미분하여 f(x)가 되는 함수를 부정적분이라 해요. 기호로는 ∫f(x)dx = F(x) + C와 같이 써요. 이때 C를 적분상수라고 불러요.
다항함수의 부정적분 공식은 ∫xⁿ dx = 1/(n+1) xⁿ⁺¹ + C예요. 차수를 1 키우고 그 지수로 나눠요.
기억해요 — 부정적분은 미분의 역연산! 차수를 1 키우고 그 지수로 나눈 뒤 +C를 꼭 붙인다왜 적분을 배울까?
적분은 잘게 쪼갠 조각을 쌓아 더하는 도구예요. 곡선 아래의 넓이, 움직인 거리, 누적된 변화량을 구합니다. 미분이 쪼개어 순간을 보는 일이라면 적분은 모아 전체를 복원하는 일이에요. 서로 정반대이자 단짝인 두 연산은 물리·공학·통계의 핵심이 됩니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 부정적분이 미분의 역연산임을 이해하고 다항함수를 적분한다. ② 정적분의 뜻과 기본 성질, 미적분의 기본정리 F(b)−F(a)를 활용한다. ③ 정적분으로 정의된 함수를 미분하고 곡선 사이의 넓이를 구한다. ④ 속도를 적분해 위치의 변화량(변위)과 실제 이동 거리를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 미분하여 도함수가 2x가 되는 원래 함수는 무엇일까요?
② 휘어진 곡선 아래의 넓이는 어떤 도형으로 채워 어림할까요?
① x²+C (상수항은 미분하면 0이 되므로 어떤 상수든 올 수 있어요) · ② 폭이 좁은 직사각형들로 채워 더합니다. 한없이 잘게 쪼갤수록 정확한 넓이(정적분)가 돼요.
부정적분 — 미분의 거꾸로
🔎 「부정적분」에서 '부정'은 무슨 뜻인가요?
부정적분(不定積分)의 '부정(不定)'은 틀렸다는 뜻이 아니라, 하나로 정해지지 않는다는 뜻이에요.
상수항은 미분하면 모두 0이 되어 사라지기 때문에, 거꾸로 적분할 때는 뒤에 붙는 상수 C가 어떤 숫자인지 하나로 정할 수 없어요. 그래서 '정해지지 않은 적분'이라는 뜻으로 부정적분이라고 부른답니다.
🔎 왜 상수항 자리마다 적분상수 C를 붙이고, 지수에 1을 더한 값으로 나눌까요?
(x²)′=2x, (x²+3)′=2x처럼 상수항은 미분하면 모두 0이 되어 사라져요. 그래서 거꾸로 적분할 때는 정해지지 않은 상수 C를 붙여 모든 원시함수를 나타냅니다.
또 미분할 때 (xⁿ⁺¹)′ = (n+1)xⁿ이 되므로, 거꾸로 적분할 때는 차수를 1 키운 뒤 (n+1)로 나누어 약분되게 맞춘 것이에요.
다항식의 덧셈·뺄셈·실수배는 항마다 따로 적분해요. 예를 들어 ∫(3x²−4x+5)dx = x³−2x²+5x+C입니다.
🔎 적분 기호 ∫ 와 dx는 어떻게 읽고 무슨 뜻인가요?
∫(인테그랄)은 합을 뜻하는 라틴어 Summa의 첫 글자 S를 길게 늘인 기호예요.
가운데의 f(x)는 피적분함수라 부르고, 끝의 dx는 'x를 적분변수로 하여 적분한다'는 뜻입니다.
왜 미분을 거꾸로 하면 적분상수 C가 붙을까?
초당 2m씩 올라간 속도만 안다고 해 봐요. 3초 동안 6m 올라간 사실은 알 수 있어요. 하지만 몇 층에서 출발했는지는 알 수 없지요. 미분할 때 사라진 출발 위치를 열어 둔 자리가 적분상수 C예요. 한 점의 함숫값을 알면 C가 하나로 정해진답니다.기하학적 관점 — 적분상수 C는 그래프의 위아래 평행이동
함수 f(x)=2x의 부정적분은 F(x)=x²+C예요. 좌표평면에 그리면 똑같은 포물선들이 위아래로 평행이동한 모양이에요. 어느 높이에서나 같은 x에서의 접선 기울기가 똑같기 때문이랍니다.적분상수 C 빠뜨리기 & 적분과 미분 순서 혼동
부정적분 답에는 항상 +C를 붙여야 해요. 미분 후 적분하면 끝에 +C가 붙어요. 반면 적분 후 미분하면 상수가 사라져 원래 함수 그대로 나온답니다.🔎 상세 설명 보기 — 적분변수가 x가 아닐 때 주의할 점
dx, dt, dy처럼 d 뒤에 적힌 문자가 진짜 적분변수입니다. 예를 들어 ∫2xt dt는 적분변수가 t이므로 x는 상수 취급하여 xt²+C가 됩니다. 반대로 ∫2xt dx = x²t+C가 됩니다.
