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중학교 1학년 · 도형과 측정
YEON MATH · GRADE 7

기본 도형

점·선·면·각 · 맞꼭지각 · 평행선의 동위각·엇각

왜 기본 도형을 배울까?

점·선·각은 모든 도형의 알파벳이에요. 건축·디자인·지도의 밑바탕이 됩니다. 그림 속 숨은 각을 줄줄이 찾을 수 있어요.

도형 증명과 다각형으로 가는 첫 계단이에요. 기본 성질만 알면 누구나 쉽게 풀어요.

🔎 「도형의 기본 요소」가 왜 점·선·면인가요?

점이 연속해서 움직이면 선이 생겨요.

선이 나란히 움직이면 면이 만들어집니다.

그래서 점, 선, 면을 모든 도형의 기본 재료라고 불러요.

🔎 실생활에서 평행선과 각은 어디에 쓰이나요?

기차 철길과 횡단보도는 나란한 평행선이에요.

다리를 놓거나 건물을 지을 때 각을 정확히 잽니다.

기울지 않고 튼튼하게 세우기 위해 각 성질을 꼭 써요.

기본 도형 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 점·선·면·각을 이해하고 각의 크기를 다룬다. ② 보각·여각·맞꼭지각을 안다. ③ 평행선의 동위각·엇각으로 각을 구한다. ④ 도형 속 여러 각을 차례로 찾는다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지가 머릿속에 있으면 좋아요.

① 직각은 몇 도일까요?
② 일직선(평각)은 몇 도일까요?
① 90° · ② 180°. 이 두 기준만 있으면 보각·여각이 술술 풀려요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 평각과 직각의 차이

직각은 반듯하게 서 있는 90° 각이에요.

평각은 곧은 직선을 이루는 180° 각입니다.

평각 180°는 직각 90°가 꼭 두 개 모인 크기예요.

점·선·면, 그리고 각

도형의 기본 재료는 점·선·면이에요. 점이 모여 선이 되고, 선이 모여 면이 돼요. 두 점을 곧게 이은 가장 짧은 선이 선분이에요. 한쪽으로 끝없이 뻗으면 반직선이에요. 양쪽으로 끝없이 뻗으면 직선입니다. 한 점에서 뻗은 두 반직선이 벌어진 정도가 각이에요. 각의 크기는 도(°)로 잽니다. 직각(90°)으로 만나면 수직이라 해요. 각을 반으로 똑같이 나누는 선은 각의 이등분선이에요. 기억해요 — 각 = 두 반직선이 벌어진 정도. 직각 90°, 평각 180°가 자(尺)
🔎 「선분, 반직선, 직선」은 어떻게 다른가요?

선분은 두 점 사이를 곧게 이은 선이에요. 길이가 딱 정해져 있어요.

반직선은 한 점에서 시작해 한쪽으로만 끝없이 뻗어요.

직선은 양쪽 두 방향으로 끝없이 곧게 뻗는 선이에요.

🔎 「각의 이등분선」이 무슨 말이죠?

하나의 각을 정확히 반으로 둘로 나누는 반직선이에요.

예를 들어 80° 각의 한가운데로 이등분선을 그으면 40°씩 똑같이 나뉘어요.

좌우가 꼭 맞닿도록 반으로 접는 선이라고 생각하면 쉬워요.

🔎 「수직」과 「수선의 발」이 무슨 말이죠?

두 직선이 만나서 이루는 각이 직각(90°)일 때 수직이라고 해요.

점 P에서 직선에 수직으로 그은 선이 직선과 만나는 점을 수선의 발이라고 불러요.

수선의 발까지의 길이가 점과 직선 사이의 가장 짧은 거리가 됩니다.

기억 그림 · 보각과 여각 두 각의 합 180° 일직선 = 보각 합 180° 직각 = 여각 합 90°
두 각의 합이 180°(평각)이거나 90°(직각)인 성질을 써요. 예전에는 이를 보각과 여각이라고 불렀답니다.
🔎 「보각」과 「여각」은 쉽게 어떻게 구별하나요?

더해서 일직선 180°가 되는 짝꿍 각이 보각이에요.

더해서 직각 90°가 되는 짝꿍 각이 여각입니다.

70°의 보각은 110°(180−70)이고, 70°의 여각은 20°(90−70)예요.

🔎 평각 180°에서 왜 두 각의 합이 180°가 되나요?

곧은 일직선 위에 한 점을 찍고 선을 그으면 두 각으로 나뉘어요.

두 각을 합치면 원래의 곧은 일직선(평각 180°)이 돼요.

