왜 공간도형과 공간좌표를 배울까? — 2차원 종이를 넘어 우리가 살아가는 진짜 우주를 다루는 도구
우리가 사는 세상은 3차원 입체 공간이에요. 평면 종이를 넘어 높이가 더해진 세상이지요.
3D 게임과 비행기 관제도 이 공간을 다룹니다. 현실을 컴퓨터로 옮기는 언어가 공간도형이에요.
🔎 「3차원 공간」은 평면과 무엇이 다른가요?
종이 평면은 가로와 세로 두 방향뿐이에요.
3차원 공간은 여기에 위아래 높이라는 세 번째 축이 더해져요.
덕분에 부피와 입체감, 공간 속 위치를 온전히 표현할 수 있답니다.
🔎 게임 속 3D 그래픽은 공간좌표를 어떻게 쓰나요?
게임 속 캐릭터와 건물의 모든 꼭짓점은 (x, y, z) 숫자로 저장돼요.
화면에 비추거나 조명을 비출 때 삼수선과 정사영 원리로 그림자를 계산해요.
초당 수십 번씩 공간좌표를 계산해 실감 나는 입체 화면을 보여줍니다.
① 3D 그래픽 엔진과 레이 트레이싱
언리얼·유니티 엔진은 수많은 다각형 그물망과 가상 광선의 교점을 구합니다. 이때 삼수선의 정리와 공간방정식을 초당 120회씩 실시간으로 계산합니다.
② 항공기 항로와 공중 충돌 방지(TCAS)
비행기는 위도·경도에 고도(z축)를 더한 3D 좌표로 하늘을 납니다. 충돌 방지 시스템은 비행기 사이의 공간거리 d=√(Δx²+Δy²+Δz²)를 감시해 안전을 지킵니다.
③ 산업용 6축 로봇 팔 기구학
자동차 공장의 로봇 팔은 관절의 회전을 계산해 용접 끝점의 공간 위치 (x, y, z)를 잡습니다. 정사영 원리로 공구 진입 각도까지 0.05mm 오차 이내로 정밀하게 제어합니다.
④ MRI 3D 볼륨과 방사선 암 치료
환자의 뇌종양을 3차원 구(Sphere) 모양으로 재구성합니다. 정상 세포를 보호하기 위해 여러 각도의 정사영 평면에서 감마선을 입체적으로 쬡니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 공간에서 직선과 평면의 위치 관계(꼬인 위치)를 판별하고 삼수선의 정리로 수선의 길이를 구한다. ② 이면각과 정사영의 넓이 공식 S′ = S cosθ를 능숙하게 다룬다. ③ 3차원 공간좌표에서 두 점 사이의 거리, 내분점, 무게중심을 계산한다. ④ 구의 방정식을 세우고 좌표평면 및 평면과의 교선(원)을 정밀 분석한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 평면에서 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 거리 공식은?
② 공간에서 세 번째 축 z가 추가되면 거리 공식은 어떻게 바뀔까요?
① √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) · ② 피타고라스 정리를 3차원으로 한 번 더 적용하여 √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)가 됩니다. z좌표의 차이 제곱이 피타고라스 빗변에 그대로 더해집니다.
1. 공간도형의 위치 관계와 삼수선의 정리 — 입체 기하의 기초
공간에서 평면이 언제 하나로 정해지는지 먼저 알아봐요.
한 직선 위에 없는 세 점은 평면 하나를 결정해요.
만나는 두 직선이나 평행한 두 직선도 평면 하나를 정합니다.
공간에서 두 직선의 위치 관계는 세 가지예요.
① 한 점에서 만난다 (두 직선이 한 평면 위에 있어요).
② 평행하다 (두 직선이 한 평면 위에 있어요).
③ 꼬인 위치: 만나지도 않고 평행하지도 않아요.
🔎 「꼬인 위치」가 무슨 말이죠?
평면에서는 만나지 않는 두 선이 무조건 평행해요.
