편의점 판매량과 지하철 노선망은 표로 정리됩니다.
스마트폰 화면 픽셀도 가로세로로 배열됩니다.
세상의 수많은 정보는 직사각형 표 형태로 모여 있습니다.
표 전체를 문자 하나로 묶어 다루는 도구가 행렬입니다.
수많은 숫자를 한 번에 묶어 더하고 곱합니다.
디지털과 인공지능 시대를 이끄는 핵심 수학 언어입니다.
🔎 왜 복잡한 숫자를 표(행렬)로 묶어 다룰까요?
숫자 수천 개를 따로 다루면 식이 끝없이 길어집니다. 표 전체를 문자 하나로 묶으면 계산이 단순해집니다. 컴퓨터와 인공지능도 행렬 계산으로 데이터를 처리합니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요 (2022 개정 공통수학1 성취기준). ① 행렬의 뜻과 (i,j) 성분 aᵢⱼ를 읽고, 두 행렬이 서로 같을 조건(A=B)을 이해한다. ② 행렬의 덧셈·뺄셈·실수배와 영행렬 O를 계산한다. ③ 행렬의 곱셈(행×열)과 단위행렬 E, 행렬의 거듭제곱 성질을 익힌다. (※ 3절의 역행렬과 행렬식은 고1 내신 필수 범위 밖인 심화 읽을거리로 구분해 담았습니다.)
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 두 순서쌍 (x+1, 3) = (4, y−2) 가 서로 같을 때, x와 y의 값은?
② 1,000원짜리 빵 2개와 1,500원짜리 우유 3개의 총금액을 구하는 식 (2×1000 + 3×1500) 의 값은?
① x=3, y=5 (같은 자리끼리 같다는 원리는 두 행렬이 서로 같을 조건으로 이어져요) · ② 6,500원 (짝지은 값끼리 곱해 더하는 계산이 바로 행렬 곱셈의 기본 원리예요).
🔎 순서쌍과 행렬은 어떻게 이어지나요?
순서쌍은 두 수의 자리를 짝지은 것입니다. 행렬은 순서쌍을 여러 줄로 넓힌 직사각형 표입니다. 대응하는 같은 자리끼리 다룬다는 기본 원리는 동일합니다.
1. 행렬의 뜻과 덧셈·뺄셈·실수배 — 수를 직사각형 표로 묶기
학교 매점 1호점에는 빵 60개와 우유 30개가 있습니다.
2호점에는 빵 80개와 우유 20개가 있습니다.
숫자만 직사각형으로 나열한 것을 행렬(Matrix)이라 합니다.
i행과 j열이 만나는 위치 성분을 (i, j) 성분 aᵢⱼ로 씁니다.
크기가 같고 대응 성분이 모두 같으면 두 행렬은 서로 같습니다.
같은 자리 성분끼리 더하거나 빼며, 실수배는 모든 성분에 곱합니다.
기억해요 — 성분 기호 aᵢⱼ는 (앞 번호 i = 가로줄 '행', 뒤 번호 j = 세로줄 '열') / 덧셈·뺄셈은 같은 크기끼리 같은 자리 성분끼리!🔎 「(i, j) 성분」은 어떻게 읽나요?
행렬이라는 이름 순서대로 읽습니다. 행(가로줄) 번호를 먼저 찾습니다. 열(세로줄) 번호를 나중에 찾습니다. a₂₃은 2행 3열의 성분입니다.
🔎 크기가 다른 두 행렬은 왜 더할 수 없나요?
행렬 덧셈은 같은 자리 성분끼리 짝을 짓습니다. 행이나 열의 개수가 다르면 짝이 맞지 않습니다. 그래서 크기가 완전히 같을 때만 더할 수 있습니다.
🔎 실수배 kA는 왜 모든 성분에 곱하나요?
행렬의 모든 품목이 k배로 늘어나는 상황입니다. 특정 줄만 곱하면 전체 비율이 깨집니다. 따라서 괄호 안의 모든 성분에 k를 각각 곱합니다.
