축에 평행하게 들어온 전파는 포물선 거울에 반사되어 초점 한 곳에 모입니다. 반대로 초점에 전구를 두면 빛이 반사되어 똑바른 평행 광선으로 뻗어 나갑니다.
② 케플러 제1법칙과 타원형 쇄석기
태양계의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 공전합니다. 의료용 쇄석기는 한 초점에서 쏜 충격파를 다른 초점의 결석에만 정확히 모읍니다.
③ GPS와 장거리 전파항법(LORAN)
두 기지국에서 보낸 전파의 시간 차를 재면 두 기지국까지의 거리 차를 알 수 있습니다. 거리 차가 일정한 두 쌍곡선의 교점으로 수신기의 위치를 정확히 찾습니다.
④ 원뿔 절단면과 우주선 탈출 궤도
원뿔을 자르는 각도에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 네 가지 궤도가 생깁니다. 우주선도 속도에 따라 타원 궤도를 돌거나 포물선·쌍곡선 궤도로 태양계를 벗어납니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 포물선·타원·쌍곡선의 기하학적 정의를 명확히 이해하고 표준방정식을 유도한다. ② 각 곡선의 초점, 꼭짓점, 준선, 점근선을 신속·정확하게 구한다. ③ 평행이동된 이차곡선의 방정식을 일반형과 표준형으로 자유자재로 변환한다. ④ 곡선과 직선의 위치 관계 및 기울기·접점이 주어진 접선의 방정식을 완벽히 정복한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
공통수학에서 배운 이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리와, 점 P(x, y)에서 직선 x = −p까지의 거리는 어떻게 구할까요?
② 원의 방정식 x² + y² = r²을 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동하면 식이 어떻게 바뀔까요?
① 두 점 사이의 거리는 √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)이고, y축에 평행한 직선 x = −p까지의 수선 거리는 |x + p|입니다 · ② x 대신 x − m을, y 대신 y − n을 대입하여 (x − m)² + (y − n)² = r²이 됩니다.
1. 포물선의 정의와 방정식 — 초점과 준선이 만든 대칭 곡선
원뿔을 평면으로 자르면 여러 곡선이 나와요. 이것을 이차곡선이라 부릅니다.
포물선은 초점과 준선까지의 거리가 같은 점들의 모임이에요.
🔎 「초점」과 「준선」이 무슨 말이죠?
초점은 포물선 안쪽에 콕 찍힌 기준 점이에요.
준선은 포물선 뒤쪽에 곧게 뻗은 기준 직선입니다.
포물선 위의 어느 점을 잡아도 초점까지 거리와 준선까지 거리가 똑같아요.
초점이 x축 위에 있는 포물선의 표준방정식이에요.
y² = 4px (꼭짓점 (0, 0), 대칭축 x축)
🔎 식 y² = 4px 에서 4p는 무슨 뜻인가요?
p는 원점에서 초점까지의 거리예요.
거리 공식을 제곱해 전개하면 좌우의 2px가 합쳐져 4px가 됩니다.
p가 양수이면 오른쪽으로 열리고, 음수이면 왼쪽으로 열려요.
🔎 상세 설명 보기 — 정의식 PF = PH에서 y² = 4px 유도하기
포물선 위의 점 P(x, y)에서 초점 F(p, 0)까지의 거리는 PF = √((x−p)² + y²)입니다. 또 점 P(x, y)에서 준선 x = −p에 내린 수선의 발은 H(−p, y)이므로 준선까지의 거리는 PH = |x + p|입니다.
정의 PF = PH에 의해 √((x−p)² + y²) = |x + p|입니다. 양변을 제곱하여 전개하면 x² − 2px + p² + y² = x² + 2px + p²이 됩니다. 양변의 x² + p²을 소거하고 −2px를 우변으로 넘기면 y² = 4px가 유도됩니다.
초점이 y축 위에 있으면 위아래로 열립니다.
x² = 4py (꼭짓점 (0, 0), 대칭축 y축)
🔎 초점까지 거리와 준선까지 거리는 왜 항상 같나요?
포물선 위의 점 P와 준선의 수선의 발 H에 대해 항상 PF = PH예요.
