자리 숫자는 (12−x)입니다. 원래 수는 10x+(12−x)=9x+12, 바꾼 수는 10(12−x)+x=120−9x. 120−9x = (9x+12)+18 → 18x = 90 → x = 5. 일의 자리는 7이므로 원래 수는 57 (확인: 75−57=18)
3농도
8% 소금물 300g에 12% 소금물을 섞어 10% 소금물을 만들려고 합니다. 12% 소금물은 몇 g 넣어야 할까요?
