인공지능은 여러 층을 거치며 답을 찾아요. 출력 오차를 줄이려 단계별 변화율을 곱합니다. 합성함수 미분법을 사용하는 핵심 기술이에요.
② 우주선의 속도와 가속도 (이계도함수)
위치를 한 번 미분하면 속도가 됩니다. 두 번 미분하면 가속도가 돼요. 가속도를 알아야 궤도를 안전하게 제어해요.
③ 약물의 혈중 농도 변화 (지수함수 미분)
몸속 약물 농도는 지수함수로 변해요. 도함수가 0인 순간을 찾으면 약효가 가장 강한 시각을 알 수 있습니다.
④ 도로의 부드러운 곡선 설계 (변곡점)
고속도로 나들목은 변곡점을 계산해요. 차가 갑자기 쏠리지 않도록 부드러운 곡선으로 설계합니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요.
① 몫의 미분법과 초월함수의 도함수를 유도하고 계산해요.
② 합성함수 연쇄법칙과 로그·음함수·역함수 미분법을 익혀요.
③ 이계도함수 f″(x)로 오목·볼록과 변곡점을 판정해요.
④ 극값과 최댓값·최솟값, 평면 운동의 속도와 가속도를 구해요.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
다항함수 미분과 삼각함수 성질을 떠올려 봐요.
① 다항함수의 곱 y = f(x)g(x)를 미분하는 곱의 미분법 공식은?
② 삼각함수에서 tan x를 sin x와 cos x의 분수로 나타내면? 그리고 sin²x + cos²x의 값은?
① (f(x)g(x))′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) (앞미분×뒤 + 앞×뒤미분) · ② tan x = sin x / cos x이고, sin²x + cos²x = 1입니다. 이 두 성질로 분수 꼴 삼각함수의 도함수를 유도합니다.
1. 몫의 미분법과 초월함수의 도함수 — 미분의 영토 확장
분수 꼴의 함수를 미분하는 공식을 몫의 미분법이라 해요.
두 함수 f(x), g(x)가 미분가능하고 분모가 0이 아닐 때 써요.
(f/g)′ = (f′g − fg′) / g² , (1/g)′ = −g′ / g²
🔎 「몫의 미분법」이 무슨 말이죠?
나눗셈의 결과를 '몫'이라고 불러요.
분수로 나타낸 함수 f(x)/g(x)는 나눗셈 식입니다.
그래서 이 분수식을 미분하는 공식에 '몫'이라는 이름이 붙었답니다.
삼각함수의 역수를 나타내는 새 기호 셋을 약속해요.
csc x = 1/sin x, sec x = 1/cos x, cot x = 1/tan x입니다.
도함수의 정의에 의해 (eˣ)′ = lim (eˣ⁺ʰ − eˣ)/h = eˣ lim (eʰ − 1)/h 입니다. 자연상수 e의 정의 자체가 lim_{h→0} (eʰ − 1)/h = 1이 되도록 약속된 특별한 수이기 때문에, 극한값이 정확히 1이 되어 도함수가 자기 자신 e^x으로 보존됩니다.
몫의 미분법에서 분자 부호 순서 착각
곱의 미분 (fg)′ = f′g + fg′ 은 덧셈이므로 순서가 바뀌어도 상관없지만, 몫의 미분은 뺄셈입니다: (f′g − fg′) / g² . 순서를 뒤집어 fg' - f'g로 계산하면 부호가 정반대가 되어 오답이 됩니다. 반드시 "분자 먼저 미분(f'g) 빼기 분모 미분(fg')"으로 기억하세요!
곱의 미분법과 음의 지수를 결합한 몫의 미분 유도
f/g = f · g⁻¹로 놓고 곱의 미분법을 적용하면:
(f · g⁻¹)′ = f′g⁻¹ − f g⁻² g′ = (f′g − fg′)/g² .
곱의 미분과 합성함수 미분만으로도 몫의 미분이 자연스럽게 유도됩니다.
소리굽쇠와 그네의 진동 — 두 번 미분하면 부호가 바뀌는 삼각함수
y = sin x를 한 번 미분하면 cos x, 한 번 더 미분하면 -sin x가 되어 원래 함수에 마이너스 부호가 붙습니다. 용수철이나 그네처럼 중심에서 멀어질수록 반대 방향으로 당기는 힘(복원력)이 작용하는 모든 진동 운동은 이 성질 덕분에 삼각함수로 설명됩니다.
📺📺 영상으로 보기연쇄법칙(Chain Rule)의 메커니즘▶
📺 움직이는 개념 — 연쇄법칙의 메커니즘
x → u → y 로 이어지는 중간 단계의 미분계수들을 연속해서 곱해요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
2. 연쇄법칙과 역함수·음함수·매개변수 미분법
합성함수는 겉함수 미분 × 속함수 미분으로 구해요.
이것을 연쇄법칙(Chain Rule)이라고 부릅니다.
dy/dx = (dy/du) · (du/dx) = f′(g(x)) · g′(x)
🔎 「연쇄법칙」이 왜 사슬(Chain)인가요?
x가 변하면 먼저 u가 변해요.
