① 우주 로켓의 이동 일량: 거리별 중력 F(r)=GMm/r²의 정적분 W = ∫_{r₁}^{r₂} (GMm/r²)dr로 로켓이 한 일의 양을 계산해요.
② 제트 엔진 흡기구 부피: 단면 곡선을 1회전시킨 회전체 부피 V=π∫ r(x)² dx로 최적 공기 유입량을 구합니다.
③ 신약 약효 지속시간(AUC): 시간별 혈중 농도 C(t)의 정적분으로 체내 총 약효 면적을 분석해요.
④ 현수교 케이블 길이: 지수함수로 이어진 케이블 곡선의 길이를 정적분하여 강철 와이어 규격을 설계합니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요.
① 삼각·지수·로그함수의 부정적분을 계산해요.
② 치환적분법으로 합성 꼴의 적분을 간단히 풀어요.
③ 부분적분법으로 곱해진 두 초월함수를 해결해요.
④ 넓이와 회전체의 부피(π∫y²dx), 곡선의 길이를 구해요.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·심화 연결. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
다항함수 적분과 초월함수 미분 공식을 떠올려 봐요.
① 다항함수의 부정적분 ∫(3x² + 2x) dx 와 정적분 ∫₀¹ 3x² dx 의 값은?
② 앞 단원에서 배운 (sin x)′, (eˣ)′, (ln|x|)′ 의 도함수는 각각 무엇인가요?
① 부정적분은 x³ + x² + C 이고, 정적분은 [x³]₀¹ = 1 입니다. · ② (sin x)′ = cos x, (eˣ)′ = eˣ, (ln|x|)′ = 1/x 입니다. 이 미분 공식을 거꾸로 뒤집는 것이 바로 초월함수 적분의 출발점입니다!
1. 여러 가지 함수의 적분 — 초월함수 적분 도구 확장
다항함수 공식은 n = −1일 때 쓸 수 없었어요.
하지만 (ln|x|)′ = 1/x을 거꾸로 돌리면 해결돼요.
∫(1/x) dx = ln|x| + C로 모든 거듭제곱 적분이 완성됩니다.
🔎 1/x 의 적분에는 왜 ln|x| 가 나오나요?
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C에 n = −1을 넣으면 분모가 0이 돼요.
대신 앞서 배운 로그함수의 도함수 (ln|x|)′ = 1/x을 이용합니다.
미분을 거꾸로 뒤집어 자연로그 ln|x| + C가 유도돼요.
지수함수는 ∫eˣ dx = eˣ + C로 그대로 보존돼요.
밑이 a이면 ln a로 나눠 ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C가 됩니다.
🔎 왜 지수함수 aˣ 적분은 ln a 로 나누나요?
aˣ을 미분할 때는 (aˣ)′ = aˣ ln a로 ln a가 곱해졌어요.
적분은 미분의 역연산이므로 반대로 ln a로 나누어 줍니다.
그래야 미분했을 때 \ln a가 약분되어 원래 aˣ만 남기 때문이에요.
삼각함수 역시 도함수 공식을 거꾸로 읽어 구해요.
🔎 삼각함수 적분 부호는 왜 헷갈릴까요?
미분할 때는 (cos x)′ = −sin x로 코사인을 미분할 때 마이너스가 붙었어요.
적분은 그 반대예요. ∫sin x dx = −cos x + C로 사인을 적분할 때 마이너스가 붙습니다.
결과를 거꾸로 미분해 원래 부호가 나오는지 확인하는 습관을 들이세요.
핵심 암기 — ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫sec² x dx = tan x + C, ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫(1/x) dx = ln|x| + C🔎 「한 걸음씩 다시 보기」 — 삼각함수 변형 적분과 지수함수 적분 예제
① tan²x의 적분:tan²x는 바로 적분 공식이 없으므로 삼각함수 항등식 1 + tan²x = sec²x를 이용해 ∫tan²x dx = ∫(sec²x − 1)dx = tan x − x + C로 바꿉니다.