부정적분의 선형성 — 항마다 따로 적분해도 되는 이유
덧셈과 뺄셈, 실수배는 항마다 따로 적분해요. 각 항에서 나오는 상수들을 하나로 모아 맨 끝에 +C만 적어 주면 돼요.🔎 미분과 적분을 연달아 할 때 순서에 따라 왜 결과가 다른가요?
적분하고 나서 미분할 때: 마지막에 미분을 하므로 상수가 사라져서 원래 함수 f(x)가 그대로 나와요. d/dx(∫f(x)dx) = f(x)예요.
미분하고 나서 적분할 때: 마지막에 부정적분을 하므로 끝에 적분상수 +C가 꼭 붙어야 해요. ∫(d/dx f(x))dx = f(x) + C랍니다.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 조각(2x·dx)을 모아 넓이(x²)를 복원하는 적분과 적분상수 C
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 미분(x² → 2x)의 역과정으로서 테두리 조각(2x dx)들을 다시 모아 원래 정사각형 넓이(x²+C)를 복원하는 부정적분의 원리와 적분상수 C의 정체를 알아봅니다. (출처: 깨봉수학 「미적분의 본질」 · 정승제 강사 「문제적 남자 미적분」)
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📺📺 영상으로 보기넓이를 직사각형으로▶
📺 움직이는 개념 — 넓이를 직사각형으로
곡선 아래를 직사각형으로 채우고, 잘게 쪼갤수록 정확한 넓이가 돼요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
정적분 — 넓이로 읽는 적분
구간의 양 끝 함숫값의 차 F(b)−F(a)를 정적분이라 해요. 기호로는 ∫(a~b) f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)라 써요. 이를 미적분의 기본정리라고 불러요.
아래에 적은 a를 아래끝, 위에 적은 b를 위끝이라 해요. 정적분은 부호가 있는 순변화량이에요. f(x) ≥ 0일 때 곡선 아래 넓이와 같아요.
적분 구간에 x가 들어 있는 식을 미분하면 d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)가 돼요.
기억해요 — 정적분 = F(b)−F(a)는 부호 있는 순변화량! 대칭 구간에선 홀수차 항이 0, ∫ₐˣ f(t)dt를 미분하면 f(x)🔎 「정적분」과 「부정적분」의 가장 큰 차이는 무엇인가요?
부정적분은 미분의 역연산으로 얻어지는 함수(F(x)+C)예요.
정적분은 아래끝 a와 위끝 b라는 구간이 정해져서, 계산 결과가 딱 떨어지는 하나의 값(실수)이에요.
정적분에서는 양 끝값을 대입해 서로 빼므로 적분상수 C가 사라져 적을 필요가 없답니다.
🔎 정적분의 기본 성질(구간 나누기)과 우함수·기함수 대칭 구간 성질은 무엇인가요?
① 정적분의 기본 성질과 구간 나누기: 위끝과 아래끝이 같으면 ∫ₐᵃ f(x)dx = 0이고, 위아래끝을 바꾸면 ∫_b^a f(x)dx = −∫ₐᵇ f(x)dx가 돼요. 또 이웃한 구간은 ∫ₐᶜ f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx로 합치거나 쪼갤 수 있습니다.
② 대칭 구간 [−a, a] (우함수·기함수): 짝수차 항·상수항(우함수, y축 대칭)은 좌우가 같아 ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx이고, 홀수차 항(기함수, 원점 대칭)은 부호가 반대라 상쇄되어 ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0이 됩니다.
예제: ∫₋₂² (3x³−3x²+5x−1)dx에서 홀수차 항 3x³, 5x를 지우면 2∫₀² (−3x²−1)dx = −20으로 단번에 풀려요!
