‘키 큰 모임’은 기준이 흐릿해 모을 수 없어요.
하지만 ‘170cm 이상’은 누구나 가려내요.
대상을 분명히 정할 수 있는 모임을 집합이라 해요.
왜 집합·명제를 배울까?
집합은 수학의 공용어예요.
확률과 함수를 정의할 때 모두 집합을 써요.
명제는 참과 거짓을 논리적으로 따지는 법이에요.
컴퓨터와 인공지능의 기본 바탕이 된답니다.
🔎 집합과 명제는 왜 함께 배울까요?
집합은 생각할 대상들을 모아 담는 그릇이에요.
명제는 그 안에 든 대상의 참과 거짓을 가르는 규칙이랍니다.
규칙에 맞는 원소를 모으면 ‘진리집합’이 되어 둘이 하나로 이어져요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 집합을 기호로 나타내고 부분집합을 판단한다. ② 합·교·여집합과 드모르간 법칙으로 집합을 연산한다. ③ 명제의 역과 대우를 만들고 참·거짓을 판단한다. ④ 필요충분조건을 진리집합으로 따지고 간단한 명제를 증명한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
중학교에서 배운 이 두 가지가 준비됐나요?
① 12의 양의 약수를 작은 수부터 모두 써 볼까요?
② 방정식 x² = 4의 해를 모두 구하고, 부등식 x > 3이 아닌 범위를 부등호로 나타내 볼까요?
① 1, 2, 3, 4, 6, 12 (조건에 맞는 대상을 빠짐없이 찾는 것이 집합의 출발점이에요) · ② 해는 x = 2 또는 x = −2, x > 3이 아닌 범위는 x ≤ 3 (등호가 꼭 들어가요!).
🔎 「양의 약수」에서 양은 왜 붙이나요?
중학교까지는 약수라고 하면 자연수만 생각했어요.
고등학교에서는 음수(−1, −2 등)도 약수로 생각할 수 있어요.
자연수 범위의 약수임을 또렷하게 하려고 ‘양의 약수’라고 불러요.
집합 — 분명히 모을 수 있는 것들의 모임
집합에 속한 대상 하나하나를 원소라 불러요.
원소를 나열하면 원소나열법 {1, 2, 3}이에요.
조건을 적어 나타내면 조건제시법입니다.
A의 모든 원소가 B에 속하면 부분집합(A ⊂ B)이에요.
원소 n개인 집합의 부분집합은 모두 2ⁿ개예요.
자기 자신을 뺀 것은 진부분집합(2ⁿ − 1개)이라 해요.
기억해요 — 원소 ∈ 집합, 부분집합 ⊂. 부분집합 개수 = 2ⁿ, 진부분집합 개수 = 2ⁿ − 1🔎 「공집합」이 무슨 말이죠?
원소가 하나도 없는 빈 집합을 공집합이라 하고 기호로 ∅이라 써요.
원소 개수는 0개이지만 엄연히 이름을 가진 집합이에요.
공집합은 모든 집합의 부분집합으로 약속한답니다.
🔎 「조건제시법」은 어떻게 읽나요?
가운데 세로선(|)의 왼쪽은 원소의 ‘대표 모양’이에요.
오른쪽은 원소가 만족해야 할 ‘조건’을 적어요.
예를 들어 {2x | x는 3 이하 자연수}는 1, 2, 3을 두 배 한 {2, 4, 6}이에요.
🔎 부분집합 개수는 왜 2ⁿ개인가요?
각 원소에게 “부분집합 상자에 들어갈래?” 하고 물어봐요.
원소마다 ‘들어간다(O)’ 또는 ‘안 들어간다(X)’의 2가지 선택이 있어요.
원소가 n개면 2를 n번 곱하므로 2ⁿ개가 만들어져요.
🔎 특정 원소를 꼭 넣는 부분집합은 몇 개인가요?
전체 n개 중 k개를 반드시 넣거나 뺀다면 그 k개는 선택권이 1가지예요.
남은 n − k개 원소만 들어갈지 말지 2가지씩 결정해요.
그래서 경우의 수는 2ⁿ⁻ᵏ개가 된답니다.