② sin²x, cos²x의 적분: 반각 공식 sin²x = (1 − cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2로 차수를 1차로 낮춘 뒤 적분합니다.
③ 지수함수 2ˣ의 적분:(2ˣ)′ = 2ˣ ln 2이므로, 거꾸로 적분하면 ∫2ˣ dx = 2ˣ/(ln 2) + C입니다.
실용 그림 ① · 삼각함수 제곱 적분의 대칭성과 직사각형 분할
sin² x 와 cos² x 는 y = 1/2 선을 기준으로 정확히 대칭을 이루어 합치면 직사각형 1 × (π/2) 가 되므로, 각각의 정적분 넓이는 정확히 그 절반인 π/4 가 됩니다.
실용 그림 ② · 지수함수 감쇠 곡선의 구간 [0, a] 정적분 넓이
감쇠하는 지수함수 y = e⁻ˣ를 구간 [0, a]에서 정적분하면 넓이는 1 − e⁻ᵃ가 됩니다. 오른쪽 끝 a가 한없이 커지면 e⁻ᵃ → 0이 되어 누적 넓이는 1에 한없이 가까워집니다.
왜 1/x 의 적분에는 절댓값 기호 ln|x| 가 반드시 붙을까?
피적분함수 f(x) = 1/x 은 x ≠ 0 인 모든 실수에서 정의됩니다. 만약 x < 0 이라면 로그의 진수 조건(진수는 양수)을 만족하지 못하므로, 음수 구간에서도 도함수가 1/x 이 되도록 ln(-x) 를 미분하면 1/(-x) · (-1) = 1/x 로 일치합니다. 따라서 양수와 음수를 한 번에 아우르기 위해 절댓값 ln|x| + C 를 쓰는 것입니다.
"cos x 를 적분하면 -sin x 다?" — 부호 혼동 탈출 비책
미분에서는 (cos x)' = -sin x 로 마이너스가 붙지만, 적분은 그 역연산이므로 ∫cos x dx = +sin x + C 이고, ∫sin x dx = -cos x + C 입니다! 항상 "이 결과를 미분하면 원래 식의 부호가 나오는가?"를 1초간 역검산하는 습관을 들이세요.
반각 공식을 이용한 삼각함수 거듭제곱 적분법
∫sin² x dx 나 ∫cos² x dx 는 직접 적분할 수 없으므로, 삼각함수의 덧셈정리에서 유도된 반각 공식sin² x = (1 - cos 2x)/2 을 대입하여 ∫(1 - cos 2x)/2 dx = x/2 - (sin 2x)/4 + C 로 단숨에 해결합니다.
분수함수의 표준 분해: f'(x)/f(x) 꼴의 마법
분수식에서 분자가 분모의 도함수인 꼴은 ∫(f'(x)/f(x)) dx = ln|f(x)| + C 로 바로 풀립니다. 예컨대 tan x = sin x / cos x = -(cos x)' / cos x 이므로 ∫tan x dx = -ln|cos x| + C = ln|sec x| + C 가 유도됩니다.
📺📺 영상으로 보기회전체의 부피▶
📺 움직이는 개념 — 회전체의 부피
곡선을 회전시켜 생긴 입체를 얇은 원판으로 쌓아 적분해요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
그 우선순위가 바로 로그함수(로) > 다항함수(다) > 삼각함수(삼) > 지수함수(지)입니다.
왼쪽에 있는 함수를 미분할 대상 f(x)로 지정하면 계산이 아주 쉬워져요.
기억해요 — 치환적분은 '미분된 조각이 옆에 붙어 있을 때', 부분적분은 '다항·삼각·지수·로그가 서로 곱해져 있을 때(로·다·삼·지)' 사용합니다!🔎 「한 걸음씩 다시 보기」 — 부분적분 대표 예제: ∫ ln x dx 와 ∫ x eˣ dx
① ∫ln x dx 구하기: 보이지 않는 숫자 1이 곱해져 있다고 보고 f(x) = ln x, g′(x) = 1로 둡니다. 그러면 f′(x) = 1/x, g(x) = x이므로 ∫ln x dx = x ln x − ∫(1/x)·x dx = x ln x − x + C입니다.