이것이 포물선을 정의하는 약속이자 본질적인 성질입니다.
문제에서 포물선 위의 점이 나오면 준선에 수선을 내려 길이를 맞춰 봐요.
기억해요 — 포물선은 초점거리=준선거리. y²=4px는 좌우 대칭, x²=4py는 상하 대칭!
[실물 시각화 1] 포물선의 기하학적 정의 (PF = PH)
포물선 위의 어떤 점을 잡더라도 초점까지 거리와 준선 수선 거리는 완벽히 같습니다.
[실물 시각화 2] 파라볼라 안테나 광학 반사 (초점 집광)
우주에서 날아온 미약한 평행 전파를 한 초점에 집중시켜 수천 배 증폭시킵니다.
왜 y²=4px 에서 계수가 4p 일까?
점 P(x, y)에서 초점 (p, 0)까지 거리의 제곱은 (x−p)² + y²입니다. 준선 x = −p까지 거리의 제곱은 (x+p)²입니다. 두 식을 같다고 두면 양변의 x² + p²이 지워집니다. 좌변의 −2px가 우변의 +2px와 합쳐져 y² = 4px가 됩니다.
x²=4py 와 y²=4px 의 대칭축과 준선 부호 혼동
y² = 4px는 y에 제곱이 있어 x축 대칭(좌우로 열린 모양)입니다. 따라서 초점은 (p, 0)이고 준선은 x = −p입니다. 반면 x² = 4py는 이차함수 y = (1/4p)x²처럼 위아래로 열린 y축 대칭입니다. 따라서 초점은 (0, p)이고 준선은 y = −p입니다.
종이접기로 만드는 포물선
종이 아래쪽 가장자리에 직선(준선)을 긋고 안쪽에 한 점(초점)을 찍습니다. 가장자리의 여러 점이 초점과 겹치도록 반복해서 접었다 폅니다. 그러면 수많은 접힌 주름선들이 감싸는 경계선(포락선)이 포물선을 이룹니다.
태양열 조리기와 올림픽 성화 채화경
올림픽 성화는 포물면 거울을 태양으로 향해 초점에 성화봉을 대어 불을 붙입니다. 햇빛이 거울에 반사되어 초점 한 곳에 모이기 때문입니다. 전기나 연료 없이 요리하는 태양열 조리기도 같은 원리를 씁니다.
📺📺 영상으로 보기타원의 기하학적 정의▶
📺 움직이는 개념 — 타원의 기하학적 정의
타원 위 어느 점에서나 두 초점까지 거리의 합은 장축의 길이 2a로 항상 같아요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
2. 타원의 정의와 방정식 — 두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 점들
타원은 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 모임이에요.
긴 지름을 장축, 짧은 지름을 단축이라 합니다.
🔎 「장축」과 「단축」이 무슨 말이죠?
타원은 원을 한쪽으로 길게 잡아당긴 찌그러진 동그라미 모양이에요.
가장 긴 지름 선분을 장축, 가장 짧은 지름 선분을 단축이라 해요.
두 축이 만나는 한가운데 점이 바로 타원의 중심입니다.
좌우로 긴 타원의 표준방정식이에요.
x²/a² + y²/b² = 1 (단, a > b > 0이고 c² = a² − b²)
🔎 핀 두 개와 실로 어떻게 타원을 그리나요?
종이에 핀 두 개를 꽂고 실의 양 끝을 묶어요.
연필 끝으로 실을 팽팽하게 당기면서 한 바퀴 쓱 돌립니다.
실의 총 길이가 일정하므로 거리의 합이 일정한 완벽한 타원이 그려져요.
🔎 상세 설명 보기 — 정의식 PF + PF' = 2a에서 타원의 방정식 유도하기
타원 위의 점 P(x, y)에서 두 초점 F(c, 0), F'(−c, 0)까지의 거리의 합이 2a이므로 √((x−c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a입니다.
근호 하나를 우변으로 넘겨 √((x−c)² + y²) = 2a − √((x+c)² + y²)로 만든 뒤 양변을 첫 번째로 제곱합니다.