대표 예제 1 · 조건제시법과 진부분집합의 개수
집합 A = {x | x는 8의 양의 약수}에 대하여 집합 A의 부분집합의 개수와 진부분집합의 개수를 각각 구하시오.
풀이: 8의 양의 약수를 원소나열법으로 쓰면 A = {1, 2, 4, 8}이므로 원소의 개수는 n(A) = 4입니다.
① 부분집합의 개수: 각 원소마다 포함 여부 2가지씩이므로 2⁴ = 16(개)
② 진부분집합의 개수: 전체 부분집합에서 자기 자신(A) 1개를 빼므로 2⁴ − 1 = 15(개)
집합 A = {x | x는 8의 양의 약수}에 대하여 집합 A의 부분집합의 개수와 진부분집합의 개수를 각각 구하시오.
풀이: 8의 양의 약수를 원소나열법으로 쓰면 A = {1, 2, 4, 8}이므로 원소의 개수는 n(A) = 4입니다.
① 부분집합의 개수: 각 원소마다 포함 여부 2가지씩이므로 2⁴ = 16(개)
② 진부분집합의 개수: 전체 부분집합에서 자기 자신(A) 1개를 빼므로 2⁴ − 1 = 15(개)
왜 원소가 n개인 집합의 부분집합은 2ⁿ개일까?
부분집합이라는 빈 상자를 하나 준비해 봐요. 집합 {1, 2, 3}의 각 원소에게 상자에 “들어갈래(O), 안 들어갈래(X)?” 하고 차례대로 물어봅니다. 원소 1에게 2가지, 2에게 2가지, 3에게 2가지 선택권이 있으니 곱의 법칙에 의해 2 × 2 × 2 = 2³ = 8가지 부분집합이 만들어져요. 모두가 ‘안 들어간다(X, X, X)’고 하면 공집합 ∅이 되고, 모두가 ‘들어간다(O, O, O)’고 하면 자기 자신이 돼요.조건제시법에서 바(|) 앞의 모양 놓치기와 중복 나열 실수
① 집합 안에 같은 원소는 두 번 쓰지 않아요. 예를 들어 {1, 2, 2, 3}은 {1, 2, 3}과 같고 원소 개수는 3개예요.② 조건제시법 {x+1 | x는 1 ≤ x ≤ 3인 자연수}에서 조건을 만족하는 x = 1, 2, 3을 그대로 답으로 쓰면 틀려요! 반드시 바(|) 앞의 원소 모양 x+1에 대입한 {2, 3, 4}로 적어야 해요.
집합의 연산 — 합·교·여집합과 드모르간
A 또는 B에 속하면 합집합 A ∪ B예요.
둘 다에 겹쳐 속하면 교집합 A ∩ B라 해요.
겹치는 원소가 하나도 없으면 서로소예요.
전체에서 A를 뺀 나머지는 여집합 Aᶜ이에요.
A에서 B와 겹친 것을 덜어내면 차집합입니다.
차집합은 A − B = A ∩ Bᶜ로 바꿔 써요.
괄호 바깥에 여집합 기호를 씌워 보세요.
가운데 기호가 ∪에서 ∩로 반대로 뒤집혀요.
이 성질을 드모르간 법칙이라 불러요.
기억해요 — 합집합=또는, 교집합=그리고, 서로소(A∩B=∅), 차집합 A−B=A∩Bᶜ, 드모르간 ∪↔∩ 뒤집힘🔎 집합에서 「서로소」가 무슨 뜻인가요?
자연수에서 서로소는 최대공약수가 1인 두 수(예: 2와 3)예요.
집합에서 서로소는 공통 원소가 하나도 없는 관계(A ∩ B = ∅)를 뜻해요.
공집합 ∅은 모든 집합과 교집합이 없으므로 모든 집합과 서로소예요.
🔎 차집합이 왜 교집합과 여집합으로 바뀌나요?
A에서 B를 뺀다는 것은 A 중에서 B에 안 속한 것을 고르는 일이에요.
즉 ‘A에 속하고(A) 동시에 B에는 안 속하는(B^c)’ 원소예요.
그래서 A − B = A ∩ Bᶜ로 바꿔 풀 수 있어요.