② 정적분 ∫₀¹ x eˣ dx 구하기: '로다삼지' 순서에 따라 다항함수 f(x)=x, 지수함수 g′(x)=eˣ로 두면 [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1입니다.
실용 그림 ③ · 치환적분의 직관: 자 눈금의 변환 (Scaling the Ruler)
치환적분은 구불구불 왜곡된 x 축의 눈금을 미분 배율 g'(x) 를 곱해 반듯하고 균일한 u 축의 눈금으로 펴주는 '눈금 변환의 마법'입니다.
실용 그림 ④ · 부분적분의 기하학적 직사각형 면적 분할 증명
큰 직사각형 넓이 u₂v₂에서 왼쪽 아래 작은 직사각형 넓이 u₁v₁을 뺀 [uv]ₐᵇ = u₂v₂ − u₁v₁은 영역 A(∫v du)와 영역 B(∫u dv)의 합과 같습니다. 따라서 ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du가 기하학적으로 증명됩니다.
부분적분에서 누가 미분할 함수 f(x)가 되어야 할까? — '로다삼지' 순서
부분적분을 성공하려면 미분했을 때 식이 더 간단해지는 함수를 f(x) 로 두고, 적분하기 쉬운 함수를 g'(x) 로 두어야 합니다. 그 우선순위가 바로 '로·다·삼·지'입니다: 로그함수(로) > 다항함수(다) > 삼각함수(삼) > 지수함수(지)
왼쪽에 있는 함수일수록 f(x)(미분할 대상)로 지정하면 적분이 물 흐르듯 풀립니다!
정적분 치환 시 적분 구간을 u의 값으로 바꾸지 않아 틀리는 실수
부정적분에서는 마지막에 다시 x 로 되돌려놓으면 되지만, 정적분 ∫ₐᵇ f(g(x))g'(x)dx 에서는 x = a ⇒ u = g(a), x = b ⇒ u = g(b) 로 적분 구간도 반드시 u의 범위 [g(a), g(b)] 로 갈아타야 합니다. 구간을 바꾸면 나중에 x 로 되돌아올 필요가 없어 계산이 훨씬 깔끔해집니다.
2회 연속 부분적분 지름길: 도표적분법 (Tabular Integration)
∫x² eˣ dx 처럼 부분적분을 2회 이상 연속으로 반복해야 할 때는 표를 만들어 풉니다. 왼쪽 열에 미분할 함수 x² → 2x → 2 → 0 을 0이 될 때까지 미분해 적고, 오른쪽 열에 적분할 함수 eˣ → eˣ → eˣ → eˣ 를 적은 뒤, 대각선으로 부호 + - + 를 교대로 곱해 더하면 x² eˣ - 2x eˣ + 2eˣ + C 가 바로 나옵니다!
정적분으로 정의된 초월함수의 미분: d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)
미적분Ⅰ에서 배운 미적분의 기본정리는 초월함수에서도 그대로 성립합니다. 함수 F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt가 주어지면, 첫째로 위끝·아래끝이 같아지는 x = a를 대입해 F(a) = 0을 얻고, 둘째로 양변을 x로 미분해 F′(x) = f(x)를 구하여 함수 F(x)의 극대·극소를 바로 판정합니다.
3. 정적분의 활용 — 두 곡선 사이의 넓이·부피·곡선의 길이
두 곡선 사이의 넓이는 위에서 아래를 빼서 구해요.
교점을 찾은 뒤 절댓값 S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx를 적분해요.
🔎 두 곡선 사이의 넓이는 왜 위에서 아래를 빼나요?
넓이는 항상 0 이상의 양수가 되어야 해요.
위쪽에 있는 곡선 f(x)의 아래쪽 전체 넓이에서,
아래쪽에 있는 곡선 g(x)의 넓이를 쏙 빼주면 두 선 사이에 갇힌 순수 면적이 남습니다.