그래서 한 각의 크기를 알면 180°에서 빼서 남은 각을 바로 구해요.

📺📺 영상으로 보기맞꼭지각은 같다▶
🔎 맞꼭지각은 왜 크기가 항상 같을까요?

두 직선이 교차하면 마주 보는 두 각 ∠a와 ∠c가 생겨요.

∠a와 그 옆 각의 합은 일직선이라 180°예요. ∠c와 그 옆 각의 합도 180°입니다.

180°에서 똑같은 옆 각을 빼고 남았으니, ∠a와 ∠c의 크기는 언제나 같아요.

🔎 두 직선이 만날 때 왜 맞꼭지각이 2쌍 생기나요?

두 직선이 가위처럼 만나면 모두 4개의 각이 생겨요.

위와 아래가 마주 보아 1쌍, 왼쪽과 오른쪽이 마주 보아 또 1쌍이에요.

그래서 두 직선이 만나면 항상 2쌍의 맞꼭지각이 만들어집니다.

평행선과 각 — 동위각·엇각

한 직선이 두 평행선을 가로지르면 여러 각이 생겨요. 위·아래 같은 위치의 동위각은 서로 같아요. 안쪽에서 엇갈려 마주 보는 엇각도 서로 같아요. 이 성질로 복잡한 도형 속 각을 줄줄이 찾아요. 기억해요 — 평행선에서는 동위각도, 엇각도 ‘서로 같다’
🔎 「동위각」이 무슨 말이죠? (F자 모양 찾기)

동위각은 두 직선에서 ‘서로 같은 위치’에 놓인 각이에요.

알파벳 F자 모양을 떠올리면 쉽게 찾을 수 있어요.

두 직선이 평행하면 위쪽 F 모서리 각과 아래쪽 F 모서리 각의 크기가 같아요.

🔎 「엇각」이 무슨 말이죠? (Z자 모양 찾기)

엇각은 두 직선의 안쪽에서 서로 ‘엇갈린 위치’에 있는 각이에요.

알파벳 Z자 모양(또는 번개 모양)의 꺾인 구석을 찾으면 돼요.

두 직선이 평행할 때 Z자의 안쪽 두 모서리 각의 크기는 서로 똑같아요.

🔎 「동측내각(같은 쪽 안쪽 각)」의 합은 왜 180°인가요?

평행선 안쪽에서 같은 쪽에 있는 두 각을 동측내각이라고 해요.

위쪽 각의 동위각을 아래로 옮기면, 아래쪽 각과 나란히 일직선(평각)을 이뤄요.

일직선은 180°이므로, 같은 쪽 안쪽 두 각을 더하면 언제나 180°가 됩니다.

🔎 평행선 사이에 꺾인 선이 있을 때 왜 보조선을 긋나요?

선이 뾰족하게 꺾여 있으면 동위각이나 엇각을 바로 쓰기 어려워요.

꺾인 점을 지나면서 원래 직선들과 나란한 평행 보조선을 하나 그어요.

그러면 위쪽 엇각과 아래쪽 엇각 두 개로 나뉘어 더하기만 하면 바로 풀려요.

①맞꼭지각

두 직선이 만날 때 마주 보는 각. 항상 같음.

②보각·여각

일직선이면 합 180°(보각), 직각이면 합 90°(여각).

③동위각

평행선에서 같은 위치의 각. 서로 같음.

④엇각

평행선에서 엇갈린 안쪽 각. 서로 같음.

왜 맞꼭지각과 엇각이 같을까 · 꺾인 각 보조선

① 맞꼭지각: ∠a와 옆 각은 합이 180°예요. 맞은편 ∠c도 옆 각과 합이 180°입니다. 같은 각을 빼고 남으니 ∠a = ∠c예요.
② 엇각과 안쪽 각: 평행선에서 동위각과 맞꼭지각이 같아 엇각끼리도 항상 같아요. 같은 쪽 안쪽 두 각은 합이 항상 180°입니다.
③ 꺾인 각 보조선: 선이 꺾인 곳에 평행 보조선을 그어요. 위·아래 엇각 두 개로 나누어 더하면 쉽게 풀립니다.

평행이 아니면 같지 않아요

동위각·엇각이 같은 건 두 직선이 평행할 때만이에요. 평행하지 않으면 같지 않아요. 반대로 동위각(또는 엇각)이 같으면 두 직선은 평행이에요.