🔎 정적분으로 정의된 함수 「∫₁ˣ f(t)dt = x² − 3x + k」는 어떻게 푸나요?
∫ₐˣ f(t)dt = F(x)−F(a)를 미분하면 상수 F(a)는 0이 되고 F′(x)=f(x)만 남아요.
열쇠 ① 위끝에 아래끝과 같은 값 대입 (x=1): 좌변이 ∫₁¹ f(t)dt = 0이므로 우변 1−3+k = 0에서 k = 2를 얻습니다.
열쇠 ② 양변을 x로 미분: 좌변은 f(x), 우변은 2x−3이 되어 f(x) = 2x−3을 바로 구합니다.
왜 넓이 함수를 미분하면 원래 함수 f(x)가 될까?
구간의 넓이 조각을 생각해 봐요. 가로가 Δx 늘어날 때 넓이는 얇은 직사각형만큼 늘어나요. 극한을 취하면 넓이의 변화율이 높이 f(x)가 돼요. 그래서 넓이 함수를 미분하면 원래 함수가 된답니다.정적분에서는 왜 적분상수 C를 쓰지 않을까?
위끝과 아래끝을 대입하여 빼면 C − C = 0이 돼요. 적분상수 C가 저절로 사라져요. 그래서 정적분 계산에는 C를 쓰지 않는답니다.아래끝 대입 시 괄호 부호 실수 & 상수 정적분 미분 함정
아래끝 값을 뺄 때는 식 전체에 괄호를 쳐야 해요. 부호 실수를 가장 조심해야 해요. 위아래끝이 모두 상수인 정적분을 미분하면 0이 돼요.구간이 쪼개진 정적분을 하나로 합치는 비법
함수가 똑같을 때는 구간을 하나로 이을 수 있어요. 앞 적분의 위끝과 뒤 적분의 아래끝이 같으면 한 번에 계산해요.🔎 미적분의 기본정리는 왜 수학 역사상 가장 위대한 발견인가요?
옛날 수학자들은 곡선 아래 넓이를 구하려고 수많은 직사각형으로 쪼개어 더하는 엄청나게 힘든 계산을 해야 했어요.
뉴턴과 라이프니츠는 '넓이를 구하는 것(적분)'이 '기울기를 구하는 것(미분)'의 정반대 과정임을 발견했어요. 그래서 부정적분의 끝값 차이 F(b) - F(a) 하나만으로 넓이를 순식간에 구할 수 있게 되었답니다.
기억 그림 · 미적분의 기본정리
미분과 적분은 서로 역연산이에요. f를 적분하면 F, F를 미분하면 f — 정반대 두 연산이 한 짝을 이뤄요.
정적분의 활용 — 넓이와 거리
곡선과 x축 사이의 넓이는 언제나 양수예요. 그래서 식에 절댓값을 씌워 구해요. S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx
두 곡선 사이의 넓이는 ‘위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀 값’을 적분해요. S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx
속도를 그대로 적분하면 위치의 변화량(변위)이 돼요. 반면 속력을 적분하면 실제로 걸어간 이동 거리 s = ∫ₐᵇ |v(t)| dt가 나온답니다.
기억해요 — 넓이는 ∫|f(x)|dx (x축 아래는 − 붙이기), 이동 거리는 ∫|v(t)|dt (방향 바뀌는 시각에서 구간 나누기!)🔎 곡선의 넓이를 구할 때 왜 절댓값을 씌우나요?
정적분은 x축 아래에 있는 부분의 계산 결과가 음수(−)로 나와요. 하지만 현실의 넓이는 음수가 될 수 없고 언제나 양수(+)여야 하지요.
그래서 x축 아래로 내려간 부분은 부호를 뒤집어 양수로 만들어 주어야 해요. 이를 수학 기호로 나타낸 것이 바로 절댓값 |f(x)|이랍니다.
🔎 x축 아래로 내려가는 곡선의 넓이와 방향이 바뀌는 이동 거리는 어떻게 계산하나요?
1. 부호 반전 넓이 예제: 구간 [0, 3]에서 y = x²−2x와 x축 사이의 넓이를 구할 때, 교점 x=2를 기준으로 [0, 2]는 x축 아래(y ≤ 0), [2, 3]은 x축 위(y ≥ 0)예요. 따라서 구간을 쪼개어 S = ∫₀² −(x²−2x)dx + ∫₂³ (x²−2x)dx = 4/3 + 4/3 = 8/3이 됩니다.
