연 수학 · 중1 — 소인수분해

왜 소인수분해를 배울까?

큰 수도 소수라는 알갱이로 쪼개 보면 그 수의 ‘속’이 환히 보여요. 약분·통분, 최대공약수·최소공배수, 암호까지 — 수를 다루는 거의 모든 곳의 바탕 도구예요. 소인수분해를 익히면 분수 계산이 쉬워지고, 수의 성질을 꿰뚫어 보는 눈이 생겨요.

소인수분해 — 왜 배울까 장면 — 그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 소수와 합성수를 구분한다. ② 자연수를 소인수분해하고 지수로 나타낸다. ③ 소인수분해로 최대공약수·최소공배수를 구한다. ④ 생활 속 ‘똑같이 나누기·동시에 만나기’ 문제를 해결한다.

읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지가 떠오르면 가뿐히 시작할 수 있어요.

① 12의 약수를 모두 말할 수 있나요?

② 2, 3, 5, 7 처럼 1과 자기 자신만 약수인 수를 무엇이라 할까요?

① 1, 2, 3, 4, 6, 12 · ② 소수. 가물가물하면 먼저 약수와 배수를 한 번 보고 와요.

소수와 합성수 — 더 못 쪼개지는 수

수는 곱으로 쪼갤 수 있어요. 6 = 2 × 3 처럼요. 그런데 2, 3, 5, 7 같은 수는 1과 자기 자신 말고는 더 쪼갤 수가 없어요. 이렇게 약수가 딱 둘뿐인 수를 소수라고 해요. 반대로 6, 8, 9처럼 더 쪼개지는 수는 합성수예요. (1은 약수가 하나뿐 — 소수도 합성수도 아니에요.) 기억해요 — 소수 = 1과 자기 자신만 약수인, 더 못 쪼개지는 ‘수의 알갱이’

소수는 수의 ‘원자’예요

모든 자연수는 소수들의 곱으로 단 한 가지 방법으로 쪼개져요(소인수분해의 유일성). 물질이 원자로 이뤄지듯, 수는 소수로 이뤄져요. 그래서 소수를 알면 그 수의 ‘속’이 다 보여요.

1을 소수로 착각하기

1은 약수가 1 하나뿐이라 소수가 아니에요. 또 2는 유일한 짝수 소수랍니다. “짝수는 다 합성수”는 틀린 말이에요.

소인수분해 — 소수의 곱으로

어떤 수를 소수들의 곱으로만 나타내는 것을 소인수분해라고 해요. 큰 수도 작은 소수부터 차례로 나누면 끝까지 쪼개져요. 같은 소수가 여러 번 나오면 지수로 묶어 써요. 예: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. 기억해요 — 작은 소수부터 나눠 내려가며 ‘소수의 나무’를 키운다

📺 영상으로 보기60의 소인수나무가 단계별로 자라요 · 1분 ▶

기억 그림 · 소인수나무

나무가 더 못 자라면(=잎이 모두 소수) 끝! 잎들을 곱으로 모으면 2² × 3 × 5 예요.

최대공약수·최소공배수 — 소수로 한눈에

두 수를 각각 소인수분해해 두면, 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)가 바로 보여요. 24 = 2³×3, 36 = 2²×3² 일 때 — 공통인 소수의 작은 지수만 모으면 최대공약수(2²×3=12), 나오는 소수의 큰 지수를 모으면 최소공배수(2³×3²=72)예요. 기억해요 — 공약수는 ‘겹치는 만큼(작은 지수)’, 공배수는 ‘넉넉히(큰 지수)’

①공통 소수만

두 수에 다 들어 있는 소수를 찾아요. (24·36 → 2와 3)

②최대공약수

공통 소수의 작은 지수를 곱해요. 2²×3 = 12.

③최소공배수

등장한 소수의 큰 지수를 곱해요. 2³×3² = 72.

④검산

GCD × LCM = 두 수의 곱. 12×72 = 24×36 = 864 ✓

또 다른 길 — 짧은 나눗셈(가지치기)

공통으로 나누어지는 소수로 두 수를 동시에 계속 나눠요. 왼쪽에 쌓인 소수들의 곱 = 최대공약수, 바깥 ㄴ자(왼쪽 + 마지막 줄)를 다 곱하면 최소공배수. 소인수분해와 같은 답에서 만나요 — 편한 길을 고르세요.

어디에 쓰일까

최대공약수는 “가장 큰 정사각형으로 자르기·똑같이 나눠 담기”, 최소공배수는 “두 버스가 동시에 출발하는 시각·톱니바퀴가 제자리로” 같은 생활 문제에서 그대로 쓰여요. 2학년 약분·통분의 뿌리이기도 해요.