정리하여 남은 근호만 좌변에 두면 a√((x+c)² + y²) = a² + cx가 됩니다. 다시 양변을 두 번째로 제곱하여 정리하면 (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)을 얻습니다.
삼각형의 결정 조건에 의해 2a > 2c(a > c > 0)이므로 a² − c² = b² (b > 0)으로 치환할 수 있습니다. 양변을 a²b²으로 나누면 x²/a² + y²/b² = 1이 완성됩니다.
기억해요 — 타원은 거리의 합=2a(또는 2b). 초점 공식 c²=a²−b² (큰 분모에서 작은 분모 빼기)!
[실물 시각화 3] 핀 2개와 실로 타원 그리기 (작도 원리)
두 핀에 묶은 실을 연필로 팽팽히 당기며 돌리면 실의 길이 2a를 장축으로 하는 타원이 그려집니다.
[실물 시각화 4] 체외충격파 쇄석기의 타원 초점 집중
외과 수술 없이 음향 충격파를 체내 결석에만 집중시켜 가루로 분쇄합니다.
왜 초점 공식이 c²=a²−b² (피타고라스 직각삼각형)이 될까?
단축의 꼭짓점 B(0, b)를 생각해 봐요. 대칭성에 의해 두 초점 F(c, 0), F'(−c, 0)에서 점 B까지의 거리는 서로 같습니다. 거리의 합이 2a이므로 선분 BF의 길이는 정확히 a가 됩니다. 따라서 직각삼각형 △OBF에서 빗변이 a이므로 b² + c² = a², 즉 c² = a² − b²이 성립합니다.
타원 c²=a²−b² 과 쌍곡선 c²=a²+b² 부호 혼동
타원은 닫힌 곡선이라 초점 c가 꼭짓점 a보다 안쪽에 놓입니다. 따라서 c < a이므로 c² = a² − b²입니다. 반면 쌍곡선은 바깥으로 열려 있어 초점이 꼭짓점보다 더 멀리 놓입니다. 따라서 c > a이므로 c² = a² + b²입니다.
단위원의 수평·수직 확대/축소 변환 관점
타원 x²/a² + y²/b² = 1은 단위원 X² + Y² = 1에 X = x/a, Y = y/b를 넣은 식입니다. 즉 반지름 1인 원을 가로로 a배, 세로로 b배 늘린 도형입니다. 따라서 타원의 넓이도 단위원의 넓이 π에 ab를 곱한 πab가 됩니다.
런던 세인트폴 대성당의 '속삭이는 회랑 (Whispering Gallery)'
돔 천장이 타원체로 지어진 회랑에서는 한쪽 초점에서 속삭인 소리가 벽면에 반사됩니다. 반사된 음파는 수십 미터 떨어진 반대편 초점으로 고스란히 모입니다. 덕분에 멀리 떨어진 사람에게도 바로 옆에서 말하듯 또렷이 들립니다.
3. 쌍곡선의 정의와 점근선, 그리고 평행이동 — 거리의 차와 표준형 변환
쌍곡선은 두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점들의 모임이에요.
두 꼭짓점을 잇는 선분을 주축이라고 부릅니다.
초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 표준방정식이에요.
x²/a² − y²/b² = 1 (단, c² = a² + b², 주축의 길이 2a)
초점이 y축 위에 있으면 우변이 −1이 됩니다.
x²/a² − y²/b² = −1 (단, c² = a² + b², 주축의 길이 2b)
🔎 쌍곡선의 우변이 +1과 −1일 때 무엇이 다른가요?
우변이 +1이면 좌우로 열리는 쌍곡선이에요. 초점이 x축 위에 놓입니다.
우변이 −1이면 위아래로 열리는 쌍곡선이에요. 초점이 y축 위에 놓입니다.
둘 다 초점 공식 c² = a² + b²과 점근선 식은 똑같아요.
곡선이 한없이 다가가는 두 직선을 점근선이라 해요.
y = ±(b/a)x (우변을 0으로 둔 x²/a² − y²/b² = 0에서 유도)
🔎 「점근선」이 무슨 말이죠?