🔎 집합의 연산 법칙(분배·드모르간) 한눈에 보기
교환법칙: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
결합법칙: 기호가 같을 때 괄호 위치를 자유롭게 바꿔요.
분배법칙: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)처럼 괄호를 풀고 묶어요.
드모르간: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ로 기호가 반대로 뒤집혀요.
대표 예제 2 · 차집합 변환과 분배법칙으로 집합 간단히 하기
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A − B) ∪ (A ∩ B)를 간단히 하시오.
풀이: 먼저 차집합 성질 A − B = A ∩ Bᶜ를 대입합니다.
(A − B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ Bᶜ) ∪ (A ∩ B)
양쪽에 공통으로 들어 있는 A ∩으로 묶으면(분배법칙):
= A ∩ (Bᶜ ∪ B) = A ∩ U = A (정답: A)
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A − B) ∪ (A ∩ B)를 간단히 하시오.
풀이: 먼저 차집합 성질 A − B = A ∩ Bᶜ를 대입합니다.
(A − B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ Bᶜ) ∪ (A ∩ B)
양쪽에 공통으로 들어 있는 A ∩으로 묶으면(분배법칙):
= A ∩ (Bᶜ ∪ B) = A ∩ U = A (정답: A)
📺📺 영상으로 보기교집합과 합집합▶
📺 움직이는 개념 — 교집합과 합집합
두 집합이 겹치며 교집합·합집합·개수 공식이 드러나요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
기억 그림 · 진리집합의 포함관계
명제 「p이면 q」가 참 ⟺ 진리집합 P ⊂ Q. 조건이 좁을수록(P 작을수록) 더 강한(충분한) 조건이에요.
명제 — 참·거짓을 가릴 수 있는 문장
참인지 거짓인지 분명한 문장을 명제라 해요.
x값에 따라 참·거짓이 갈리면 조건이에요.
조건을 참으로 만드는 모임을 진리집합이라 해요.
「p이면 q이다」에서 앞뒤를 바꾸면 역이에요.
각각 부정하여 뒤바꾼 것을 대우라 부릅니다.
원명제와 대우는 참·거짓이 언제나 똑같아요.
명제 p \to q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q예요.
작은 조건 p는 q가 되기에 충분조건이에요.
큰 조건 q는 p를 품는 필요조건입니다.
기억해요 — 원명제(p→q) ⟺ 대우(~q→~p). P ⊂ Q이면 진리집합이 작은 조건 p는 충분조건, 큰 쪽 q는 필요조건①필요·충분
P⊂Q일 때 작은 P는 충분조건이에요. 바깥 큰 Q는 필수적인 필요조건입니다. 두 집합이 같으면 필요충분조건이에요.
②진리집합과 반례
명제가 거짓임을 보이는 예를 반례라 해요. 가정 P에는 속하지만 Q에는 없는 원소예요. 즉 차집합 P−Q에서 반례를 찾아요.
③대우 증명과 귀류법
증명이 막히면 대우 명제를 살펴봐요. 결론을 부정해 모순을 이끄는 법도 있어요. 이 방법을 귀류법이라 불러요.
④절대부등식
항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 해요. 실수의 제곱은 언제나 0 이상이에요. 양수에서는 산술·기하 평균을 써요.
🔎 「진리집합」이 무슨 말이죠?
조건을 참이 되게 만드는 원소들을 모두 모은 집합이에요.
방정식 x² = 4를 참으로 만드는 해 {−2, 2}의 모임과 같아요.
조건의 부정 ~p의 진리집합은 여집합 Pᶜ가 된답니다.
🔎 대우 명제는 왜 참·거짓이 항상 같나요?
명제 p → q가 참이면 진리집합 P가 Q에 포함돼요(P ⊂ Q).
여집합을 취하면 포함관계가 반대로 뒤집혀 Qᶜ ⊂ Pᶜ가 돼요.
이것이 바로 대우 명제 ~q → ~p가 참이라는 뜻이랍니다.
🔎 충분조건과 필요조건은 어떻게 구분하나요?
화살표를 주는 쪽(p →)은 힘이 충분해서 충분조건이에요.