📘 대표 예제 1 — 성분의 기호 aᵢⱼ, 두 행렬이 같을 조건, 그리고 2A − B 계산하기
두 행렬 A = (1행: 1, −2 / 2행: 3, 4), B = (1행: 5, 0 / 2행: −1, 2)에 대하여 다음을 구해 볼까요?
(1) 행렬 A의 (1, 2) 성분 a₁₂와 (2, 1) 성분 a₂₁ 구하기
· a₁₂는 제1행(위쪽 가로줄)과 제2열(오른쪽 세로줄)이 만나는 성분이므로 a₁₂ = −2입니다.
· a₂₁은 제2행(아래쪽 가로줄)과 제1열(왼쪽 세로줄)이 만나는 성분이므로 a₂₁ = 3입니다.
(2) (1행: x+1, −2 / 2행: 3, 4) = A일 때 실수 x의 값 구하기
· 두 행렬이 서로 같으려면 대응하는 위치의 성분이 같아야 하므로, (1, 1) 성분끼리 비교하면 x + 1 = 1에서 x = 0입니다.
(3) 실수배와 뺄셈 2A − B 계산하기
· 먼저 A의 모든 성분에 2를 곱하면 2A = (1행: 2, −4 / 2행: 6, 8)입니다.
· 이제 같은 위치의 성분끼리 빼면 2A − B = (1행: −3, −4 / 2행: 7, 6)이 됩니다.
왜 숫자들을 낱개로 두지 않고 직사각형 표(행렬)로 묶어 다룰까?
학급 학생 30명의 국어·영어·수학·과학 점수 120개를 변수 a, b, c, …로 일일이 적어 계산하려면 식을 120번 써야 해요. 하지만 이 표를 30×4 행렬 A 하나로 묶고, 각 성분에 ‘몇 번째 가로줄(행 i), 몇 번째 세로줄(열 j)’이라는 주소 (i, j)를 붙여 주면, 1학기 점수표 A와 2학기 점수표 B의 합산도 단 한 줄의 식 A + B로 끝납니다. 주소 (i, j)의 순서가 헷갈리지 않도록 ‘행렬(行列)’이라는 단어의 글자 순서 그대로 ‘행(가로줄) 먼저, 열(세로줄) 나중’으로 약속했답니다.
크기가 다르면 덧셈·뺄셈 불가 & 실수배는 한 줄이 아니라 모든 성분에!
두 행렬은 크기(m×n)가 완전히 같아야만 더하거나 뺄 수 있어요. 예를 들어 2×3 행렬과 3×2 행렬은 성분의 개수가 둘 다 6개라도 모양(행·열 개수)이 다르므로 서로 더할 수 없고 같을 수도 없습니다. 또한 실수배 kA를 할 때 특정 행이나 열에만 k를 곱하는 실수를 조심하세요 — 행렬 안의 모든 성분에 빠짐없이 k를 곱해야 합니다.
🔎 좌표평면 (x, y)와 행렬 주소 (i, j)의 차이
좌표평면 점 (x, y)는 가로축 x를 먼저 보고 세로축 y를 봅니다.
행렬의 (i, j) 성분은 위에서 i번째 행(가로줄)을 먼저 찾습니다.
그 줄에서 왼쪽에서 j번째 열(세로줄)을 찾아 성분을 읽습니다.
행렬의 곱셈도 이 실생활 원리와 똑같습니다.
앞 행렬의 가로줄(행)과 뒤 행렬의 세로줄(열)을 짝지어 곱합니다.
앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 곱할 수 있습니다.
행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다.
AB와 BA의 결과는 대부분 서로 다릅니다.
단위행렬 E는 곱셈에서 숫자 1처럼 작용합니다.
기억해요 — AB의 (i,j) 성분 = (A의 i행) × (B의 j열) 차례로 곱해 더하기 / 크기: (m×k)×(k×n) = (m×n) / AE = EA = A🔎 행렬 곱셈은 왜 가로(행)×세로(열)로 곱하나요?
구매 수량(가로줄)과 단가 목록(세로줄)을 짝짓는 원리입니다. 각 품목의 개수와 가격을 곱해 총합을 만듭니다. 현실의 데이터를 집계하는 가장 자연스러운 방식입니다.