2. 운동 방향 반전 이동 거리 예제: 속도 v(t) = 2t−4일 때 t=0부터 t=3까지의 변위는 ∫₀³ (2t−4)dt = −3이에요. 하지만 실제 이동 거리는 v(t)=0인 t=2에서 구간을 나누어 ∫₀² −(2t−4)dt + ∫₂³ (2t−4)dt = 4 + 1 = 5가 됩니다.
🔎 두 곡선 사이의 넓이 계산 예제 & 6분의 공식
예제 (포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이): 포물선 y = x²−1과 직선 y = x+1의 교점은 x²−x−2 = (x+1)(x−2) = 0에서 x = −1, 2예요.
구간 [−1, 2]에서 직선이 포물선보다 위에 있으므로 S = ∫₋₁² (−x²+x+2)dx = 9/2입니다.
이차함수 넓이 공식: 두 교점 α, β에서 만날 때 넓이는 S = |a|/6 · (β−α)³ = 1/6 · 3³ = 9/2로 빠르게 검산돼요!
①부정적분
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C. 항마다 적분 후 +C 필수.
②정적분과 성질
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a). 대칭 구간 [−a,a]에선 기함수가 0.
③정적분 함수 미분
d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x), 위끝에 x=a 대입하면 0.
④넓이와 거리
넓이 = ∫|f|dx, 변위 = ∫v dt, 이동 거리 = ∫|v|dt.
왜 두 곡선이 x축 아래에 있어도 (위 함수 − 아래 함수)를 적분하면 넓이가 될까?
두 곡선을 똑같이 위로 평행이동해도 넓이는 변하지 않아요. 두 식을 뺄 때 이동한 높이가 저절로 지워지기 때문이에요. 그래서 언제나 위쪽 식에서 아래쪽 식을 빼면 넓이가 나와요.속도-시간(v-t) 그래프의 넓이로 위치와 이동 거리 한눈에 읽기
속도 그래프가 직선일 때는 도형의 넓이로 풀면 쉬워요. 축 위쪽 넓이에서 아래쪽 넓이를 빼면 변위가 돼요. 둘을 더하면 실제 이동 거리가 된답니다.넓이·이동 거리에서 교점(부호 바뀌는 점) 확인 안 하고 통째로 적분하기
곡선이 x축과 만나는 교점을 먼저 찾아야 해요. 교점을 확인하지 않고 통째로 적분하면 음수와 양수가 상쇄되어 오답이 나와요.미적분의 기본정리가 바꾼 과학의 역사
미적분의 기본정리는 인류 과학을 크게 바꿨어요. 복잡한 넓이와 이동 거리를 끝값의 차이 하나로 단번에 계산할 수 있게 되었답니다.🔎 위치의 변화량(변위)과 이동 거리는 일상에서 어떻게 다른가요?
앞으로 5m 걸어갔다가 뒤로 3m 돌아왔다고 상상해 보세요.
위치의 변화량(변위)은 처음 출발점에 비해 지금 어디에 있는가예요. 5 − 3 = +2m만큼 앞에 서 있지요.
이동 거리는 내 다리가 실제로 걸어간 전체 걸음 수예요. 5 + 3 = 8m를 걸은 것이랍니다.
스스로 풀어요 (3단계 · 20문항)
부정적분·기본 정적분·대칭 구간 기함수 정적분까지. ∫xⁿdx 공식을 차근차근 익혀요.
적분에서 자주 틀리는 다섯 가지
- ① 부정적분의 적분상수 C 빠뜨리기: 부정적분에는 반드시 +C를 붙여야 해요. 반면 정적분은 계산 중에 상수가 지워지므로 쓰지 않아요.
- ② 아래끝 값을 뺄 때 부호 실수하기: 아래끝 함숫값이 다항식이면 전체에 괄호를 쳐서 빼야 해요. 마이너스 부호 분배 실수가 가장 흔해요.
- ③ x축 아래를 그냥 적분하기: 넓이는 항상 양수예요. x축 아래로 내려간 구간은 마이너스(−) 부호를 붙여 양수로 바꿔 적분해요.
