벡터

출발하는 자리가 달라도 괜찮아요.

화살표의 길이와 가리키는 방향만 같으면 같은 벡터로 봅니다.

평행하게 쓱 밀어서 포개어지는 화살표는 모두 하나로 여겨요.

① 시점과 종점: 화살표가 출발하는 점을 시점, 도착하는 끝점을 종점이라 합니다. AB⃗ 에서 A 가 시점, B 가 종점입니다.
② 영벡터(0⃗)와 단위벡터: AA⃗ 처럼 시점과 종점이 일치하면 길이가 0 인 영벡터 0⃗=(0, 0) 이 되며 방향은 생각하지 않습니다. 반대로 크기가 1 인 벡터를 단위벡터라 하며, 영벡터가 아닌 a⃗ 를 자기 자신의 크기 |a⃗| 로 나눈 a⃗/|a⃗| 는 a⃗ 와 방향이 같은 단위벡터가 됩니다.
③ 역벡터(−a⃗): 시점과 종점을 서로 바꾼 BA⃗ 는 AB⃗ 와 크기가 같고 방향만 정반대이므로 BA⃗=−AB⃗ 입니다.

동쪽으로 가면서 동시에 북쪽으로 밀리는 배를 떠올려 보세요.

두 방향의 힘을 함께 받으면 비스듬한 대각선 방향으로 나아갑니다.

두 화살표로 평행사변형을 만들었을 때 대각선이 바로 합 벡터예요.

① 왜 OB⃗−OA⃗=AB⃗ 일까? 삼각형의 꼬리물기 덧셈에서 OA⃗ 의 종점 A 에 AB⃗ 의 시점 A 를 이어 붙이면 OA⃗+AB⃗=OB⃗ 가 됩니다. 양변에서 OA⃗ 를 이항하면 AB⃗=OB⃗−OA⃗ 가 얻어집니다. 즉, "뒤 글자(종점)에서 앞 글자(시점)를 뺀다"고 기억하면 언제나 부호가 헷갈리지 않습니다.
② 성분으로 보는 평행 조건: a⃗=(a₁, a₂) 와 b⃗=(b₁, b₂) 가 평행하면 b⃗=ka⃗ (k≠0)이므로 b₁=ka₁, b₂=ka₂ 입니다. 따라서 두 성분의 비가 일정(a₁b₂−a₂b₁=0)하면 두 벡터는 평행합니다.

화살표의 시작점을 원점 (0, 0)에 척 갖다 놔요.

화살표 끝점이 가리키는 점의 좌표가 바로 벡터의 성분이 됩니다.

덕분에 복잡한 그림 대신 순서쌍 숫자로 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요.

화살표 둘을 곱해서 안쪽의 순수한 숫자를 얻는 연산이에요.

두 화살표가 얼마나 같은 방향을 향해 힘을 보태는지 재어 줍니다.

같은 방향이면 양수, 직각이면 0, 반대 방향이면 음수가 나와요.

원점 O(0, 0) 과 두 점 A(a₁, a₂), B(b₁, b₂) 가 이루는 삼각형 OAB 에서 ∠AOB = θ 라 합시다.
① 삼각형 OAB 에 코사인법칙을 적용하면 |AB⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² − 2|a⃗||b⃗|cosθ 입니다.
② 여기서 |a⃗||b⃗|cosθ = a⃗·b⃗ 이고, AB⃗=b⃗−a⃗=(b₁−a₁, b₂−a₂) 의 성분을 대입하여 양변을 전개합니다.
③ (b₁−a₁)² + (b₂−a₂)² = (a₁²+a₂²) + (b₁²+b₂²) − 2(a⃗·b⃗) 에서 제곱 항들을 소거하고 -2 로 나누면 a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ 가 깔끔하게 증명됩니다.

내적 공식 a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ의 양변을 크기의 곱으로 나눠요.

그러면 cos θ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|)가 바로 얻어집니다.

화살표의 크기에 상관없이 방향이 얼마나 닮았는지만 깔끔하게 비교해요.

내적은 한 화살표가 다른 쪽에 드리운 그림자 길이를 곱해요.

