함수와 그래프

공역은 화살표를 받을 수 있는 ‘후보 전체’의 모임이에요.

치역은 실제로 화살표를 받은 ‘선택된 원소들만’의 모임이에요.

치역과 공역이 완벽히 같을 때 일대일대응의 조건이 채워진답니다.

세로선(x=k)과 한 번만 만나면 하나의 입력에 출력이 하나이므로 함수예요.

가로선(y=k)과 한 번만 만나면 출력이 겹치지 않으므로 일대일함수예요.

두 검사를 함께 쓰면 함수의 모양을 그래프로 바로 확인할 수 있어요.

식이 달라도 정의역과 공역이 같고 모든 함숫값이 같으면 같은 함수예요.

예를 들어 정의역이 X = {−1, 1}일 때 f(x) = x와 g(x) = x³을 비교해 봐요.

f(−1)=g(−1)=−1, f(1)=g(1)=1이므로 두 함수는 서로 같아요.

수식 (g∘f)(x) = g(f(x))을 보면 x 바로 옆에 f가 붙어 있어요.

입력 x가 먼저 f 기계를 통과해 함숫값 f(x)가 나와요.

그다음 그 결과가 바깥쪽 g 기계의 입력으로 들어가기 때문이에요.

안쪽 함수 f의 치역이 바깥 함수 g의 정의역에 쏙 들어가야 해요.

f에서 나온 결과가 g가 받아들일 수 없는 값이면 기계가 멈추기 때문이에요.

항등함수 I(x) = x는 합성해도 변함없이 f∘I = I∘f = f가 돼요.

양말을 신고 신발을 신는 것과, 신발을 신고 양말을 신는 것은 전혀 달라요.

예를 들어 f(x)=x+1과 g(x)=x²에 2를 넣어 볼까요?

g(f(2)) = 3² = 9이지만, f(g(2)) = 4+1 = 5로 결과가 달라요.

화살표 방향을 거꾸로 돌릴 때를 상상해 보세요.

출력 y 하나에 입력이 2개였으면 화살표가 두 갈래로 쪼개져 함수가 못 돼요.

화살표를 못 받은 빈 원소가 있어도 거꾸로 출발하지 못해 함수가 안 된답니다.

양말(f)을 신은 뒤 신발(g)을 신었다고 생각해 보세요.

되돌릴 때는 신발(g⁻¹)부터 먼저 벗고 양말(f⁻¹)을 벗어야 해요.

그래서 (g∘f)⁻¹ = f⁻¹∘g⁻¹로 순서가 거꾸로 뒤집혀요.

두 함수의 그래프는 직선 y = x에 대칭이에요.

증가하는 함수라면 교점이 반드시 대칭축인 직선 y = x 위에 놓여요.

그래서 복잡한 역함수를 구하지 않고 f(x) = x로 쉽게 풀 수 있어요.

곡선이 어떤 직선에 한없이 가까워지는 선을 점근선이라 불러요.

‘점점(漸) 가까워지는(近) 선’이라는 뜻이에요.

아무리 멀리 가도 절대로 직선과 만나지는 않는답니다.

유리함수 그래프는 점근선의 교점 (p, q)를 지나고 기울기가 ±1인 두 직선에 선대칭이에요.

일반형 f(x) = (ax+b)/(cx+d)의 역함수는 공식으로 빠르게 구해요.

대각선 위치의 a와 d의 자리와 부호를 맞바꾼 f⁻¹(x) = (−dx+b)/(cx−a)가 됩니다.

우리가 다루는 함수 그래프는 실수 좌표평면에 그려요.

근호(√) 안이 음수가 되면 허수가 되어 점을 찍을 수 없어요.

그래서 반드시 ‘근호 안의 식 ≥ 0’인 x의 범위만 정의역이 돼요.

무리함수와 직선을 연립해 양변을 제곱할 때 판별식만 쓰면 틀리기 쉬워요.

제곱하는 순간 존재하지 않던 반대편 반쪽 포물선까지 생겨나기 때문이에요.

반드시 그래프를 그려 접할 때와 시작점을 지날 때의 경계를 눈으로 확인해요.

방정식 1/a + 1/b = 1/7의 분모를 털어 내면 ab − 7a − 7b = 0이 돼요.

인수분해를 위해 양변에 49를 더하면 (a−7)(b−7) = 49 꼴로 깔끔하게 묶여요.

49의 약수쌍(1×49, 7×7, 49×1)을 찾으면 모든 자연수 해가 5초 만에 풀린답니다.