점점 가까워지지만 영원히 닿지는 않는 선이에요.
쌍곡선이 원점에서 멀리 뻗어 나갈수록 이 직선에 딱 달라붙듯 다가갑니다.
우변을 0으로 놓고 인수분해하면 점근선 두 개를 쉽게 구할 수 있어요.
🔎 상세 설명 보기 — 정의식 |PF − PF'| = 2a에서 쌍곡선의 방정식 유도하기
쌍곡선 위의 점 P(x, y)에서 두 초점 F(c, 0), F'(−c, 0)까지의 거리의 차가 2a이므로 √((x−c)² + y²) − √((x+c)² + y²) = ±2a입니다.
근호 하나를 우변으로 넘기고 양변을 두 번 연속 제곱하여 정리하면 (c² − a²)x² − a²y² = a²(c² − a²)을 얻습니다.
여기서 c > a > 0이므로 c² − a² = b² (b > 0, 즉 c² = a² + b²)으로 치환하고 양변을 a²b²으로 나누면 x²/a² − y²/b² = 1이 유도됩니다.
이차곡선을 평행이동하면 식의 x에 x−m, y에 y−n을 넣어요.
중심과 초점, 준선, 점근선도 똑같이 이동합니다.
🔎 평행이동해도 바뀌지 않는 것은 무엇인가요?
도형의 모양과 크기는 조금도 변하지 않아요.
장축, 단축, 주축의 길이와 점근선의 기울기는 그대로 유지됩니다.
위치만 (m, n)만큼 쓱 옮겨질 뿐이랍니다.
🔎 상세 설명 보기 — 평행이동과 일반형(Ax²+By²+Cx+Dy+E=0)의 표준형 변환 예시
① 평행이동된 포물선 읽기:(y − 2)² = 8(x − 1)은 기본형 y² = 8x(p = 2, 초점 (2, 0), 준선 x = −2)를 x축으로 1, y축으로 2만큼 평행이동한 것입니다. 따라서 꼭짓점은 (1, 2), 초점은 (3, 2), 준선은 x = −1이 됩니다. ② 일반형을 완전제곱식으로 바꾸기:4x² + 9y² − 8x + 36y + 4 = 0을 x끼리, y끼리 묶어 완전제곱식으로 만듭니다. 4(x² − 2x + 1) + 9(y² + 4y + 4) = −4 + 4 + 36 ⇒ 4(x − 1)² + 9(y + 2)² = 36
양변을 36으로 나누면 (x − 1)²/9 + (y + 2)²/4 = 1이 되어 중심이 (1, −2)이고 장축 길이가 6, 단축 길이가 4인 타원임을 바로 알 수 있습니다.
기억해요 — 쌍곡선은 거리의 차가 2a(또는 2b), c²=a²+b², 점근선은 y=±(b/a)x! 평행이동은 식에 (x−m, y−n) 대입!
[실물 시각화 5] 쌍곡선의 점근선 상자 (Box Method)
가로 2a, 세로 2b인 상자의 대각선 연장선이 쌍곡선의 완벽한 점근선 가이드가 됩니다.
[실물 시각화 6] 원뿔 절단면 (Conic Sections 4종)
하나의 원뿔을 평면으로 자르는 각도에 따라 4개의 모든 이차곡선이 탄생합니다.
왜 점근선의 방정식이 y = ±(b/a)x 가 될까?
쌍곡선 식 x²/a² − y²/b² = 1을 y에 대해 풀면 y = ±(b/a)x √(1 − a²/x²)이 됩니다. |x|가 한없이 커지면 근호 안의 a²/x²은 0에 가까워집니다. 따라서 곡선은 직선 y = ±(b/a)x에 한없이 다가갑니다.
쌍곡선 우변의 +1 과 -1 구분
우변이 +1이면 초점과 꼭짓점 (±a, 0)이 x축 위에 있고 주축 길이는 2a입니다. 반면 우변이 −1이면 초점과 꼭짓점 (0, ±b)가 y축 위에 있고 주축 길이는 2b입니다. 두 경우 모두 c² = a² + b²과 점근선 y = ±(b/a)x는 똑같습니다.