🔎 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행이 왜 같아야 하나요?
행의 성분 개수와 열의 성분 개수가 같아야 짝이 맞습니다. 짝이 하나라도 비면 내적 계산을 할 수 없습니다. 그래서 (m×k)와 (k×n)처럼 가운데 숫자가 일치해야 합니다.
🔎 행렬 곱셈은 왜 AB ≠ BA인가요?
앞뒤 순서가 바뀌면 짝짓는 행과 열이 완전히 달라집니다. 크기 자체가 달라져 곱셈이 불가능해지기도 합니다. 따라서 행렬에서는 곱하는 순서를 엄격히 지켜야 합니다.
🔎 단위행렬 E는 왜 대각선만 1이고 나머지는 0인가요?
주대각선의 1은 자기 자리 성분을 그대로 유지시킵니다. 나머지 자리의 0은 다른 성분이 섞이지 않게 막아 줍니다. 덕분에 어떤 행렬과 곱해도 원래 행렬이 그대로 나옵니다.
기억 그림 · 행×열 곱셈 계산
A의 파란 가로줄(행)과 B의 황금 세로줄(열)을 차례로 곱해 더하면 결과 행렬의 한 성분이 나와요.
📘 대표 예제 2 — 행렬의 곱셈 AB와 BA 직접 비교하기 & (A+B)² 전개
두 행렬 A = (1행: 1, 2 / 2행: 3, 4), B = (1행: 2, 0 / 2행: 1, 3)에 대하여 AB와 BA를 각각 구해 비교해 볼까요?
(1) AB 계산 (앞이 A의 행, 뒤가 B의 열) AB = (1행: 1·2+2·1=4, 1·0+2·3=6 / 2행: 3·2+4·1=10, 3·0+4·3=12)
(2) BA 계산 (앞이 B의 행, 뒤가 A의 열) BA = (1행: 2·1+0·3=2, 2·2+0·4=4 / 2행: 1·1+3·3=10, 1·2+3·4=14)
→ 이처럼 AB ≠ BA이므로, 분배법칙으로 (A+B)² = (A+B)(A+B)를 전개할 때도 가운데 항 AB와 BA를 합치지 못하고 반드시 (A+B)² = A² + AB + BA + B²으로 계산해야 합니다.
📘 대표 예제 3 — 행렬의 거듭제곱 Aⁿ의 규칙성 찾기와 단위행렬 E
행렬 A = (1행: 1, 2 / 2행: 0, 1)에 대하여 A², A³을 구하고, 이를 이용해 A²⁰을 구해 볼까요?
· A² = (1행: 1, 4 / 2행: 0, 1), A³ = (1행: 1, 6 / 2행: 0, 1)
· 규칙을 관찰하면 거듭제곱할 때마다 (1, 2) 성분만 2, 4, 6, …, 2n으로 커지므로 자연수 n에 대하여 Aⁿ = (1행: 1, 2n / 2행: 0, 1)입니다. 따라서 A²⁰ = (1행: 1, 40 / 2행: 0, 1)입니다.
· 또한 단위행렬 E와는 AE = EA = A로 교환법칙이 성립하므로, (A+E)² = A² + 2A + E처럼 다항식 곱셈공식을 그대로 쓸 수 있습니다.
🔎 행렬 거듭제곱 Aⁿ의 규칙은 어떻게 찾나요?
A²과 A³을 차례로 직접 계산해 봅니다. 변하는 성분과 변하지 않는 성분의 규칙을 관찰합니다. 자연수 n에 대한 일반식을 세우면 높은 거듭제곱도 바로 구합니다.
🔎 [심화 탐구] 이차정사각행렬 차수 낮추기 공식 (케일리-해밀턴 정리)
이차정사각행렬 A = (1행: a, b / 2행: c, d)에 대하여 항상 다음 식이 성립합니다. A² − (a+d)A + (ad−bc)E = O
예를 들어 A = (1행: 1, 2 / 2행: 3, 4)이면 a+d = 5, ad−bc = −2이므로 A² − 5A − 2E = O입니다. 복잡한 고차 거듭제곱의 차수를 빠르게 줄이는 유용한 심화 탐구 공식입니다.