화살표를 받는 쪽(→ q)은 도움이 필요해서 필요조건이에요.
진리집합으로 보면 작은 쪽이 충분조건, 큰 쪽이 필요조건이랍니다.
🔎 왜 산술평균이 기하평균보다 항상 크거나 같을까요?
두 양수 a, b에 대해 산술평균에서 기하평균을 직접 빼 봅니다.
(a+b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0
실수의 제곱은 언제나 0 이상이므로 항상 성립해요. 등호는 a = b일 때만 성립합니다.
대표 예제 3 · 진리집합으로 판정하는 충분·필요조건과 산술·기하 평균
(1) 실수 x에 대한 두 조건 p: x = 2, q: x² − 4 = 0에서 p는 q이기 위한 무슨 조건인지 구하시오.
(2) x > 1일 때, x + 4/(x − 1)의 최솟값과 그때의 x의 값을 구하시오.
풀이:
(1) 두 조건의 진리집합을 구하면 P = {2}, Q = {−2, 2}입니다. P ⊂ Q이고 P ≠ Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건입니다.
(2) x > 1이므로 x − 1 > 0입니다. 곱해서 약분되도록 식을 변형하면:
x + 4/(x−1) = (x−1) + 4/(x−1) + 1 ≥ 2√4 + 1 = 5
등호는 x − 1 = 4/(x − 1), 즉 (x − 1)² = 4에서 x − 1 = 2 (x = 3)일 때 성립하므로 최솟값은 5 (x = 3)입니다.
(1) 실수 x에 대한 두 조건 p: x = 2, q: x² − 4 = 0에서 p는 q이기 위한 무슨 조건인지 구하시오.
(2) x > 1일 때, x + 4/(x − 1)의 최솟값과 그때의 x의 값을 구하시오.
풀이:
(1) 두 조건의 진리집합을 구하면 P = {2}, Q = {−2, 2}입니다. P ⊂ Q이고 P ≠ Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건입니다.
(2) x > 1이므로 x − 1 > 0입니다. 곱해서 약분되도록 식을 변형하면:
x + 4/(x−1) = (x−1) + 4/(x−1) + 1 ≥ 2√4 + 1 = 5
등호는 x − 1 = 4/(x − 1), 즉 (x − 1)² = 4에서 x − 1 = 2 (x = 3)일 때 성립하므로 최솟값은 5 (x = 3)입니다.
명제의 삼단논법과 귀류법 증명
① 삼단논법: p → q가 참이고 q → r이 참이면, 징검다리를 건너듯 p → r도 참이에요(진리집합 P ⊂ Q ⊂ R). 이 성질을 대우와 결합해 숨은 참 명제를 찾아요.② 귀류법: 명제가 참임을 직접 보이기 어려울 때, 결론을 부정(거짓이라 가정)하여 논리를 전개하다가 가정이나 이미 아는 사실에 어긋나는 모순을 이끌어 내어 원래 명제가 참임을 밝히는 증명법이에요(예: 「√2는 무리수이다」 증명).
조건 ‘p 또는 q’와 ‘p 그리고 q’의 부정
드모르간 법칙 (P ∪ Q)ᶜ = Pᶜ ∩ Qᶜ에 의해, 조건을 부정하면 ‘또는’은 ‘그리고(이고)’로, ‘그리고’는 ‘또는’으로 뒤집혀요.· 「p 또는 q」의 부정 ⟹ 「~p 그리고 ~q」
· 예: xy = 0 (x = 0 또는 y = 0)의 부정은 xy ≠ 0 (x ≠ 0 이고 y ≠ 0)이에요.
실생활 속 집합과 명제 — 데이터와 논리의 실제 쓰임
집합과 명제는 기호 놀이가 아니에요.
진단 키트 판정과 데이터 분석에 쓰여요.
검색 엔진과 법률 심사에도 작동한답니다.
의학 진단 통계의 핵심 직관: 정확도 90% 이상인 우수한 진단 시약이라도 전체 인구 중 실제 유병률이 2%(1,000명 중 20명)로 낮다면, 정상인 980명 중 4%에 불과한 오차(거짓 양성 40명)가 실제 환자 양성(18명)보다 두 배 이상 많아집니다. 이처럼 집합의 교집합 D ∩ T과 차집합 T − D의 구조를 이해해야 의학적 검진 결과를 바르게 해석할 수 있습니다.