하지만 3차원 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 두 선이 있어요.
입체 교차로에서 위아래로 엇갈려 지나가는 도로처럼, 한 평면에 둘 수 없는 관계를 꼬인 위치라고 해요.
🔎 상세 설명 보기 — 평면의 결정조건 4가지와 꼬인 위치가 생기는 까닭
네 발 의자보다 세 발 카메라 삼각대가 울퉁불퉁한 땅에서 흔들리지 않는 이유가 바로 평면의 결정조건에 있습니다. 공간에서 단 하나의 평면이 정해지는 조건은 딱 네 가지입니다.
① 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점
② 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점
③ 한 점에서 만나는 두 직선
④ 서로 평행한 두 직선
교실 천장의 가로 형광등과 바닥의 세로 걸레받이 선을 떠올려 보세요. 두 선을 아무리 길게 늘여도 영원히 만나지 않지만, 방향이 달라 평행하지도 않습니다. 이처럼 네 가지 조건 중 어디에도 해당하지 않아 한 장의 평면에 동시에 담을 수 없는 두 직선을 꼬인 위치에 있다고 합니다.
이제 공간에서 수직을 약속해 볼까요?
직선이 평면 위의 만나는 두 직선과 수직이면, 그 평면 전체와 수직입니다.
🔎 직선과 평면이 수직이라는 건 무슨 뜻이죠?
바닥 평면에 기둥을 똑바로 세우는 모습을 상상해 봐요.
기둥이 바닥의 어느 방향 선과도 직각을 이루어야 비틀거리지 않아요.
평면 위에서 서로 만나는 두 직선과 수직이기만 하면, 평면 전체와 수직이 됩니다.
공간에서 점과 선 사이 거리를 잴 때 삼수선의 정리를 씁니다.
평면 밖의 점 P, 평면 위 점 O, 직선 위 점 H에 대해 성립해요.
① PO ⊥ α, OH ⊥ l ⇒ PH ⊥ l
② PO ⊥ α, PH ⊥ l ⇒ OH ⊥ l
③ PH ⊥ l, OH ⊥ l, PO ⊥ OH ⇒ PO ⊥ α
🔎 삼수선의 정리는 왜 이름이 「삼수선」인가요?
직각을 이루는 수선이 세 개(PO, OH, PH) 나와서 삼수선이에요.
세 수선 중 두 개가 직각이면, 나머지 하나도 저절로 직각이 돼요.
공중에 뜬 점에서 바닥의 선까지 거리를 구할 때 아주 유용해요.
🔎 상세 설명 보기 — 직선·평면의 위치 관계와 삼수선의 정리 3단계 원리
공간에서 직선과 평면은 ① 직선이 평면에 포함되거나, ② 한 점에서 만나거나, ③ 평행합니다. 두 평면도 ① 만나서 교선을 만들거나, ② 평행합니다. 삼수선의 정리는 이름 그대로 세 개의 수선(PO, OH, PH) 사이의 관계입니다. 공중에 떠 있는 드론(P)에서 운동장 바닥(α)에 수직으로 레이저를 쏘아 내린 수선의 발을 O라 합시다(PO ⊥ α). 바닥의 점 O에서 트랙 직선(l)에 수직으로 그은 발이 H(OH ⊥ l)라면, 공중의 드론 P와 H를 곧장 이은 선분 PH도 트랙 l과 자동으로 직각(PH ⊥ l)을 이룹니다. 덕분에 공간의 빗변 길이를 직각삼각형 △POH의 피타고라스 정리(PH = √(PO² + OH²))로 손쉽게 구할 수 있습니다.
기억해요 — 꼬인 위치는 안 만나고 안 평행! 삼수선 정리는 세 직각 중 둘이 성립하면 나머지 하나도 직각!
[실물 시각화 1] 직육면체 속 꼬인 위치 (Skew Lines)
공간에서는 두 직선이 아무리 길어져도 영원히 만나지 않으면서 평행하지도 않을 수 있습니다.