직각쌍곡선 (Equilateral Hyperbola)
a = b인 쌍곡선 x² − y² = a²은 두 점근선이 y = ±x가 되어 서로 수직으로 만납니다. 이처럼 점근선이 직교하는 쌍곡선을 직각쌍곡선이라 부릅니다. 이를 원점 중심으로 45° 회전하면 반비례 곡선 xy = k가 됩니다.
초음속 제트기의 마하 원뿔과 쌍곡선 소닉붐 충격파
전투기가 음속을 넘으면 공기를 밀어내며 원뿔 모양의 충격파를 만듭니다. 이 원뿔 충격파가 평평한 지면과 만나면서 땅 위에 그리는 선이 바로 쌍곡선입니다. 이 쌍곡선 궤적이 지나가는 순간 지상에 큰 폭발음(소닉붐)이 들립니다.
4. 이차곡선과 직선, 그리고 접선의 공식 — 판별식과 대입 공식
곡선 식에 직선을 넣어 만든 이차방정식의 판별식 D로 위치를 따져요.
① D > 0: 서로 다른 두 점에서 만납니다.
② D = 0: 한 점에서 만나는 접선이에요.
③ D < 0: 만나지 않습니다.
🔎 왜 판별식 D=0이면 접선이 되나요?
이차곡선과 직선을 연립하면 x에 대한 이차방정식이 나와요.
실근의 개수가 곧 두 도형이 만나는 교점의 개수입니다.
D=0이면 중근(하나의 교점)을 가지므로 스치듯 만나는 접선이 됩니다.
기울기 m이 주어질 때의 접선 공식이에요.
포물선: y = mx + p/m (단, m ≠ 0)
타원: y = mx ± √(a²m² + b²)
쌍곡선: y = mx ± √(a²m² − b²)
🔎 상세 설명 보기 — 판별식 D = 0으로 기울기 m인 접선 공식 유도하기
① 포물선 y² = 4px의 접선: 직선 y = mx + n (m ≠ 0)을 포물선 식에 대입하면 m²x² + 2(mn − 2p)x + n² = 0입니다. 접하려면 D/4 = −4pmn + 4p² = 0이어야 하므로 n = p/m이 되어 y = mx + p/m을 얻습니다. ② 타원·쌍곡선의 접선: 타원 b²x² + a²y² = a²b²에 y = mx + n을 대입하면 (a²m² + b²)x² + 2a²mnx + a²(n² − b²) = 0입니다. 여기서 D/4 = 0을 풀면 n² = a²m² + b²이므로 y = mx ± √(a²m² + b²)이 됩니다. 쌍곡선은 b² 자리에 −b²을 넣으면 됩니다.
곡선 위의 접점 P(x₁, y₁)에서의 접선은 대입 규칙으로 구해요.
x² → x₁x, y² → y₁y, x → (x+x₁)/2, y → (y+y₁)/2
🔎 접점 공식(x²→x₁x)은 어떻게 쉽게 외우나요?
제곱은 x와 x 두 개가 곱해진 것이니 하나만 접점 좌표 x₁로 바꿔요.
일차항 x는 평균을 내듯 (x+x₁)/2로 바꿉니다.
포물선, 타원, 쌍곡선뿐 아니라 원에서도 똑같이 통하는 만능 공식이에요.
🔎 상세 설명 보기 — 접점 (x₁, y₁)에서의 접선 공식 유도 및 곡선 밖의 점 해법
① 접점 공식 유도: 포물선 y² = 4px 위의 점 (x₁, y₁) (y₁ ≠ 0)을 지나고 기울기가 m인 직선 y − y₁ = m(x − x₁)을 포물선에 대입하여 D = 0과 y₁² = 4px₁을 연립하면 기울기 m = 2p/y₁을 얻습니다. 이를 직선 식에 대입하고 양변에 y₁을 곱해 y₁² = 4px₁로 정리하면 y₁y = 2p(x + x₁)이 됩니다. ② 곡선 밖의 점 (x₀, y₀)에서 그은 접선 구하기: 곡선 밖의 점은 위 공식에 바로 넣을 수 없습니다. [방법 1] 접점을 (x₁, y₁)이라 두고 접선 식에 (x₀, y₀)을 대입한 식과 곡선 식을 연립하여 접점을 구하거나, [방법 2] 기울기 m인 접선 공식에 (x₀, y₀)을 대입하여 m을 구합니다.