🔎 검사 정확도가 높아도 왜 가짜 양성이 많을까요?
유병률이 2%(1,000명 중 20명)처럼 매우 낮을 때 일어나는 현상이에요.
정상인 980명 중 단 4%의 오차(40명)가 실제 환자 양성(18명)보다 두 배나 많아져요.
그래서 집합의 교집합과 차집합 구조를 알아야 검사 결과를 바르게 읽을 수 있어요.
포함배제의 원리: 두 서비스의 구독자 수를 단순히 더하면 570 + 460 = 1030명으로 전체 설문자(1,000명)를 초과합니다. 중복 집계된 교집합 150명을 한 번 빼 주어야 실제 서비스를 하나 이상 이용하는 총 인원 880명과, 마케팅 타깃이 될 미이용자 120명이 정확히 도출됩니다.
🔎 두 집합을 더할 때 왜 교집합을 빼나요?
A 구독자와 B 구독자를 그냥 더하면 둘 다 구독하는 사람이 2번 더해져요.
중복된 교집합 150명을 한 번 빼 주어야 실제 총 인원(880명)이 나와요.
이것을 포함배제의 원리라고 부른답니다.
대우의 법칙과 논리적 동치: 원명제가 참이라고 해서 역이나 이가 반드시 참이 되는 것은 아닙니다(위 예시에서 땅이 젖은 원인은 비 외에도 다양함). 오직 대우 명제(~q → ~p)만이 원명제와 진리값이 100% 일치합니다. 따라서 수학과 법률 논증에서는 직접 증명이 난해할 때 그 대우를 증명하는 비법을 활용합니다.
🔎 역과 이는 왜 참이 아닐 수도 있나요?
‘비가 오면 땅이 젖는다’는 참이지만, 땅이 젖었다고 꼭 비가 온 것은 아니에요.
살수차가 물을 뿌렸거나 호스로 청소를 했을 수도 있기 때문이에요.
원명제와 언제나 참·거짓이 똑같은 것은 오직 대우 명제뿐이랍니다.
진리집합의 포함관계로 암기 없이 풀기: P ⊂ Q일 때, 더 좁고 까다로운 안쪽 조건 P는 바깥 조건 Q가 되기에 충분(충분조건)합니다. 반대로 더 넓은 바깥 조건 Q는 P가 되기 위해 최소한 갖추어야 할 필수 요건(필요조건)입니다.
기하학적 눈으로 확인하는 절대부등식: 원주각의 성질에 의해 지름 AB를 빗변으로 하는 삼각형 APB는 항상 직각삼각형이며, 닮음에 의해 수선의 길이 HP = √(a·b)가 됩니다. 원의 가장 높은 지점인 반지름(산술평균)은 원주 상의 어떤 수선(기하평균)보다 크거나 같으며, 점 H가 중심 M과 일치할 때(즉 a = b일 때) 비로소 등호가 성립합니다.
🔎 산술·기하 평균이 왜 반원에서 증명되나요?
지름을 빗변으로 하는 내접삼각형은 항상 직각삼각형이 돼요.
닮음에 의해 원주로 올린 수선의 길이는 기하평균 √(ab)가 돼요.
원의 반지름인 산술평균 (a+b)/2은 어떤 수선보다 항상 크거나 같아요.
틀리기 쉬운 함정 베스트 5 — 시험에서 낚이지 않는 법
원소 기호(∈)와 부분집합 기호(⊂) 구별
원소 기호 ∈ : 삼지창 기호는 [원소] ∈ [집합] 관계에서만 씁니다. 집합 안에 그 모양 그대로 들어 있는 낱개를 가리킵니다.
부분집합 기호 ⊂ : 이지창 기호는 [집합] ⊂ [집합] 관계에서 씁니다. 왼쪽 대상의 모든 원소가 오른쪽 집합에 들어 있어야 합니다.