📺📺 영상으로 보기A×B 행렬 곱셈▶
📺 움직이는 개념 — A×B 행렬 곱셈
행(파란 줄)과 열(황금 줄)이 만나 결과 행렬 원소를 만들어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
3. 더 나아가기 · 고1 교육과정 외 심화역행렬과 행렬식 — 행렬의 나눗셈 대신
📌 학습 안내: 공통수학1의 필수 범위는 1~2절까지입니다.
3절은 고등학교 상위 진로와 대학 과정으로 이어집니다.
행렬에서 나눗셈을 어떻게 대신하는지 가볍게 읽어 보세요.
실수에서 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같습니다.
행렬에서는 곱해서 단위행렬 E가 되는 역행렬 A⁻¹를 사용합니다.
분모 ad−bc가 0이 아닐 때만 역행렬이 존재합니다.
심화 핵심 — 역행렬 존재 조건 ⟺ det(A) = ad−bc ≠ 0 / AX = B ⟹ X = A⁻¹B🔎 행렬에서는 왜 분수 꼴(B/A)을 쓰지 않나요?
행렬 곱셈은 곱하는 순서에 따라 결과가 다릅니다. B/A라고 쓰면 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지 알 수 없습니다. 그래서 A⁻¹B 또는 BA⁻¹로 명확히 구별해 적습니다.
🔎 ad − bc = 0이면 왜 역행렬이 없나요?
공식 분모가 0이 되므로 나눌 수 없습니다. 기하학적으로는 평면 도형 넓이가 0으로 찌그러진 상태입니다. 납작해진 점이나 선은 원래 상태로 되돌릴 수 없습니다.
①단위행렬 E
E = (1행: 1, 0 / 2행: 0, 1). 어떤 행렬과 곱해도 자기 자신이 나오는 곱셈 항등원입니다.
②행렬식 (det)
det(A) = ad−bc. 이 값이 0이 아닐 때만 역행렬이 존재합니다.
③역행렬 공식
A⁻¹ = 1/(ad−bc) × (1행: d, −b / 2행: −c, a). 주대각선 성분을 바꾸고 나머지 부호를 반전합니다.
④연립방정식과 행렬
AX=B의 양변 왼쪽에 역행렬을 곱하면 X = A⁻¹B로 해가 구해집니다.
🔎 2×2 역행렬 공식 유도 — 왜 주대각선 자리를 바꿀까?
외우지 않고 행렬 곱셈을 직접 해 보면 이유가 보입니다. 1단계 (행×열 곱셈):(a, b / c, d) × (d, −b / −c, a) = (ad−bc, 0 / 0, ad−bc) = (ad−bc)E 2단계 (양변 나누기): 비대각선 성분이 0으로 깔끔히 사라집니다. 주대각선에 ad−bc만 남으므로 양변을 나누면 역행렬 공식이 완성됩니다.
🔎 연립일차방정식을 행렬 방정식 AX = B로 푸는 원리
계수들을 행렬 A로 묶고 미지수를 열벡터 X로 둡니다. 양변 왼쪽에 역행렬 A⁻¹를 곱하면 X = A⁻¹B가 됩니다. 컴퓨터 프로그램이 대규모 연립방정식을 푸는 표준 방식입니다.
[심화] 연립일차방정식을 행렬 방정식 AX=B로 표현하기
연립방정식 2x+y=3, x+y=2의 계수를 묶으면 행렬 곱셈 (1행: 2, 1 / 2행: 1, 1)(x / y) = (3 / 2), 즉 AX = B로 쓸 수 있어요. 이때 ad−bc = 1 ≠ 0이므로 A⁻¹ = (1행: 1, −1 / 2행: −1, 2)이고, X = A⁻¹B = (1 / 1)이 되어 x=1, y=1이 한 번에 구해집니다.
행렬에는 분수 꼴 나눗셈(B/A) 기호가 없어요!