그 다음 u가 변하면서 최종 y가 변합니다.
변화가 사슬처럼 이어져 각 단계의 변화율을 곱하기 때문에 연쇄법칙이라 해요.
이 원리로 다양한 형태의 함수를 쉽게 미분해요.
① 로그미분법: 복잡한 식은 양변에 ln을 취해 미분해요.
② 매개변수 미분법: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = g′(t)/f′(t)입니다.
① 한 번 미분: f′(x) = 3x² - 6x
② 두 번 미분(이계도함수): f″(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)
③ x < 1에서는 f″(x) < 0이므로 위로 볼록하고, x > 1에서는 f″(x) > 0이므로 아래로 볼록합니다.
④ x = 1에서 f″(1) = 0이고 좌우에서 부호가 음(−)에서 양(+)으로 바뀌므로, 변곡점의 좌표는 (1, 2)입니다.
레일이 휘어지는 방향이 바뀌는 변곡점을 부드럽게 이어야 탑승자가 안전하게 달릴 수 있습니다.
왜 f″(c) < 0 일 때 극대가 될까?
f'(c) = 0이라는 것은 접선이 수평이라는 뜻입니다. 이때 f''(c) < 0이면 도함수 f'(x)가 그 점 부근에서 감소 중이라는 뜻입니다. 즉, x < c에서는 f'(x) > 0(오르막)이었다가 x = c에서 0이 되고, x > c에서는 f'(x) < 0(내리막)으로 바뀌므로 봉우리의 정상인 극댓값이 됩니다.
f″(c) = 0 이라고 무조건 변곡점으로 단정하는 실수
f''(c) = 0이라고 해서 무조건 변곡점인 것은 아닙니다! 예를 들어 f(x) = x⁴은 f''(0) = 0이지만, x=0 좌우에서 f''(x) = 12x² ≥ 0으로 부호가 바뀌지 않고 계속 아래로 볼록이므로 변곡점이 아닙니다. 반드시 좌우에서 f″(x)의 부호가 바뀌는지 확인해야 합니다.
접선의 기울기가 가장 가파른 지점이 바로 변곡점!
f″(x)는 도함수 f′(x)의 도함수입니다. 따라서 f″(c) = 0이고 좌우에서 부호가 바뀌는 변곡점은 접선의 기울기 f′(x)가 극댓값 또는 극솟값을 갖는 지점, 즉 곡선이 가장 가파르게 오르거나 내려가는 지점과 일치합니다.
성장 곡선에서 증가 속도가 꺾이는 변곡점
새로운 기술의 보급이나 생물의 개체 수 성장은 처음에는 점점 빨라지다가(아래로 볼록, f'' > 0), 어느 순간부터 증가 속도가 완만해집니다(위로 볼록, f'' < 0). 이 전환점이 바로 일상에서도 자주 쓰는 '변곡점'이라는 말의 수학적 유래입니다.
예제 2 (평면 운동의 속력): 시각 t에서의 위치가 x = t², y = 2t인 점 P의 t=1에서의 속도와 속력을 구해 봅시다. dx/dt = 2t, dy/dt = 2이므로 t=1에서 속도는 (2, 2)이고, 속력은 √(2² + 2²) = 2√2입니다.
[실물 시각화 7] 평면 곡선 운동의 속도·가속도 벡터 분해
속도 벡터는 진행 방향을 가리키고, 가속도 벡터는 궤적이 굽어지는 안쪽을 향합니다.
[실물 시각화 8] 접선을 이용한 함숫값의 일차 근사
곡선을 접점 주변에서 크게 확대하면 접선과 거의 같아진다는 미분의 핵심 성질입니다.
왜 속도 벡터의 크기가 실제 물체의 이동 속력이 될까?
짧은 시간 Δt 동안 물체는 가로로 Δx, 세로로 Δy만큼 이동합니다. 피타고라스 정리에 의해 실제 이동 거리는 Δs = √((Δx)² + (Δy)²)입니다. 양변을 Δt로 나누고 Δt → 0 극한을 취하면 속력 공식 √((dx/dt)² + (dy/dt)²)이 얻어집니다.
속도와 속력, 가속도와 가속도의 크기 구별
문제에서 "속도를 구하라"고 하면 순서쌍 (dx/dt, dy/dt)를 적어야 하고, "속력을 구하라"고 하면 크기인 실숫값 √((dx/dt)² + (dy/dt)²)을 구해야 합니다. 가속도와 가속도의 크기 역시 마찬가지이므로 문제의 용어를 정확히 확인하세요.
접선의 방정식으로 가까운 함숫값 어림하기
점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y = f(a) + f'(a)(x-a)입니다. x가 a에 아주 가까울 때는 곡선과 접선의 높이가 거의 같으므로, 복잡한 초월함수의 값도 접선 식에 대입해 빠르게 어림할 수 있습니다.
스마트폰 센서와 평면·공간 운동의 미분
스마트폰 내부의 가속도 센서는 기기가 움직일 때 가로·세로·높이 축의 가속도를 실시간으로 측정합니다. 이 신호를 바탕으로 사용자가 걸었는지, 화면을 회전했는지를 정확하게 알아냅니다.