예시: 집합 A = {1, 2, {3}}일 때:
- 1 ∈ A (참), {1} ⊂ A (참)
- {3} ∈ A (참! 원소 자체가 중괄호를 두르고 있음)
- {3} ⊂ A (거짓! 원소 3은 A에 없으므로 거짓, {{3}} ⊂ A가 참입니다)
공집합 ∅ 과 {0} 과 {∅} 의 치명적 차이
1. 공집합 ∅ : 원소가 하나도 없는 빈 주머니입니다. 원소 개수 n(∅) = 0.
2. 집합 {0} : 숫자 0이라는 알맹이 하나를 담고 있는 주머니입니다. 원소 개수 n({0}) = 1.
3. 집합 {∅} : '공집합이라는 기호(또는 빈 봉투)'를 원소로 담고 있는 주머니입니다. 원소 개수 n({∅}) = 1.
따라서 ∅ ∈ {∅} (참), ∅ ⊂ {∅} (공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 항상 참)입니다.
차집합에 여집합을 씌울 때 (A − B)ᶜ = Aᶜ − Bᶜ로 착각하는 실수
드모르간 법칙은 합집합(∪)과 교집합(∩)에만 바로 적용되며, 차집합(−)에는 여집합을 곧장 분배할 수 없습니다.
- 반드시 차집합을 먼저 A − B = A ∩ Bᶜ로 바꾼 뒤 드모르간 법칙을 써야 합니다:
- (A − B)ᶜ = (A ∩ Bᶜ)ᶜ = Aᶜ ∪ (Bᶜ)ᶜ = Aᶜ ∪ B
- 자주 하는 오답: (A − B)ᶜ = Aᶜ − Bᶜ 또는 (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ처럼 기호를 바꾸지 않고 분배하면 틀립니다.
'모든'과 '어떤'을 부정할 때 서술어만 바꾸는 실수
명제 「모든 학생은 안경을 썼다」를 부정할 때 많은 학생들이 「모든 학생은 안경을 안 썼다」라고 잘못 바꿉니다.
- '모든'의 부정은 '어떤'입니다: 「어떤 학생은 안경을 쓰지 않았다」(즉, 안경 안 쓴 학생이 적어도 한 명 존재함).
- 수학식 예시: 「모든 실수 x에 대하여 x² > 0이다」의 부정은 「모든 실수 x에 대하여 x² ≤ 0」이 아니라, 「어떤 실수 x에 대하여 x² ≤ 0이다」가 정답입니다 (실제로 x=0일 때 성립하므로 이 부정 명제는 참!).
산술·기하 평균에서 양수 조건과 등호 조건 미확인
산술·기하 평균 부등식 (a+b)/2 ≥ √(ab)을 쓸 때는 다음 두 가지를 반드시 답안에 적어야 합니다:
1. 양수 조건: a > 0, b > 0일 때만 성립합니다. 음수가 섞이면 부등호가 성립하지 않습니다.
2. 등호 성립 조건: 최댓값이나 최솟값을 구할 때, 그 값이 실제로 실현될 수 있는 값인지 확인하기 위해 반드시 (단, 등호는 a = b일 때 성립)을 명시해야 합니다. 만약 등호를 만족하는 x가 정의역에 존재하지 않으면 그 값은 최솟값이 될 수 없습니다.
스스로 확인 — 개념 굳히기 8문답
문제를 읽고 머릿속으로 답을 떠올린 뒤 [답 확인]을 눌러 점검해 보세요.
Q1. 원소의 개수가 5개인 집합 A의 진부분집합의 총 개수는?
Q2. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 A ⊂ B일 때, 교집합 A ∩ B와 합집합 A ∪ B는 각각 무엇인가요?
Q3. 두 집합 A, B가 서로소라는 것은 무엇을 뜻하나요?
Q4. 드모르간 법칙에 의해 (Aᶜ ∪ B)ᶜ를 간단히 변형하면?
Q5. 명제 「p이면 q이다」가 거짓임을 보이려면 어떤 반례를 찾아야 하나요?
Q6. 조건 p의 진리집합 P와 조건 q의 진리집합 Q에 대하여 p가 q이기 위한 필요조건일 때, 두 집합의 포함관계는?