행렬에서는 왜 B/A라는 분수 표기를 절대 쓰지 않을까요? 만약 B/A라고 쓰면 그것이 A⁻¹를 왼쪽에 곱한 A⁻¹B인지, 오른쪽에 곱한 BA⁻¹인지 구별할 수 없기 때문이에요. AX = B에서는 A가 왼쪽에 있으므로 양변의 왼쪽에 A⁻¹를 곱해 X = A⁻¹B로 풀고, XA = B에서는 양변의 오른쪽에 A⁻¹를 곱해 X = BA⁻¹로 구별해 써야 합니다.
📊 실용 그림 ① — 지하철 노선망과 인접 행렬 M, 그리고 2단계 경로수 M²
그래프 이론과 행렬의 거듭제곱: 역 사이의 연결을 0과 1로 표현합니다.
인접 행렬 M을 제곱하면 2구간 이동 경로 수가 나옵니다.
M²(1,3) = 2는 시청에서 동대문까지 2가지 길이 있음을 뜻합니다.
🔎 인접 행렬을 제곱(M²)하면 왜 경로 수가 되나요?
행렬 곱셈의 행과 열 곱은 중간 역들을 거쳐 가는 경우를 합산합니다. 1구간 이동 둘이 모두 연결된 길만 곱해져 1이 됩니다. 이들을 모두 더하므로 정확한 2구간 경로 수가 됩니다.
📊 실용 그림 ② — 편의점 2개 지점 매출액 집계: 판매량 행렬(2×3) × 단가 벡터(3×1)
실생활의 행렬 곱셈: 행과 열을 곱해 더하는 규칙은 데이터 집계에 쓰입니다.
판매량 행과 단가 열을 곱하면 지점별 매출이 나옵니다.
스프레드시트와 기업 전산 시스템의 기본 계산 원리입니다.
📊 실용 그림 ③ 심화 읽을거리— 2D 컴퓨터 그래픽스: 점 (2, 1)의 원점 중심 90° 반시계 회전 변환
[심화 읽을거리] 컴퓨터 그래픽스와 행렬 곱셈: 게임과 3D CG 회전은 행렬 곱셈으로 계산합니다.
좌표 (2, 1)에 회전 행렬을 곱하면 (−1, 2)가 바로 도출됩니다.
화면 속 캐릭터의 모든 변환이 행렬 곱셈으로 완성됩니다.
📊 실용 그림 ④ 심화 읽을거리— 인구 이동 전이 행렬: 도시 60만 ↔ 교외 40만의 장기 균형 상태
[심화 읽을거리] 인구 이동과 행렬 곱셈: 이동 비율 행렬 T에 인구 벡터를 곱합니다.
곱한 결과가 원래 인구비와 같아져 균형을 이룹니다.
검색엔진 순위 알고리즘과 기상 예측에 쓰이는 핵심 수학입니다.
📊 실용 그림 ⑤ 심화 읽을거리— 행렬식 det(A) = ad−bc 의 기하학적 의미: 넓이 확대 배율
[심화 읽을거리] 행렬식의 기하학적 의미: det(A) = ad − bc는 도형 넓이의 확대 배율입니다.
ad − bc = 0이면 넓이가 0인 선이나 점으로 납작해집니다.
납작해진 도형은 원래 모양으로 되돌릴 수 없어 역행렬이 없습니다.
📊 실용 그림 ⑥ — 인공지능(AI) 신경망 퍼셉트론의 핵심: 행렬 곱셈 Y = W · X + B
인공지능과 거대 행렬 곱셈: 생성형 AI는 수천억 개 가중치와 입력을 곱해 동작합니다.
그래픽카드(GPU)가 거대한 행렬 곱셈을 병렬로 처리합니다.
고1에서 배우는 행렬이 최첨단 AI 기술의 심장입니다.
🔎 인공지능(AI)과 행렬 곱셈은 어떤 관계인가요?
인공신경망은 입력값과 가중치들의 거대한 행렬 곱셈으로 연산합니다. GPU는 수만 개의 코어로 이 곱셈을 동시에 병렬 처리합니다. 고등학교에서 배우는 행렬이 최첨단 AI의 기반입니다.