스스로 풀어요 (3단계 20제 완전정복)
곱의 미분·초월함수(지수, 로그, 삼각) 도함수와 이계도함수 공식을 확실하게 체화합니다.
몫의 미분법, 연쇄법칙, 음함수·역함수 미분법과 평면 속력을 정확히 계산합니다.
초월함수 극대·극소, 변곡점 판정, 로그미분법, 오목볼록 구간 분석 킬러 문항을 돌파합니다.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 미분은 어떤 함수인지 보고 맞는 공식을 고르면 됩니다. 「더 간결하게」: 합성함수는 겉미분 × 속미분 연쇄법칙 한 흐름으로 통일하세요. 안쪽 속미분을 곱하는 것을 절대 잊지 마세요!
객관식 진단 퀴즈 — 미분법
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — f(x) = x³ + bx의 미분계수와 접선 기울기
접점 x좌표 a 2일차항 계수 b -3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 개념 원리를 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
자주 틀리는 다섯 가지
몫의 미분법에서 분자의 순서를 바꾸지 마세요 — (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²에서 분자는 반드시 분자 미분 × 분모 − 분자 × 분모 미분 순서예요. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 돼요.
합성함수 미분에서 속미분을 빼먹지 마세요 — (sin 3x)′ = 3cos 3x, (e²ˣ)′ = 2e²ˣ처럼 안쪽 식을 미분한 값을 반드시 곱해야 해요.
일반 지수함수 aˣ를 미분할 때 ln a를 잊지 마세요 — (2ˣ)′ = x·2ˣ⁻¹이 아니라 (2ˣ)′ = 2ˣ ln 2예요. 밑이 e일 때만 ln e = 1이라 자기 자신이 돼요.
역함수 미분 (f⁻¹)′(b)에 b를 그대로 넣지 마세요 — 1/f′(b)가 아니라, f(a) = b를 만족하는 x좌표 a를 먼저 찾아 1/f′(a)를 계산해야 해요.
f″(a) = 0이라고 무조건 변곡점은 아니에요 — f(x) = x⁴은 f″(0) = 0이지만 좌우에서 f″(x) > 0으로 부호가 바뀌지 않으므로 변곡점이 아니에요.
6이계도함수f″(x) > 0 아래로 볼록, f″(x) < 0 위로 볼록, 부호 바뀌면 변곡점.
이 단원의 말·기호
몫의 미분법 (Quotient Rule)
분수 꼴 함수의 도함수 공식 (f′g − fg′) / g².
연쇄법칙 (Chain Rule)
합성함수에서 각 단계의 변화율을 연속으로 곱하는 미분법.
음함수 미분법 (Implicit Differentiation)
y가 x의 식으로 정리되지 않은 방정식에서 양변을 x로 미분하는 방법.
역함수 미분법 (Inverse Function Derivative)
역함수의 도함수가 원래 함수 도함수의 역수가 되는 성질.
이계도함수 (Second Derivative)
도함수를 한 번 더 미분한 함수 f″(x), 곡선의 굽은 방향(오목·볼록)을 결정.
변곡점 (Inflection Point)
곡선의 오목과 볼록이 서로 바뀌는 점 (f″=0이고 부호 교차).
내 말로 설명하기
합성함수를 미분할 때 왜 안쪽 속함수의 미분을 반드시 곱해주어야 하는지 설명해 봐요.
예시 — 톱니바퀴 세 개를 상상해 보세요. 첫 번째 바퀴 x가 1바퀴 돌 때 두 번째 바퀴 u가 2바퀴 돌고(du/dx = 2), 두 번째 바퀴가 1바퀴 돌 때 세 번째 바퀴 y가 3바퀴 돈다면(dy/du = 3), 첫 번째 바퀴가 1바퀴 돌 때 세 번째 바퀴는 2×3 = 6바퀴 돌게 됩니다(dy/dx = 6). 합성함수도 마찬가지로 x의 미세한 변화가 속함수 g(x)를 거치며 g′(x)배로 증폭된 뒤, 겉함수 f에 들어가 f′배로 다시 증폭되므로 두 변화율을 곱해야 참된 전체 변화율이 됩니다.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요. 그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요거의복습 필요아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 미분법 공식이 쏟아져 나와 아이가 혼란스러워할 때 “세상의 모든 곡선을 자와 컴퍼스 없이 수식 하나로 분석하는 위대한 현미경을 손에 쥐는 과정이란다” 하고 격려와 성취감을 북돋아 주세요.
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눈을 감아요
방금 배운 미분법을 머릿속에 천천히 그려 봐요. 몫의 미분법 → 초월함수 도함수 → 연쇄법칙과 역함수 미분 → 이계도함수와 변곡점 떠오르는 만큼만, 괜찮아요.
떠오르는 동안 잠시 기다려요…
이 교과서를 내 기기에 담아둘까요? 언제든 오프라인으로 보고, 친구에게도 나눠줄 수 있어요.