[실물 시각화 2] 삼수선의 정리 입체 기하 도해
공간에서 점과 직선 사이의 최단 거리를 직각삼각형 피타고라스 정리로 환원시키는 열쇠입니다.
왜 삼수선의 정리 제1번이 성립할까?
직선 PO ⊥ α이므로 평면 α 위의 모든 직선과 수직입니다. 따라서 PO ⊥ l입니다. 또한 가정에서 OH ⊥ l입니다. 즉, 직선 l은 점 O, P, H가 만드는 평면 POH 위의 두 만나는 직선 PO와 OH에 동시에 수직입니다! 직선과 평면의 수직 정의에 의해 직선 l은 평면 POH 전체와 수직이 되며, 따라서 평면 POH 위에 놓인 선분 PH와도 필연적으로 수직(PH ⊥ l)이 됩니다.
꼬인 위치인 두 직선 사이의 각을 구할 때 실수
꼬인 위치에 있는 두 직선은 서로 만나지 않으므로 직접 각을 잴 수 없습니다. 반드시 어느 한 직선을 평행이동시켜 다른 직선과 한 점에서 만나도록 만든 뒤, 그 교점에서 생기는 사잇각을 구해야 합니다. 평행이동해도 직선의 방향은 변하지 않기 때문입니다.
이면각(Dihedral Angle)의 정의
공간에서 교선 l을 공유하는 두 반평면이 이루는 각을 이면각이라 합니다. 이면각의 크기를 잴 때는 교선 l 위의 임의의 점 A에서 각 평면 위로 교선에 각각 수직인 두 반직선 AB, AC를 그었을 때 생기는 평면각 ∠BAC의 크기로 측정합니다.
토목 교량의 트러스 구조와 3차원 정역학
에펠탑이나 한강 철교 같은 입체 트러스 교량은 모든 부재가 꼬인 위치나 삼각형 구조를 이루고 있습니다. 바람이나 지진 같은 외력이 가해질 때 힘이 평면이 아닌 3차원 공간으로 분산되도록 삼수선의 기하학을 활용하여 안정성을 극대화합니다.
📺📺 영상으로 보기공간좌표와 3차원 거리▶
📺 움직이는 개념 — 공간에서의 3D 거리
세 축 x, y, z의 차이 제곱을 모두 더해 3차원 피타고라스 거리를 구해요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
2. 정사영(Orthogonal Projection)과 이면각 — 그림자로 공간 넓이 구하기
두 평면이 만나서 생기는 각을 이면각이라고 해요.
교선 위의 한 점에서 각 평면에 수선을 그어 각을 잽니다.
🔎 「이면각」이 무슨 말이죠?
두 개의 면이 만나서 이루는 각이에요.
책을 반쯤 펼쳤을 때 양쪽 종이면 사이에 생기는 벌어짐을 떠올려 보세요.
경첩 선에서 각 면에 수직인 선 두 개를 그어 사잇각을 잽니다.
🔎 상세 설명 보기 — 두 평면이 이루는 이면각을 정확히 재는 법
노트북을 비스듬히 펼쳤을 때 화면과 키보드 판이 이루는 각도는 어떻게 잴까요? 아무 방향으로나 선을 그으면 각도가 제각각 달라집니다. 그래서 수학에서는 교선(노트북 경첩 선) 위의 한 점 A를 잡은 뒤, 화면 쪽 평면과 키보드 쪽 평면 위로 각각 교선에 수직인 두 선분 AB와 AC를 긋습니다. 이때 두 선분이 이루는 각 ∠BAC를 두 평면의 이면각의 크기라고 정의합니다. 두 평면이 이루는 각은 이면각 중 크지 않은 각(0° ≤ θ ≤ 90°)으로 택합니다.
도형에서 평면으로 수직으로 내린 그림자를 정사영이라 해요.
두 평면의 사잇각이 θ일 때 다음 공식이 성립합니다.
🔎 「정사영」이 무슨 말이죠?