- ④ 변위와 이동 거리 혼동하기: 변위는 속도를 그대로 적분한 값이에요. 이동 거리는 속도가 0이 되는 순간에서 구간을 나누어 계산해요.
- ⑤ 상수 정적분의 미분 혼동하기: 위끝이 x인 정적분을 미분하면 f(x)가 나와요. 하지만 위아래끝이 모두 상수이면 미분했을 때 0이 돼요.
🔎 상세 설명 보기 — 시험 직전 10초 오답 방지 점검표
점검 1: 대칭 구간 [−a, a]가 보이면 무작정 부정적분부터 구하지 말고, 홀수차 항(기함수)부터 먼저 지웠는지 확인하세요.
점검 2: ∫ₐˣ f(t)dt = (다항식) 꼴의 항등식이 나오면 ① 양변에 x=a 대입하기(0=…), ② 양변을 x로 미분하기 두 단계를 세트처럼 떠올리세요.
🔎 이차함수와 직선이 둘러싼 넓이 공식 (6분의 공식)은 언제 쓸 수 있나요?
포물선과 직선이 만나는 두 교점을 α, β라고 할 때 쓸 수 있어요.
공식은 S = |a|/6 · (β - α)³이에요. 여기서 a는 이차항의 계수예요. 일일이 부정적분을 계산하지 않고도 두 교점의 차이만으로 넓이를 빠르게 구할 수 있어 검산에 매우 유용하답니다.
객관식 진단 퀴즈 — 적분
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 정적분(넓이)
위끝 a 2 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1부정적분 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n은 음이 아닌 정수). 미분의 역연산이며 적분상수 +C 필수.
- 2정적분과 기본정리 ∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b)−F(a). 대칭 구간 [−a,a]에서 기함수는 0, 우함수는 2∫₀ᵃ f(x)dx.
- 3정적분으로 정의된 함수와 넓이: d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x). 곡선과 x축 사이 넓이 = ∫ₐᵇ |f(x)|dx, 두 곡선 사이 넓이 = ∫ₐᵇ |f(x)−g(x)|dx.
- 4속도와 거리: 속도를 적분하면 위치의 변화량(변위) = ∫ₐᵇ v(t)dt, 속력을 적분하면 실제 이동 거리 = ∫ₐᵇ |v(t)|dt.
이 단원의 말·기호
- 부정적분
- 미분하면 f(x)가 되는 함수 F(x)+C예요. 원시함수라고도 불러요.
- 적분상수 C
- 상수를 미분하면 0이 돼요. 그래서 거꾸로 적분할 때 모든 상수 가능성을 열어 두는 기호예요.
- 피적분함수와 적분변수
- 적분 기호 안의 함수를 피적분함수라 해요. dx의 x를 적분변수라 불러요.
- 정적분
- 부정적분의 양 끝 함숫값의 차 F(b)−F(a)예요. 부호가 있는 순변화량을 뜻해요.
- 아래끝·위끝
- 정적분 기호의 아래에 쓴 숫자를 아래끝, 위에 쓴 숫자를 위끝이라 해요.
- 미적분의 기본정리
- 미분과 적분이 서로 역연산임을 밝힌 정리예요. 끝값의 차이만으로 정적분을 쉽게 구하게 해 줘요.
- 우함수·기함수의 정적분
- 대칭 구간에서 원점 대칭인 기함수는 정적분이 0이 돼요. y축 대칭인 우함수는 절반 구간의 2배가 돼요.
- 정적분으로 정의된 함수
- 구간에 변수 x가 들어 있는 함수예요. x로 미분하면 피적분함수가 나와요.
- 위치의 변화량(변위)
- 속도를 그대로 정적분한 값이에요. 처음 출발점에 비해 얼마나 이동했는지를 나타내요.
- 이동 거리(움직인 거리)
- 실제로 걸어간 전체 거리를 뜻해요. 방향과 상관없이 속력을 적분하여 구해요.
내 말로 설명하기
정적분이 왜 F(b)−F(a)로 구해지는지 설명해 봐요.
예시 — 곡선 아래 넓이를 잘게 쪼개 더하는 일은 어렵지만, 미적분의 기본정리 덕분에 f의 부정적분 F를 구하면 그 넓이가 F(b)−F(a)와 같아요. 미분과 적분이 서로 역연산이라 끝값의 차만으로 넓이가 한 번에 나오는 거예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.