단면적 S(x)를 적분하면 3차원 부피 V = ∫ₐᵇ S(x) dx가 돼요.
x축 회전체는 단면이 원판이므로 V = π ∫ₐᵇ y² dx입니다.
🔎 회전체 부피 공식에 왜 π y² 이 들어가나요?
곡선을 x축 둘레로 뱅글 돌리면 단면이 동그란 원판이 돼요.
이 원판의 반지름이 바로 곡선의 높이인 y = f(x)입니다.
원의 넓이 공식 \pi r^2 = \pi y^2에 두께 dx를 곱해 끝없이 쌓아 올린 부피예요.
🔎 y축 둘레로 회전시킬 때는 어떻게 하나요?
y축 둘레로 돌리면 원판의 반지름이 가로 길이 x가 돼요.
식도 x = g(y) 꼴로 바꾸어 y에 대해 적분합니다.
공식은 V = π ∫ x² dy로 바뀝니다.
곡선의 길이는 피타고라스 정리로 구해요.
미소 빗변을 모아 L = ∫ₐᵇ √(1 + {f′(x)}²) dx로 잽니다.
🔎 곡선의 길이 공식은 왜 피타고라스 정리인가요?
곡선을 현미경으로 아주 크게 확대하면 미세한 직선 조각들이 돼요.
가로 dx, 세로 dy인 직각삼각형의 빗변은 ds = √(dx² + dy²)입니다.
dx를 근호 밖으로 묶어내면 \sqrt{1 + (y')^2} dx가 되어 적분식이 유도돼요.
기억해요 — 넓이는 ∫|위 - 아래| dx, 회전체 부피는 π ∫y² dx, 곡선의 길이는 ∫√(1 + (y')²) dx🔎 「한 걸음씩 다시 보기」 — 두 곡선 사이의 넓이와 역함수 정적분의 기하 해법
① 두 곡선 사이의 넓이 3단계 (예: y=eˣ, y=1, x=1): 1단계로 교점을 구하면 eˣ = 1 ⇒ x = 0이므로 적분 구간은 [0, 1]입니다. 2단계로 구간 [0, 1]에서 eˣ ≥ 1이므로 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺍니다. 3단계로 적분하면 S = ∫₀¹ (eˣ − 1)dx = [eˣ − x]₀¹ = e − 2입니다.
② 역함수의 정적분 공식: 증가하는 연속함수 y = f(x)와 그 역함수 y = g(x)에 대하여 ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫_{f(a)}^{f(b)} g(x)dx는 x축 쪽 넓이와 y축 쪽 넓이를 합친 것이므로, 큰 직사각형 넓이에서 작은 직사각형 넓이를 뺀 b·f(b) − a·f(a)와 같습니다.
실용 그림 ⑤ · 회전체 부피 원판법 (Disk Method 3D 투영)
곡선을 x 축 둘레로 돌리면 단면은 반지름 y 인 완벽한 원판이 됩니다. 원판의 넓이 π y² 에 미소 두께 dx 를 곱한 미소 부피를 연속해서 더하면 회전체의 부피가 구해집니다.
실용 그림 ⑥ · 곡선의 길이와 피타고라스 미소 증분 삼각형
곡선을 현미경으로 들여다보면 무수한 미소 직각삼각형들의 빗변 ds = √(dx² + dy²) 으로 이루어져 있습니다. dx 를 밖으로 묶어내면 L = ∫√(1 + (y')²) dx 공식이 자연스럽게 완성됩니다.
단면적 S(x)의 적분에서 회전체 부피 공식 유도하기
x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는 단면적에 두께 dx를 곱해 모은 V = ∫ₐᵇ S(x) dx입니다. 만약 단면이 정사각형이면 S(x) = {f(x)}²을 적분하고, 곡선을 회전시켜 단면이 반지름 y=f(x)인 원이 되면 S(x) = πy²을 대입하여 V = π ∫ₐᵇ y² dx가 됩니다.