기억해요 — 곡선 위의 점 접선은 x²→x₁x, x→(x+x₁)/2 로 치환! 곡선 밖의 점은 접점을 미지수로 두기!
[실물 시각화 7] 직선과의 위치 관계 3가지 (판별식 D)
연립이차방정식의 판별식 D의 부호로 교점의 개수와 접선 여부를 완벽히 판별합니다.
[실물 시각화 8] 접점 분할 공식의 대칭적 작도
꼭짓점 O(0, 0)를 기준으로 접점의 x좌표 x₁과 접선의 x절편 −x₁은 완벽한 좌우 대칭을 이룹니다.
왜 x²→x₁x, x→(x+x₁)/2 로 바꾸면 접선이 될까?
미분법을 쓰면 한눈에 보입니다. y² = 4px의 양변을 x로 미분하면 2yy' = 4p에서 접선의 기울기는 y' = 2p/y₁입니다. 이를 직선 식 y − y₁ = (2p/y₁)(x − x₁)에 넣고 양변에 y₁을 곱합니다. 접점이 곡선 위의 점이므로 y₁² = 4px₁을 대입하면 y₁y = 2p(x + x₁)이 됩니다.
곡선 밖의 점에서 그은 접선 문제의 접점 혼동
점 (0, 2)에서 포물선 y² = 4x에 그은 접선을 구할 때 (0, 2)를 접점 공식에 바로 넣으면 안 됩니다. 점 (0, 2)는 곡선 밖의 점이기 때문입니다. 반드시 접점을 (x₁, y₁)로 두고 식을 세운 뒤 (0, 2)를 대입해 연립해야 합니다.
포물선 접선의 x절편 대칭 성질로 1초 만에 그리기
포물선 접선 y₁y = 2p(x + x₁)에 y = 0을 대입하면 x = −x₁이 됩니다. 즉 접점의 x좌표가 x₁이면 접선의 x절편은 언제나 −x₁입니다. 따라서 점 (−x₁, 0)과 접점 (x₁, y₁)을 자로 잇기만 하면 정확한 접선이 그려집니다.
포물선의 준선 위에서 그은 두 접선의 직교성
포물선 y² = 4px의 준선 x = −p 위의 한 점에서 포물선에 두 접선을 그어 보세요. 놀랍게도 두 접선의 기울기의 곱은 항상 −1이 되어 수직(90°)으로 만납니다. 반대로 포물선에 수직으로 그은 두 접선의 교점은 언제나 준선 위에 놓입니다.
스스로 풀어요 (3단계 20제 완전정복)
포물선·타원·쌍곡선의 기본 초점, 준선, 장축·단축, 주축 길이를 완벽히 계산합니다.
정의로부터 방정식 결정, 점근선, 평행이동, 기본 접선 공식을 정확히 적용합니다.
기하학적 정의를 활용한 거리 연립, 점근선 거리의 곱, 접선의 교점과 직각삼각형 킬러 문제를 해결합니다.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 이차곡선 문제는 복잡한 식 대신 정의(거리 조건)부터 그림에 표시하면 암산으로 풀립니다. 「더 간결하게」: 초점 거리 c는 타원 c^2 = a^2 - b^2, 쌍곡선 c^2 = a^2 + b^2 — 부호만 정확히 가리세요.
객관식 진단 퀴즈 — 이차곡선
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 타원의 초점거리 c (c²=a²−b², a>b)
a (긴 반지름) 8b (짧은 반지름) 4
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 기하학적 정의를 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
자주 틀리는 다섯 가지
1포물선 y² = 4px에서 4p를 초점 좌표로 착각하기 — y² = 8x의 초점은 (8, 0)이 아니라 4p = 8에서 p = 2인 (2, 0)입니다. 일차항 계수를 반드시 4로 나누세요.