직각(90°)이면 위에서 수직으로 빛을 비췄을 때 그림자가 점(길이 0)이 돼요.

그림자 길이가 0이므로 내적 |a⃗||b⃗|cos 90° = 0이 됩니다.

① 내적의 연산 법칙: 세 벡터 a⃗, b⃗, c⃗ 와 실수 k 에 대하여 교환법칙 a⃗·b⃗=b⃗·a⃗, 분배법칙 a⃗·(b⃗+c⃗)=a⃗·b⃗+a⃗·c⃗, 실수배 결합 (ka⃗)·b⃗=k(a⃗·b⃗) 가 성립합니다.
② 크기의 제곱은 자기 자신의 내적: a⃗·a⃗=|a⃗||a⃗|cos 0° = |a⃗|² 입니다. 따라서 벡터의 합·차의 크기가 주어지면 반드시 양변을 제곱하여 풀어야 합니다:
|a⃗±b⃗|² = (a⃗±b⃗)·(a⃗±b⃗) = |a⃗|² ± 2a⃗·b⃗ + |b⃗|²

자유롭게 떠돌던 화살표의 시작점을 원점에 꽂아 둔 거예요.

시점이 고정되니 화살표 끝점이 곧 공간의 점 위치를 나타내게 돼요.

도형의 모든 점을 화살표 연산으로 다룰 수 있는 마법의 열쇠랍니다.

① 내분점 유도: 선분 AB 를 m:n 으로 내분하는 점 P 에 대하여 AP⃗ : PB⃗ = m : n 이므로 nAP⃗ = mPB⃗ 입니다. 이를 시점 O 에 대한 위치벡터로 바꾸면 n(p⃗−a⃗) = m(b⃗−p⃗) 가 되고, (m+n)p⃗ = mb⃗+na⃗ 로 정리되어 p⃗ = (mb⃗+na⃗)/(m+n) 를 얻습니다.
② 외분점과 중점: 선분 AB 를 m:n 으로 외분하는 점 Q 는 AQ⃗ 와 BQ⃗ 의 방향이 같으므로 n(q⃗−a⃗) = m(q⃗−b⃗) 에서 q⃗ = (mb⃗−na⃗)/(m−n) 가 됩니다. 특히 1:1 내분점인 중점 M 의 위치벡터는 m⃗ = (a⃗+b⃗)/2 입니다.

방향벡터는 직선과 나란히 평행하게 달리는 화살표예요.

법선벡터는 직선과 90도로 꼿꼿이 수직인 화살표입니다.

나란하면 비율로 식을 세우고, 수직이면 내적이 0임을 써서 식을 세워요.

① 방향벡터를 이용한 직선: 점 A(x₁, y₁) 을 지나고 방향벡터 u⃗=(u₁, u₂) 에 평행한 직선 위의 점 P(x, y) 는 AP⃗=tu⃗ 를 만족합니다. 성분으로 쓰면 (x−x₁, y−y₁)=(tu₁, tu₂) 이므로 매개변수 t 를 소거하면 t = (x−x₁)/u₁ = (y−y₁)/u₂ 가 됩니다.
② 법선벡터를 이용한 직선: 점 A(x₁, y₁) 을 지나고 법선벡터 n⃗=(a, b) 에 수직인 직선 위의 점 P(x, y) 는 AP⃗⊥n⃗ 이므로 내적이 0 입니다. 즉 (x−x₁, y−y₁)·(a, b) = a(x−x₁)+b(y−y₁)=0 입니다.
③ 원의 벡터방정식: 중심 C(x₀, y₀) 로부터 거리가 r 로 일정한 점 P(x, y) 의 자취는 |CP⃗|=|p⃗−c⃗|=r 입니다. 양변을 제곱하면 (p⃗−c⃗)·(p⃗−c⃗)=r² 이며, 성분으로 쓰면 (x−x₀)²+(y−y₀)²=r² 이 됩니다.

성분에 세 번째 높이 좌표인 z만 덧붙이면 끝나요.

덧셈, 뺄셈, 실수배, 내적 계산 규칙이 평면과 완전히 똑같아요.

크기도 피타고라스를 한 번 더 써서 √(a₁²+a₂²+a₃²)가 됩니다.