"y축 둘레로 회전시키는데 x로 적분했다?" — 회전축과 적분 변수의 일치
도형을 y 축 둘레로 회전시킬 때는 단면 원판의 반지름이 x 가 되고 두께가 dy 가 되므로, 식을 x = g(y) 로 바꾼 뒤 V = π ∫x² dy 로 y 에 관해 적분해야 합니다! 회전축의 방향을 반드시 확인하세요.
정적분과 함수의 평균값 (Mean Value of Function)
구간 [a, b] 에서 함수 f(x) 의 평균값은 1/(b-a) ∫ₐᵇ f(x)dx 로 구합니다. 굴곡진 산과 골짜기의 흙을 파내어 평평하게 고른 평탄화 높이와 같습니다. 교류 전압의 평균이나 일일 평균 기온을 측정할 때 표준으로 사용됩니다.
미적분의 큰 그림: 쪼개기와 모으기의 완벽한 대칭
미분(쪼개어 변화율 보기)과 적분(모아서 누적량 보기)이 서로 역이라는 미적분의 기본정리가 과학과 공학을 지배합니다. 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도가 되고, 역으로 가속도를 적분하면 속도, 속도를 적분하면 총 이동 거리가 됩니다. 변화와 누적은 동전의 앞뒷면입니다.
스스로 풀어요 (3단계 · 기본 7 · 상위권 7 · 최상위 6)
삼각·지수로그 기본 적분과 1차 합성 치환적분부터. 공식을 거꾸로 적용해요.
치환적분·부분적분·두 곡선 사이 넓이·정적분 함수 미분. 로다삼지 원리를 적용해요.
회전체 부피·곡선의 길이·역함수의 정적분·신약 AUC 실생활 응용. 킬러 문항 정복.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 적분은 미분을 거꾸로 떠올리면 공식이 보여요. 「더 간결하게」: 복잡하면 치환(미분 조각이 옆에 붙어있는가?) 먼저, 서로 다른 종류 곱이면 부분적분(로다삼지)으로 길을 정해요.
객관식 진단 퀴즈 — 적분법
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 정적분 ∫₀ᵃ 3b·x² dx = [b·x³]₀ᵃ
적분 위끝 a 2계수 배율 b 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
자주 틀리는 다섯 가지
사인·코사인 적분 부호를 미분과 반대로 헷갈리지 마세요 — 미분은 (cos x)′ = −sin x이지만, 적분은 ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C예요.
∫(1/x) dx에서 진수 절댓값과 적분상수 C를 빠뜨리지 마세요 — x < 0인 구간까지 포함하려면 반드시 ln|x| + C로 써야 해요.
정적분 치환적분에서 적분 구간 [a, b]를 [g(a), g(b)]로 꼭 바꾸세요 — 변수만 u로 바꾸고 구간을 x 값 그대로 두면 엉뚱한 값이 나와요.
부분적분에서 미분할 함수 f(x)는 '로·다·삼·지' 순서로 고르세요 — 로그함수와 다항함수는 미분할수록 간단해지고, 삼각함수와 지수함수는 적분하기 쉬워요.
회전체 부피 공식 V = π ∫ₐᵇ y² dx에서 앞의 π와 제곱(y²)을 잊지 마세요 — 단면이 반지름 y인 원이므로 넓이는 πy²이에요.
한 장 핵심
1초월함수의 부정적분: 미분의 역연산. ∫cos x dx = sin x + C, ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫(1/x) dx = ln|x| + C. 왜? 역방향 미분으로 원래 식을 회복하는 기본 규칙.
2치환적분법 (u=g(x)): 피적분함수 속에 g'(x) 가 곱해져 있을 때, 자의 눈금을 du = g'(x)dx 로 바꾸어 단순 직사각형 적분으로 변환. 정적분은 구간도 [g(a), g(b)] 로 변경.
3부분적분법 (∫u v' dx = uv - ∫v u' dx): 곱의 미분법 역연산이자 직사각형 전체 면적 uv 에서 상단 면적 ∫v du 를 빼는 기하학적 면적 분할. 미분 대상 우선순위는 '로·다·삼·지'.
