미분

평균변화율은 어떤 구간 전체에서 평균적으로 얼마나 변했는지를 나타내는 값이에요. 서울에서 부산까지 400km를 4시간에 달렸다면, 평균 시속은 100km가 되지요. 두 점을 잇는 직선의 기울기와 같아요.

순간변화율은 바로 지금 이 찰나에 얼마나 빠르게 변하고 있는지를 뜻해요. 운전석 계기판 바늘이 지금 가리키는 속도가 바로 순간변화율이랍니다.

할선(割線)은 곡선을 둘로 자르듯이 두 점을 뚫고 지나가는 직선이에요.

접선(接線)은 곡선 위의 한 점에 살포시 닿아서 스쳐 지나가는 직선이에요.

할선 위의 두 점 중 한 점을 다른 점으로 한없이 가깝게 붙이면, 두 점을 지나던 할선이 마침내 한 점에서의 접선으로 변신한답니다.

1단계 (평균변화율 세우기): x의 값이 a에서 a + h까지 변할 때, x의 증분은 Δx = h이고 y의 증분은 Δy = f(a+h) - f(a)예요. 따라서 두 점을 잇는 할선의 기울기(평균변화율)는 (f(a+h) - f(a)) / h가 됩니다.

2단계 (극한 취하기): 이제 간격 h를 0에 한없이 보내면(h → 0) 두 점이 한 점 (a, f(a))로 가까워지면서 할선이 접선으로 바뀌어요. 그 기울기의 극한값이 바로 미분계수 f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h) - f(a)) / h예요.

3단계 (구체적 보기 계산): f(x) = x²의 x = 1에서의 미분계수 f'(1)을 정의대로 구해 볼까요? 분자를 전개하면 f(1+h) - f(1) = (1 + 2h + h²) - 1 = h(2 + h)예요. 이를 h로 약분한 뒤 h → 0 극한을 취하면 lim_{h→0}(2 + h) = 2가 깔끔하게 나옵니다!

왜 미분가능하면 연속일까요? 함수 f(x)가 x = a에서 미분가능하면 미분계수 f'(a) = lim_{x→a} (f(x) - f(a)) / (x - a)가 존재해요. 이때 lim_{x→a}{f(x) - f(a)} = f'(a) · 0 = 0이므로 lim_{x→a} f(x) = f(a)가 되어 x = a에서 반드시 연속이에요.

반례 확인 (y = |x|의 x = 0): f(x) = |x|는 x = 0에서 그래프가 이어져 있어 연속이에요. 하지만 오른쪽에서 다가갈 때의 기울기(우미분계수)는 +1이고, 왼쪽에서 다가갈 때의 기울기(좌미분계수)는 -1로 서로 달라요. 이처럼 뾰족한 점(첨점)에서는 좌·우 기울기가 달라 미분계수가 존재하지 않으므로 연속이지만 미분불가능해요.

간격 h를 쓸 때: 기준점 a에서 오른쪽으로 떨어진 거리를 h로 놓는 방식이에요. 간격 h를 0으로 보내어 순간의 변화를 구해요.

점 x를 쓸 때: 움직이는 점의 좌표 자체를 x로 놓는 방식이에요. 점 x가 목표점 a로 직접 다가가는 모습을 한눈에 볼 수 있어요.

두 식은 겉모습만 다를 뿐, 똑같이 접선의 기울기를 뜻한답니다.

도함수(導函數)의 한자 '도(導)'는 이끌어낸다는 뜻이에요. 원래 함수 f(x)로부터 기울기 규칙을 이끌어내어(유도하여) 만든 새로운 함수라는 뜻이지요.

영어로도 이끌어냈다는 뜻의 '파생물'을 뜻하는 'Derivative'라고 불러요. 기호 f'(x)는 'f 프라임 x'라고 읽는답니다.

상수함수 f(x) = c는 x가 아무리 변해도 높이가 일정한 수평선이에요.

수평선은 위로도 아래로도 기울어지지 않았으므로 기울기가 0이에요. 변화량이 아예 없기 때문에 미분하면 언제나 (c)' = 0이 된답니다.

이차함수 f(x) = x²의 도함수 유도: 도함수의 정의에 대입하면 f'(x) = lim_{h→0} ((x+h)² - x²)/h = lim_{h→0}(2x + h) = 2x예요.

일반적인 f(x) = xⁿ (n은 자연수)의 유도: 인수분해 공식 aⁿ - bⁿ = (a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + bⁿ⁻¹)에 a = x + h, b = x를 대입하면 (x+h)ⁿ - xⁿ = h{(x+h)ⁿ⁻¹ + (x+h)ⁿ⁻²x + … + xⁿ⁻¹}이에요. 이를 h로 나누고 h → 0 극한을 취하면, 괄호 안의 n개 항이 모두 xⁿ⁻¹이 되어 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹이 얻어집니다!