스스로 풀어요 (3단계)

소인수분해의 뜻부터. 작은 소수(2·3·5)부터 차례로 나눠 보세요.

비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 풀이를 소인수의 지수를 보는 한 가지 눈으로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 최대공약수·최소공배수는 짧은 나눗셈으로도 빠르게 풀 수 있게 길을 함께 두었습니다.

새 문제로 무한 연습

버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 소인수분해·최대공약수·최소공배수가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.

1번째 문제 · 기본

답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)

지금까지 받은 문제: 1

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 완전수·약수의 합·세제곱수·톱니바퀴·분배·소수의 성질까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1약수의 합

28의 모든 약수의 합을 구하세요.

2완전수

자기 자신을 뺀 약수의 합이 자기 자신과 같은 수를 완전수라 합니다. 6은 완전수입니다(1+2+3=6). 그 다음 완전수는?

3약수 개수

2⁴ × 3² × 5 의 약수는 모두 몇 개인가요?

4세제곱수

2² × 3 에 자연수를 곱해 어떤 자연수의 세제곱(□³)으로 만들려고 합니다. 곱하는 가장 작은 자연수는?

5GCD·LCM 관계

두 수의 곱이 432이고 최대공약수가 6일 때, 최소공배수는?

6약수 개수 역

약수가 정확히 5개인 가장 작은 자연수는?

7톱니(LCM)

톱니가 각각 12개, 18개, 30개인 세 톱니바퀴가 맞물려 돕니다. 모두 처음 위치로 돌아오려면 12개짜리 바퀴는 몇 바퀴 돌아야 할까요?

8분배(GCD)

사탕 48개와 초콜릿 60개를 가능한 한 많은 학생에게 남김없이 똑같이 나눠 주려고 합니다. 최대 몇 명에게 줄 수 있나요?

9연속수

연속한 세 자연수의 곱은 항상 어떤 수의 배수일까요? (그런 수 중 가장 큰 것)

10소수 성질

1보다 큰 두 소수의 합이 홀수입니다. 두 소수 중 하나는 반드시 어떤 수인가요?

11소수 분해

두 소수의 곱이 35입니다. 두 소수의 합은?

객관식 진단 퀴즈 — 소인수분해

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 두 수의 최대공약수

첫째 수 24 둘째 수 36

틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

한 장 핵심

1소수 = 1과 자기 자신만 약수인 ‘수의 알갱이’. (합성수는 더 쪼개짐)
2소인수분해 = 작은 소수부터 나눠 소수의 곱으로. 같은 소수는 지수로 묶기.
3최대공약수 = 공통 소수의 작은 지수의 곱.
4최소공배수 = 등장한 소수의 큰 지수의 곱.

이 단원의 말·기호

소수: 1과 자기 자신만 약수인 자연수(2,3,5,7…).
합성수: 약수가 3개 이상인 자연수(더 쪼개짐).
소인수분해: 자연수를 소수들의 곱으로 나타내기.
지수: 같은 수를 곱한 횟수(2×2×2=2³).

내 말로 설명하기

친구에게 알려주듯, ‘소인수분해가 뭔지’ 한 줄로 적어 봐요.

예시 — “소인수분해는 수를 소수라는 알갱이로 끝까지 쪼개 곱으로 쓰는 거야. 60은 2×2×3×5라서 2²×3×5.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?

2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)

3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직

복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5

1번째 복습 2번째 3번째 4번째

어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.

소인수분해

왜 소인수분해를 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

소수와 합성수 — 더 못 쪼개지는 수

소수는 수의 ‘원자’예요

1을 소수로 착각하기

소인수분해 — 소수의 곱으로

📺 60의 소인수분해 — 소수의 나무

최대공약수·최소공배수 — 소수로 한눈에

①공통 소수만

②최대공약수

③최소공배수

④검산

또 다른 길 — 짧은 나눗셈(가지치기)

어디에 쓰일까

스스로 풀어요 (3단계)

새 문제로 무한 연습

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 소인수분해

직접 해보기 — 두 수의 최대공약수

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

왜 소인수분해를 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

소수와 합성수 — 더 못 쪼개지는 수

소수는 수의 ‘원자’예요

1을 소수로 착각하기

소인수분해 — 소수의 곱으로

최대공약수·최소공배수 — 소수로 한눈에

①공통 소수만

②최대공약수

③최소공배수

④검산

또 다른 길 — 짧은 나눗셈(가지치기)

어디에 쓰일까

스스로 풀어요 (3단계)

새 문제로 무한 연습

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 소인수분해

직접 해보기 — 두 수의 최대공약수

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

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