4기하학적 적분의 확장: 넓이는 ∫|위 - 아래| dx, x축 회전체 부피는 원판 적층 V = π ∫y² dx, 곡선의 길이는 피타고라스 미소 빗변 누적 L = ∫√(1 + (y')²) dx.
이 단원의 말·기호
치환적분법 (Integration by Substitution)
합성함수의 미분법을 역이용하여 피적분함수의 일부를 새로운 변수 u로 치환하고, 미분 눈금 dx를 du로 바꾸어 계산하는 적분법.
부분적분법 (Integration by Parts)
두 함수의 곱의 미분법을 역이용하여 ∫f g' dx = fg - ∫f' g dx 공식으로 복잡한 곱 꼴의 적분을 간단한 적분으로 바꾸는 방법.
입체도형의 부피 (Volume by Cross Sections)
x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 S(x)를 구간 [a, b]에서 적분하여 구한 부피: V = ∫ₐᵇ S(x)dx.
회전체의 부피 (Volume of Revolution)
평면도형을 한 직선(회전축)을 중심으로 360° 회전시켜 생기는 입체의 부피로, x축 회전 시 단면 원판의 넓이를 모아 V = π ∫y² dx 로 구함.
곡선의 길이 (Arc Length)
평면 곡선 위의 미소 구간에 피타고라스 정리를 적용한 빗변 ds = √(dx² + dy²) 을 정적분하여 구한 선분의 실제 길이: L = ∫√(1 + (y')²) dx.
정적분의 평균값 (Mean Value of Function)
함수 f(x) 의 곡선 아래 총면적을 밑변의 길이로 나눈 값: 1/(b-a)∫ₐᵇ f(x)dx (평탄화된 평균 높이).
로다삼지 (LIATE Rule)
부분적분 시 미분할 함수 f(x)를 고르는 우선순위 규칙 (로그함수 > 다항함수 > 삼각함수 > 지수함수).
AUC (Area Under Curve)
시간에 따른 약물 농도 곡선의 정적분 넓이로, 체내에 흡수된 총 약물량을 나타내는 의약학 필수 지표.
내 말로 설명하기 (파인만 챌린지)
① 회전체의 부피가 왜 π ∫y² dx 인지, 그리고 ② 치환적분에서 왜 dx를 반드시 du로 바꾸어야 하는지 설명해 봐요.
예시 — 1) 곡선 y=f(x)를 x축 둘레로 회전하면 각 x에서 축에 수직인 단면은 반지름이 y인 원이 됩니다. 그 원판 하나의 넓이는 πy²이고, 두께는 아주 미세한 dx이므로 미소 원판의 부피는 πy²dx가 됩니다. 이 원판들을 구간 [a, b]에 걸쳐 적분으로 차곡차곡 쌓아 올리면 전체 회전체의 부피 V = π∫y²dx가 완성됩니다. 2) 치환적분에서 u = g(x)로 변수를 바꿀 때, x의 1단위와 u의 1단위는 길이가 다릅니다. x 눈금 dx는 u 눈금에서 du = g'(x)dx라는 미분 배율 관계를 가지므로, 적분 변수 dx를 du/g'(x)로 올바르게 치환해 주어야 면적의 왜곡 없이 정확한 계산이 이루어집니다.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요. 그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요거의복습 필요아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “치환할 수 있는 도함수가 옆에 곱해져 있니?”, “미분할 함수로 로·다·삼·지 중 무엇을 골라야 할까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
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눈을 감아요
방금 배운 적분법을 머릿속에 천천히 그려 봐요. 삼각·지수·로그 적분 → 치환적분(u로) → 부분적분(∫fg′=fg−∫f′g) → 넓이·부피 떠오르는 만큼만, 괜찮아요.
떠오르는 동안 잠시 기다려요…
이 교과서를 내 기기에 담아둘까요? 언제든 오프라인으로 보고, 친구에게도 나눠줄 수 있어요.