2타원과 쌍곡선의 초점 공식 c² 부호 뒤바꾸기 — 닫힌 도형인 타원은 c² = a² − b²(큰 분모 빼기 작은 분모)이고, 열린 도형인 쌍곡선은 c² = a² + b²(두 분모 더하기)입니다.
3쌍곡선 우변이 −1일 때 주축과 점근선 혼동하기 — x²/a² − y²/b² = −1은 초점이 y축 위의 (0, ±c)이고 주축 길이는 2b이지만, 점근선은 우변이 1일 때와 똑같이 y = ±(b/a)x입니다.
4평행이동할 때 식과 좌표의 부호 헷갈리기 — 곡선을 (m, n)만큼 평행이동하면 방정식에는 x − m, y − n을 대입하고, 꼭짓점·중심·초점 좌표에는 +m, +n을 그대로 더합니다.
5곡선 밖의 점을 접점 공식에 바로 대입하기 — 접점 공식(x² → x₁x, y² → y₁y)은 곡선 위의 점에서만 성립합니다. 곡선 밖의 점은 접점을 (x₁, y₁)로 두거나 기울기 m 공식을 써서 풀어야 합니다.
3쌍곡선과 평행이동x²/a² − y²/b² = 1. 거리의 차 2a, 초점 c² = a² + b², 점근선 y = ±(b/a)x. 평행이동 시 x → x−m, y → y−n.
4기울기 m 접선 포물선 y = mx + p/m, 타원 y = mx ± √(a²m² + b²), 쌍곡선 y = mx ± √(a²m² − b²).
5곡선 위의 점 (x₁, y₁) 접선x² → x₁x, y² → y₁y, x → (x+x₁)/2, y → (y+y₁)/2.
이 단원의 말·기호
초점 (Focus)
이차곡선의 기하학적 정의의 기준이 되는 고정점 F.
준선 (Directrix)
포물선에서 초점과 함께 거리를 정의하는 고정 직선 l.
장축과 단축
타원에서 가장 긴 대칭축(2a)과 가장 짧은 대칭축(2b).
주축 (Transverse Axis)
쌍곡선에서 두 꼭짓점을 잇는 기준 선분(길이 2a 또는 2b).
점근선 (Asymptote)
쌍곡선이 무한히 뻗어갈 때 한없이 가까워지는 직선 y=±(b/a)x.
이차곡선의 평행이동
방정식의 x, y 대신 x−m, y−n을 대입하며 초점·준선·점근선도 함께 (m, n)만큼 이동함.
내 말로 설명하기
타원의 초점 공식 c²=a²−b²과 쌍곡선의 초점 공식 c²=a²+b²이 왜 부호가 다른지 기하학적으로 설명해 봐요.
예시 — 타원에서는 단축의 꼭짓점 B(0, b)에서 초점 F(c, 0)까지의 거리가 정확히 장축 반지름 a가 되므로 직각삼각형 피타고라스 정리에 의해 b²+c²=a² → c²=a²−b²이 됩니다(c<a). 반면 쌍곡선에서는 곡선이 점근선 바깥으로 열려 있으며 초점이 꼭짓점(a, 0)보다 바깥에 놓이므로 초점거리 c가 a보다 큽니다(c>a). 가로 2a, 세로 2b인 직사각형 대각선 길이가 바로 2c가 되므로 c²=a²+b²이 됩니다.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요. 그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요거의복습 필요아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 곡선 공식에 질려할 때 “밤하늘 행성의 공전 궤도와 전조등 빛이 모두 이 곡선 하나로 설명된단다” 하고 자연과 기술 속에 숨은 기하학의 경이를 짚어주세요.
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눈을 감아요
방금 배운 이차곡선을 머릿속에 천천히 그려 봐요. 포물선(초점·준선) → 타원(거리의 합) → 쌍곡선(거리의 차와 점근선) → 접선의 방정식 떠오르는 만큼만, 괜찮아요.
떠오르는 동안 잠시 기다려요…
이 교과서를 내 기기에 담아둘까요? 언제든 오프라인으로 보고, 친구에게도 나눠줄 수 있어요.