틀리기 쉬운 함정 베스트 5 — 행렬 오답 탈출
성분 aᵢⱼ의 (행, 열) 순서와 곱셈 AB, BA의 순서
행렬에서는 순서가 바뀌면 전혀 다른 대상이 됩니다.
- 성분 번호:a₂₃은 ‘2행 3열’의 성분이지 ‘2열 3행’이 아닙니다. 항상 가로줄(행)이 먼저, 세로줄(열)이 나중입니다.
- 곱셈 순서: 예컨대 A = (1행: 1, 0 / 2행: 0, 0), B = (1행: 0, 1 / 2행: 0, 0)일 때, AB = (1행: 0, 1 / 2행: 0, 0)이지만 BA = (1행: 0, 0 / 2행: 0, 0) = O입니다. 문제에서 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지 늘 확인하세요.
둘 다 영행렬이 아닌데 곱해서 영행렬이 되는 '영인자'
실수에서는 ab = 0이면 반드시 a = 0 또는 b = 0입니다. 하지만 행렬에서는 A ≠ O, B ≠ O이면서도 AB = O가 되는 경우가 무수히 많습니다!
- 예: A = (1행: 1, 0 / 2행: 0, 0) ≠ O, B = (1행: 0, 0 / 2행: 0, 1) ≠ O이지만 AB = O입니다.
- 이런 행렬들을 영인자(Zero Divisor)라고 부릅니다. 따라서 AB = O라는 조건만으로 "A = O 또는 B = O이다"라고 답하면 즉시 오답이 됩니다!
다항식 곱셈공식을 행렬에 그대로 적용하는 실수
(A+B)² = (A+B)(A+B) = A² + AB + BA + B²입니다.
- 일반적으로 AB ≠ BA이므로 가운데 두 항을 2AB로 합칠 수 없습니다!
- (A+B)² = A² + 2AB + B²이 성립하려면 반드시 AB = BA라는 교환 조건이 성립해야만 합니다.
- 마찬가지로 (A+B)(A−B) = A² − AB + BA − B²이므로, AB = BA일 때만 A² − B²과 같아집니다.
양변에서 같은 행렬 A를 함부로 지우는 실수
A ≠ O이고 AB = AC일 때, 양변에서 A를 약분하듯 지우고 B = C라고 할 수 있을까요?
- 일반적으로는 성립하지 않습니다! (거짓)
- 우변을 이항하여 분배법칙으로 묶으면 A(B − C) = O가 됩니다. 앞서 본 영인자 성질 때문에 A ≠ O이고 B − C ≠ O(즉 B ≠ C)이면서도 곱이 O가 되는 반례가 얼마든지 존재합니다. (심화: 오직 A의 역행렬 A⁻¹가 존재할 때만 양변 왼쪽에 A⁻¹를 곱해 B = C를 이끌어낼 수 있어요.)
(AB)²은 A²B²이 아니라 ABAB이며, 행렬에는 숫자 2를 그냥 더할 수 없어요
거듭제곱과 다항식 표현에서 자주 나오는 두 가지 실수를 꼭 점검하세요.
- 거듭제곱의 전개:(AB)² = (AB)(AB) = ABAB입니다. AB = BA라는 조건이 없으면 가운데 BA를 AB로 바꿀 수 없으므로 (AB)² ≠ A²B²입니다!
- 단위행렬 E의 역할: 행렬 A에 숫자 2를 그냥 더한 ‘A + 2’라는 식은 크기가 달라 정의되지 않습니다. 반드시 단위행렬을 붙여서 A + 2E로 써야 하며, 이때 AE = EA = A이므로 (A+E)(A−E) = A² − E는 항상 성립합니다.
개념 스스로 진단하기 — 행렬 8문항 체크
문제를 읽고 스스로 답을 생각해 본 뒤 [정답 확인] 단추를 눌러 개념 이해도를 점검해 보세요.
Q1. 행렬의 덧셈·뺄셈 조건
크기가 서로 다른 2×3 행렬과 2×2 행렬은 덧셈이나 뺄셈을 할 수 있을까요?