왜 f'(x)g'(x)가 아니라 f'(x)g(x) + f(x)g'(x)일까요? 가로가 f(x), 세로가 g(x)인 직사각형의 넓이 f(x)g(x)를 생각해 보세요. x가 아주 조금 변할 때 늘어나는 넓이는 가로가 늘어나며 생기는 직사각형 조각 f'(x)g(x)와 세로가 늘어나며 생기는 직사각형 조각 f(x)g'(x)의 합이 되기 때문이에요.

식으로 유도하기: 분자에 -f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h)를 넣고 묶으면 (f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)) / h = {(f(x+h)-f(x))/h}·g(x+h) + f(x)·{(g(x+h)-g(x))/h}가 되어, h → 0일 때 f'(x)g(x) + f(x)g'(x)가 됩니다.

세 함수의 곱과 거듭제곱의 미분: 세 다항함수의 곱은 차례대로 하나씩 미분하여 더하면 돼요: {f(x)g(x)h(x)}' = f'gh + fg'h + fgh'. 특히 같은 식을 거듭제곱한 [{f(x)}ⁿ]' = n{f(x)}ⁿ⁻¹f'(x)도 자주 쓰이니 꼭 알아 두세요! (예: {(x²+1)³}' = 3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)²)

고1 때 배운 한 점 (x₁, y₁)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식 y - y₁ = m(x - x₁)을 떠올려 보세요.

접선도 결국 하나의 직선이에요! 단지 기울기 m 자리에 미분으로 구한 접선의 기울기 f'(a)를 쏙 대입한 것뿐이랍니다.

유형 ① 곡선 위의 점 (a, f(a))가 주어질 때: 도함수로 접선의 기울기 m = f'(a)를 구한 뒤 y - f(a) = f'(a)(x - a)에 대입해요.

유형 ② 접선의 기울기 m이 주어질 때: 접점의 좌표를 (a, f(a))로 놓고, 방정식 f'(a) = m을 풀어 접점의 x좌표 a를 먼저 찾은 뒤 식을 세워요. (예: 곡선 y = x²에 접하고 기울기가 4인 직선은 2a = 4에서 a = 2이므로 접점은 (2, 4), 접선은 y = 4x - 4예요.)

유형 ③ 곡선 밖의 한 점 (x₁, y₁)에서 그은 접선일 때: 곡선 밖의 점은 접점이 아니에요! 반드시 접점을 (t, f(t))로 먼저 설정하여 접선의 식 y - f(t) = f'(t)(x - t)를 세운 다음, 이 직선이 (x₁, y₁)을 지난다는 조건(y₁ - f(t) = f'(t)(x₁ - t))으로 t의 값을 구해요.

롤의 정리(Rolle's theorem): 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능한 함수 f(x)가 양 끝에서 높이가 같으면(f(a) = f(b)), 그 사이에 올라갔다 내려오거나 내려갔다 올라오는 꼭대기·골짜기가 있어서 접선의 기울기가 0(f'(c) = 0)인 점 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재해요.

평균값 정리(Mean Value Theorem): 롤의 정리의 그래프를 비스듬히 기울인 것이에요. 구간 양 끝점 A(a, f(a))와 B(b, f(b))를 잇는 할선과 평행한 접선을 그을 수 있는 점 c가 열린구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이에요.

구체적 보기 계산: 함수 f(x) = x²에 대하여 닫힌구간 [1, 3]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 c를 구해 볼까요? 평균변화율은 (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = 4이고 f'(c) = 2c이므로, 2c = 4에서 c = 2(1 < 2 < 3)가 됩니다!

극값과 그래프 개형 (f(x) = x³ - 3x): 도함수 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x + 1)(x - 1) = 0에서 x = -1 또는 x = 1이에요. x = -1 좌우에서 f'(x) 부호가 + → -로 바뀌므로 극댓값 f(-1) = 2를 갖고, x = 1 좌우에서 - → +로 바뀌므로 극솟값 f(1) = -2를 가져요.

방정식 x³ - 3x = k의 실근의 개수: 곡선 y = x³ - 3x와 수평선 y = k의 교점의 개수를 세면 돼요. ① -2 < k < 2(극솟값과 극댓값 사이)이면 서로 다른 세 실근, ② k = 2 또는 k = -2이면 서로 다른 두 실근(중근 1개와 다른 실근 1개), ③ k > 2 또는 k < -2이면 오직 하나의 실근을 가져요.

부등식 f(x) ≥ 0에의 활용: 주어진 구간에서 부등식 f(x) ≥ 0이 항상 성립함을 보이려면, 그 구간에서 함수 f(x)의 최솟값을 구하여 (최솟값) ≥ 0임을 확인하면 충분해요.

속도는 빠르기뿐만 아니라 방향까지 함께 나타내는 양이에요. 앞으로 갈 때는 양수(+), 뒤로 후진할 때는 음수(−)로 나타내요.

속력은 방향과 상관없이 오직 움직이는 빠르기의 크기만 나타내요. 따라서 속도에 절댓값을 씌운 값 |v(t)|이 바로 속력이랍니다.