바른 수직(정)으로 쏜 빛에 비친 그림자(사영)예요.
한낮에 해가 머리 꼭대기에서 내리쬘 때 생기는 그림자와 같아요.
도형의 모든 점에서 바닥 평면으로 똑바로 수선을 내린 모양이랍니다.
① 선분 길이의 정사영 l′:
l′ = l cos θ
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? (선분 정사영)
기울어진 막대와 바닥 그림자가 직각삼각형을 만들어요.
막대 길이 l이 빗변이고, 바닥 그림자 l′이 밑변이에요.
밑변은 빗변 × 코사인이므로 l′ = l cos θ가 돼요.
② 평면도형 넓이의 정사영 S′:
S′ = S cosθ ⇔ cosθ = S′ / S
원래 넓이와 그림자 넓이의 비율로 이면각을 단번에 구해요.
🔎 상세 설명 보기 — 정사영의 길이와 넓이 공식이 나오는 원리와 숫자 예시
태양이 머리 꼭대기에서 수직으로 비출 때, 바닥과 60°로 비스듬히 세운 길이 10인 막대의 바닥 그림자 길이는 얼마일까요? 막대를 빗변으로 하는 직각삼각형의 밑변이므로 l′ = 10 cos 60° = 5가 됩니다.
넓이도 똑같습니다. 밑변이 교선과 평행한 도형은 바닥에 그림자를 내려도 가로(밑변) 길이는 전혀 변하지 않고, 경사진 세로(높이) 길이만 cos θ배로 줄어듭니다. 예를 들어 넓이가 S = 20인 판을 바닥과 60° 각도로 세우면 그림자 넓이는 S′ = 20 cos 60° = 10이 됩니다.
기억해요 — 정사영 그림자 넓이는 S′ = S cosθ. 이면각 코사인은 (그림자 넓이 ÷ 원래 넓이)!
[실물 시각화 3] 정사영 넓이 S′ = S cosθ 기하 원리
경사면의 높이 폭만 cosθ 비율로 줄어들고 밑변 폭은 보존되므로 넓이는 S cosθ가 됩니다.
[실물 시각화 4] 태양광 패널의 일사량 정사영 흡수 면적
태양의 고도에 맞춰 패널 각도를 조절하는 솔라 트래커의 원리가 바로 정사영입니다.
왜 정사영 넓이는 어떤 평면도형이든 S′ = S cosθ 가 성립할까?
먼저 밑변이 두 평면의 교선 l과 평행한 삼각형을 생각해 봅시다. 교선과 평행한 밑변의 길이 a는 정사영을 내려도 길이가 그대로 유지됩니다. 반면 교선에 수직인 삼각형의 높이 h는 이면각 θ만큼 기울어져 있으므로 정사영된 높이가 h′ = h cos θ로 줄어듭니다. 따라서 정사영된 삼각형의 넓이는 S′ = (1/2)a(h cos θ) = S cos θ가 됩니다. 일반적인 다각형이나 원 같은 도형도 무수히 많은 작은 삼각형으로 쪼개어 더할 수 있으므로 언제나 S′ = S cos θ가 성립합니다.
원래 넓이 S와 그림자 넓이 S′의 위치 역전 실수
cos θ ≤ 1이므로 정사영의 넓이 S′는 항상 원래 도형의 넓이 S보다 작거나 같습니다(S′ ≤ S). 문제를 풀 때 cos θ = S / S′로 분모와 분자를 거꾸로 뒤집어 계산하여 코사인 값이 1보다 크게 나오는 실수를 조심하세요! 반드시 "그림자 넓이 = 원래 넓이 × cosθ"입니다.
정사면체 이면각의 초고속 계산
한 변의 길이가 a인 정사면체에서, 한 면 ABC를 밑면 BCD에 정사영하면 밑면의 무게중심에 꼭짓점이 떨어지므로 정사영 면적은 밑면 넓이의 정확히 1/3이 됩니다. 따라서 S′ = (1/3)S = S cos θ ⇒ cos θ = 1/3 (약 70.5°)을 복잡한 삼각비 없이 3초 만에 암산할 수 있습니다.