스스로 풀어요 (3단계)

직각·평각·보각·여각, 맞꼭지각의 뜻부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 각 문제를 ‘일직선=180°’와 ‘평행=같은 각’ 두 도구로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 복잡한 그림은 평행 보조선 한 줄로 풀리게 했습니다.

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 점·선·면·각의 위치 관계와 평행선까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1시계 각
시계가 4시 정각을 가리킬 때, 시침과 분침이 이루는 작은 각의 크기는?
2보조선
평행한 두 직선 사이의 한 점 P에서 두 직선과 각각 25°, 35°를 이룰 때, ∠P의 크기는?
3맞꼭지각 쌍
한 점에서 만나는 서로 다른 세 직선에 의해 생기는 맞꼭지각은 모두 몇 쌍인가요?
4보각·여각
두 각이 보각이고, 그중 한 각의 여각이 30°일 때, 다른 한 각의 크기는?
5시침 속도
시계의 시침은 1분에 몇 도 움직이나요?
6평각 분할
평각을 5등분 한 각 하나의 크기는?
7각의 이등분
∠AOB = 80°이고 OC가 ∠AOB를 이등분할 때, ∠AOC의 크기는?
8평각 비
두 각의 합이 평각이고 한 각이 다른 각의 4배일 때, 작은 각의 크기는?
9각의 비
한 점을 중심으로 평면 전체(한 바퀴 360°)를 2 : 3 : 4의 비로 세 각으로 나눌 때, 가장 큰 각은?
10평각 6시
시계가 6시 정각을 가리킬 때, 시침과 분침이 이루는 각의 크기는?
11맞꼭지각 방정식
맞꼭지각인 두 각이 (3x−10)°와 (2x+30)°일 때, x는?

객관식 진단 퀴즈 — 기본도형

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 보각 찾기

한 각 50 °
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

기본 도형에서 자주 틀리는 세 가지

도형 문제를 풀 때 학생들이 가장 자주 빠지는 함정 세 가지예요. 이것만 주의해도 실수가 확 줄어듭니다.

① 반직선의 시작점과 방향 헷갈리기 — 선분 AB와 선분 BA는 같은 선분이지만, 반직선은 시작점이 기준이에요. 반직선 AB는 A에서 출발해 B 쪽으로 가고, 반직선 BA는 B에서 출발하므로 전혀 다른 반직선입니다.
② 평행하지 않은 선에서 동위각·엇각 같다고 하기 — 동위각과 엇각은 평행하지 않아도 위치에 따라 부를 수 있어요. 하지만 그 크기가 서로 같은 것은 오직 두 직선이 평행할 때만 성립합니다!
③ 꺾인 선에서 맞꼭지각 공식 잘못 쓰기 — 맞꼭지각은 반드시 두 곧은 직선이 한 점에서 교차할 때만 생겨요. 한 선이 꺾여 있거나 세 개 이상의 선이 만날 때는 마주 보인다고 해서 맞꼭지각이 아닙니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 꺾인 선에서 각 찾는 3단계

1단계: 꺾인 뾰족한 점을 찾아요.

2단계: 그 점을 지나고 위아래 직선과 평행한 보조선을 한 줄 그어요.

3단계: 위쪽 엇각과 아래쪽 엇각을 각각 찾아 더해 줍니다.

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

선분·반직선·직선
두 점을 곧게 이은 선이 선분이에요. 한쪽으로 뻗은 선이 반직선입니다. 양쪽으로 뻗은 선은 직선이에요.
각·이등분선·수직
두 반직선이 이루는 도형이 각이에요. 각을 반으로 나누면 각의 이등분선입니다. 90°로 만나면 수직이라고 해요.
맞꼭지각
두 직선이 만날 때 마주 보는 각(같음).
동위각
평행선에서 같은 위치의 각.
엇각
평행선에서 엇갈린 안쪽 각.

내 말로 설명하기

맞꼭지각이 왜 같은지 한 줄로?

예시 — “∠a와 옆 각은 일직선이라 합이 180°, ∠c도 그 옆 각과 180°. 같은 걸 빼니 ∠a=∠c.”

재미있는 수학 이야기 영상

문명과 수학 2부 그리스, 원론
수학사 이야기

문명과 수학 2부 그리스, 원론

⏱️ 상영시간: 46분 05초
유클리드의 원론을 통해 논리와 증명이 지배했던 피타고라스 시대와 수학적 탐구

🎬 이야기 영상 보러 가기 (새 창)

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학

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눈을 감아요

방금 배운 기본 도형의 각을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
각(180°·90°) → 맞꼭지각 → 동위각·엇각
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

이 교과서를 내 기기에 담아둘까요?
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