불가능합니다. 행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 위치(i행 j열)의 성분끼리 더하고 빼는 것이므로 두 행렬의 행의 개수와 열의 개수가 완전히 같은 크기(m×n)여야만 정의됩니다.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 행렬의 곱 AB의 (i, j) 성분은 앞 행렬의 i행 × 뒤 행렬의 j열로 기억해요. ‘실수 줄이기’: (A+B)² = A² + AB + BA + B²에서 AB = BA인지 먼저 확인하세요.
객관식 진단 퀴즈 — 행렬
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 행렬 곱셈의 (1, 1) 성분 계산기
A의 (1,1) 성분 a 2A의 (1,2) 성분 b 3
🔄 새 문제로 무한 연습 — 행렬의 곱셈 (1, 2) 성분 구하기
두 이차정사각행렬 A의 1행이 (2, 3), B의 2열이 위에서부터 (4, -1)일 때, 곱 AB의 (1, 2) 성분을 구하시오.
정답: 5 — (1, 2) 성분은 A의 1행과 B의 2열의 내적: 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5
🏆 특목고·영재 대비 — 케일리-해밀턴 정리와 고차 거듭제곱 차수 낮추기
이차정사각행렬 A는 항상 항등식 A² − (a+d)A + (ad−bc)E = O를 만족합니다.
이를 케일리-해밀턴 정리라고 부릅니다.
거듭제곱의 차수를 낮출 때 강력한 무기가 됩니다.
도전 문제: 행렬 A = (1행: 1, −1 / 2행: 1, 0)에 대하여 A + A² + A³ + … + A²⁰²⁶의 모든 성분의 합을 구하시오.
🔎 케일리-해밀턴 정리로 주기 6을 한 번에 찾는 법
a+d=1, ad-bc=1이므로 A² - A + E = O입니다. 양변에 A+E를 곱하면 (A+E)(A²-A+E) = A³ + E = O에서 A³ = -E, A⁶ = E를 얻습니다. 연속한 6개 항의 합은 O가 되므로, 2026 = 6×337 + 4에서 남는 4개 항의 합은 A - 2E입니다. 따라서 모든 성분의 합은 -3입니다.
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
1행렬의 뜻과 상등: 제i행과 제j열이 만나는 성분을 aᵢⱼ라 하며, 두 행렬의 크기가 같고 대응하는 성분이 모두 같을 때 A = B이다.
2덧셈·뺄셈·실수배: 같은 크기의 행렬끼리 같은 자리 성분을 더하거나 빼며, 실수배 kA는 모든 성분에 k를 곱한다.
3행렬의 곱셈: AB의 (i, j) 성분은 A의 제i행과 B의 제j열을 차례로 곱해 더한 값이다. 일반적으로 AB ≠ BA이며, (A+B)² = A² + AB + BA + B²이다.
4단위행렬 E: 주대각선 성분이 1, 나머지가 0인 정사각행렬로 AE = EA = A, Eⁿ = E를 만족한다. (심화: ad−bc ≠ 0일 때 역행렬 A⁻¹ 존재)
이 단원의 말·기호
행렬과 (i,j) 성분
수를 직사각형으로 배열한 것. 제i행(가로줄)과 제j열(세로줄)이 만나는 성분을 aᵢⱼ라 씀.
영행렬 (O)
모든 성분이 0인 행렬. 덧셈에서 실수의 0 역할(A+O=O+A=A).
단위행렬 (E)
주대각선 성분이 1이고 나머지가 0인 정사각행렬. 곱셈에서 1 역할(AE=EA=A).
영인자
A≠O, B≠O이면서 곱 AB=O가 되는 두 행렬. (심화: 역행렬 A⁻¹는 ad−bc≠0일 때 존재)
내 말로 설명하기
행렬에서는 왜 (A+B)²이 A²+2AB+B²이 되지 않는지 친구에게 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “(A+B)² = (A+B)(A+B) = A² + AB + BA + B²인데, 행렬의 곱셈은 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 곱하므로 일반적으로 AB ≠ BA야. 그래서 특별히 AB = BA라는 조건이 있을 때만 A² + 2AB + B²이 된단다.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요. 그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요거의복습 필요아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