서로 수직인 세 면을 가진 삼각뿔과 공간 피타고라스 원리
직각삼각형에서 빗변의 제곱이 두 변의 제곱의 합(c² = a² + b²)인 성질은 공간에서도 넓이 관계로 확장됩니다. 원점 O에서 서로 수직으로 만나는 세 면의 넓이를 S₁, S₂, S₃라 하고, 비스듬한 경사면 ABC의 넓이를 S라 하면 삼수선의 정리와 정사영에 의해 S² = S₁² + S₂² + S₃²이라는 아름다운 관계가 성립합니다.
가로 a, 세로 b, 높이 c인 직육면체 상자를 떠올려 보세요. 먼저 바닥(xy평면)의 직각삼각형에서 밑면 대각선 길이를 구하면 d₁ = √(a² + b²)입니다. 이제 이 밑면 대각선 d₁과 수직으로 서 있는 높이 c가 다시 직각삼각형을 이룹니다. 여기에 피타고라스 정리를 한 번 더 쓰면 공간 대각선의 길이 d = √(d₁² + c²) = √(a² + b² + c²)이 얻어집니다.
내분점과 외분점도 마찬가지입니다. 공간의 선분 AB를 각 좌표축에 정사영하면 평행선의 성질에 의해 길이의 비 m : n이 세 축에서 그대로 유지됩니다. 따라서 평면에서 쓰던 내분(+)·외분(−) 공식에 z좌표 한 칸만 똑같이 덧붙이면 됩니다.
기억해요 — 공간좌표 공식은 평면 공식에 z좌표 한 줄을 그대로 얹은 것!
[실물 시각화 5] 직육면체 2단계 피타고라스 공간 거리 유도
바닥 평면 피타고라스에 수직 높이 피타고라스를 한 번 더 적용하여 3차원 공식이 완성됩니다.
[실물 시각화 6] 8개 팔분공간(Octants)과 좌표평면 투영
3개의 좌표평면(xy, yz, zx)이 원점 O에서 직교하며 공간을 8개의 영역(팔분공간)으로 나눕니다.
왜 축 대칭이동은 그 축만 빼고 나머지 둘의 부호가 바뀔까?
거울을 생각하면 직관적입니다. 점 P(a, b, c)를 x축에 대하여 180도 회전 대칭시키면, 회전축인 x좌표는 전혀 움직이지 않고 제자리에 고정(a)됩니다. 하지만 회전축과 수직인 y방향과 z방향은 원의 반대편으로 돌아가므로 부호가 둘 다 반대로 뒤집혀 (a, -b, -c)가 됩니다. 반대로 xy평면 대칭은 평면 안의 x, y는 그대로 두고 수직인 z만 반대로(-c) 바뀝니다!
점과 평면 사이 최단거리 AP + PB 대칭축 실수
평면 위의 점 P에 대해 AP + PB의 최솟값을 구할 때, 반드시 P가 놓여 있는 바로 그 평면에 대해 점을 대칭이동해야 합니다! 예를 들어 P가 xy평면 위의 점이라면 z좌표만 반대로 바꾼 점 A'(x_1, y_1, -z_1)을 잡아야 직선 A'B가 xy평면을 관통하며 최단거리를 이룹니다.
직선 OP가 세 좌표축과 이루는 각과 피타고라스 정리
원점이 아닌 점 P(a, b, c)에서 x축, y축, z축에 각각 수선의 발을 내리면 선분 OP(길이 d)를 빗변으로 하는 세 개의 직각삼각형이 만들어집니다. 직선 OP가 세 축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 α, β, γ라 하면 cos α = a/d, cos β = b/d, cos γ = c/d입니다. 따라서 cos²α + cos²β + cos²γ = (a² + b² + c²)/d² = 1이 항상 성립합니다.
항공역학의 요(Yaw), 피치(Pitch), 롤(Roll) 오일러 각도
항공기나 우주왕복선은 3차원 공간에서 3개 축을 중심으로 회전합니다: z축 회전은 좌우 방향 전환(Yaw), y축 회전은 기수 상하 각도(Pitch), x축 회전은 날개 좌우 기울기(Roll)입니다. 현대 비행 제어 컴퓨터는 이 3차원 회전 공간좌표를 초당 수천 번 보정합니다.
구 위의 임의의 점을 P(x, y, z)라 하면 중심 C(a, b, c)까지의 거리가 항상 r이므로 CP = √((x−a)² + (y−b)² + (z−c)²) = r입니다. 양변을 제곱하면 구의 방정식이 완성됩니다.
특히 구가 좌표평면에 접할 때는 중심에서 그 평면까지의 거리가 곧 반지름 r이 됩니다.
- xy평면에 접하는 구: r = |c| ⇒ (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = c²
- x축에 접하는 구: 중심에서 x축 수선의 발 (a, 0, 0)까지의 거리가 반지름이므로 r² = b² + c²이 됩니다.
기억해요 — 구는 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r². 평면과 만나면 단면은 반지름 √(r²−d²)인 원!
[실물 시각화 7] 구와 평면의 교선 (단면 원 반지름 유도)
구를 어느 방향의 평면으로 자르든 잘린 단면은 언제나 피타고라스 법칙에 의한 원이 됩니다.
[실물 시각화 8] GPS 3개 구면 교차(Trilateration) 측위
각 위성으로부터 전파 도달 시간 거리 r을 반지름으로 하는 세 구면의 교점이 내 스마트폰 위치입니다.
왜 구를 비스듬히 잘라도 타원이 아니라 무조건 완벽한 원이 될까?
원뿔은 밑면과 비스듬히 자르면 타원이 되지만, 구는 모든 방향으로 완벽한 대칭성을 갖는 입체이기 때문입니다! 구의 중심 C에서 자르는 평면에 수선을 내리면 수선의 발 H가 생깁니다. 평면 위의 단면 경계선 위의 임의의 점 Q에 대해, 선분 CQ = r(구의 반지름)이고 CH = d(수선의 길이)입니다. 직각삼각형 △CHQ에서 선분 HQ = √(r² − d²)로 Q의 위치와 상관없이 완전히 일정합니다. 점 H로부터 같은 거리에 있는 점들의 모임이므로 무조건 원이 됩니다!
좌표평면과 만나는 교선의 반지름 계산 실수
구 (x−1)² + (y−2)² + (z−3)² = 25가 xy평면과 만나는 원의 반지름을 구할 때 그냥 구의 반지름 5로 착각하면 안 됩니다. xy평면은 z = 0이므로 대입하면 (x−1)² + (y−2)² + (−3)² = 25 ⇒ (x−1)² + (y−2)² = 16이 되어 반지름은 √16 = 4입니다! 중심의 z좌표 거리 제곱(9)만큼 반지름 제곱에서 차감해야 합니다.
구면삼각법(Spherical Trigonometry)과 대권항로
지구는 거대한 구이므로, 서울에서 뉴욕으로 갈 때 평면 지도상 직선으로 날아가지 않고 북극 근처를 통과하는 곡선 항로를 탑니다. 구의 중심을 지나는 평면으로 구를 잘랐을 때 생기는 가장 큰 원을 대원(Great Circle)이라 하며, 대원의 호를 따라 비행하는 것이 연료와 비행시간을 극적으로 줄이는 '대권항로'입니다.
단백질 분자 구조 결정과 PDB 구형 반데르발스 반경
생물학에서 바이러스나 단백질 분자 모델을 컴퓨터에 저장할 때, 각 탄소·산소·질소 원자를 3D 공간좌표 (x_i, y_i, z_i)와 반데르발스 반지름 r_i를 지닌 구들의 합집합으로 표현합니다. 신약 후보 물질이 암 단백질의 활성 부위 구형 포켓에 꼭 맞물려 결합하는지 공간기하학적으로 계산합니다.
스스로 풀어요 (3단계 20제 완전정복)
수선의 발, 대칭이동, 두 점 사이 거리, 중점, 구의 표준방정식의 기본 연산을 다집니다.
내분점·무게중심, 삼수선 정리 수선 길이, 구와 좌표평면 교선의 반지름을 정확히 해결합니다.
정사영 대칭 최단거리, 정사면체 이면각, 구 위의 점 최댓값, 삼각뿔 정사영 심화 문항을 정복합니다.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 공간좌표 문제는 평면 공식에 z좌표 한 줄만 추가하면 그대로 풀립니다. 「더 간결하게」: 구와 평면의 교선 원은 r′ = √(r² − d²) 피타고라스 공식으로 통일하세요.
객관식 진단 퀴즈 — 공간도형과 공간좌표
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 원점에서 점 (a, b, 2)까지의 공간 거리 (높이 c=2 고정)
높이 z=c=2로 고정된 상태에서 바닥 좌표 a와 b를 조절하며 3차원 피타고라스 대각선 거리를 확인해 보세요.
a 1b 2c (고정) 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 피타고라스 원리를 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
자주 틀리는 다섯 가지
1만나지 않는 두 직선을 무조건 평행하다고 착각 공간에서는 만나지 않아도 한 평면 위에 있지 않은 ‘꼬인 위치’일 수 있어요.
2정사영 공식에서 원래 넓이와 그림자 넓이 역전 그림자 넓이 S′는 원래 넓이 S보다 클 수 없어요(S′ = S cosθ ≤ S).
3축 대칭이동과 평면 대칭이동의 부호 혼동x축 대칭은 y, z 두 개의 부호가 바뀌고, xy평면 대칭은 z 하나의 부호만 바뀌어요.
4구와 평면이 만나는 단면 원의 반지름을 구의 반지름 r로 착각 단면 원의 반지름은 중심에서 평면까지의 거리 d를 뺀 피타고라스 공식 r′ = √(r² − d²)으로 구해야 해요.
5공간 최단거리 AP + PB에서 엉뚱한 평면에 대칭이동 반드시 동점 P가 움직이는 바로 그 평면에 대하여 한 점을 대칭이동해야 해요.
예시 — 가로 a, 세로 b, 높이 c인 직육면체의 대각선을 상상해 보세요. 바닥면에서 가로 a와 세로 b가 이루는 직각삼각형의 빗변 길이는 피타고라스 정리에 의해 d₁ = √(a²+b²)가 됩니다. 이제 이 바닥 대각선 d₁을 밑변으로 삼고, 수직 모서리 높이 c를 높이로 삼는 새로운 수직 직각삼각형을 세우면, 이 직각삼각형의 빗변이 바로 우리가 구하려는 공간 대각선 d가 됩니다. 피타고라스 정리를 다시 적용하면 d² = d₁² + c² = (a² + b²) + c²이 되므로 d = √(a² + b² + c²)가 유도됩니다.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요. 그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요거의복습 필요아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 3D 공간좌표를 처음 접해 낯설어하는 아이에게 “우리가 숨 쉬는 방 안의 모서리가 바로 x, y, z축이란다” 하고 생활 속 실제 공간을 짚어주며 친근감을 불어넣어 주세요.
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눈을 감아요
방금 배운 공간도형과 공간좌표를 머릿속에 천천히 그려 봐요. 꼬인 위치와 삼수선 정리 → 정사영 S′=Scosθ → 공간 거리 d=√(Δx²+Δy²+Δz²) → 구의 방정식 떠오르는 만큼만, 괜찮아요.
떠오르는 동안 잠시 기다려요…
이 교과서를 내 기기에 담아둘까요? 언제든 오프라인으로 보고, 친구에게도 나눠줄 수 있어요.