Q7. 명제 「xy = 0이면 x = 0이고 y = 0이다」의 참·거짓과 그 까닭은?
Q8. 두 양수 x > 0, y > 0에 대하여 xy = 16일 때, x + y의 최솟값과 그때의 x, y 값은?
A1. 2⁵ − 1 = 32 − 1 = 31개 (자기 자신 1개를 뺍니다).
A2. A ∩ B = A, A ∪ B = B (작은 집합이 교집합, 큰 집합이 합집합).
A3. 두 집합의 공통 원소가 하나도 없음, 즉 A ∩ B = ∅.
A4. (Aᶜ)ᶜ ∩ Bᶜ = A ∩ Bᶜ = A − B.
A5. 가정 p는 만족하지만(P에 속하지만), 결론 q는 만족하지 않는(Q에 속하지 않는) 원소, 즉 P − Q의 원소를 찾아야 합니다.
A6. q ⇒ p가 참이므로, 진리집합의 포함관계는 Q ⊂ P입니다.
A7. 거짓입니다. (반례: x = 2, y = 0이면 xy = 0이지만 x ≠ 0입니다. 원래 바른 결론은 'x=0 또는 y=0'이어야 합니다).
A8. 산술·기하 평균에 의해 x + y ≥ 2√(xy) = 2√16 = 8이므로 최솟값은 8이며, 등호는 x = y = 4일 때 성립합니다.
A2. A ∩ B = A, A ∪ B = B (작은 집합이 교집합, 큰 집합이 합집합).
A3. 두 집합의 공통 원소가 하나도 없음, 즉 A ∩ B = ∅.
A4. (Aᶜ)ᶜ ∩ Bᶜ = A ∩ Bᶜ = A − B.
A5. 가정 p는 만족하지만(P에 속하지만), 결론 q는 만족하지 않는(Q에 속하지 않는) 원소, 즉 P − Q의 원소를 찾아야 합니다.
A6. q ⇒ p가 참이므로, 진리집합의 포함관계는 Q ⊂ P입니다.
A7. 거짓입니다. (반례: x = 2, y = 0이면 xy = 0이지만 x ≠ 0입니다. 원래 바른 결론은 'x=0 또는 y=0'이어야 합니다).
A8. 산술·기하 평균에 의해 x + y ≥ 2√(xy) = 2√16 = 8이므로 최솟값은 8이며, 등호는 x = y = 4일 때 성립합니다.
더 깊이 탐구하기 — 3개 집합 포함배제와 컴퓨터 논리 회로
집합이 세 개로 늘어나면 어떻게 셀까요?
참(1)과 거짓(0)은 컴퓨터를 움직여요.
반도체 회로로 이어지는 수학을 살펴봐요.
3개 집합 공식의 직관: n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − [n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + n(A∩B∩C). 세 집합을 다 더하면 2개 겹친 곳은 2번, 정중앙 3개 겹친 곳은 3번 더해집니다. 따라서 2개 교집합을 빼면 정중앙은 3 − 3 = 0번으로 통째로 사라져 버리기 때문에, 마지막에 정중앙 교집합을 반드시 한 번 더해 주어야 온전한 1번이 됩니다!
🔎 3개 집합 공식에서 왜 마지막 교집합을 더하나요?
세 집합을 각각 더하면 정중앙(세 집합 공통)은 3번 더해져요.
2개씩 겹친 교집합을 뺄 때 정중앙이 3번 모두 빠져 0번이 돼 버려요.
그래서 마지막에 정중앙 교집합을 꼭 1번 더해 주어야 온전한 1번이 됩니다.
컴퓨터 칩셋의 비밀: 현대 모든 CPU와 스마트폰 반도체는 수십억 개의 AND, OR, NOT 논리 회로로 이루어져 있습니다. 교집합은 두 신호가 모두 전압이 흐를 때만 동작하는 직렬 스위치(AND), 합집합은 둘 중 하나만 흘러도 켜지는 병렬 스위치(OR)와 완벽히 같습니다. 고1 때 배우는 집합과 명제가 4차 산업혁명 컴퓨터 구조의 모태입니다.
🔎 컴퓨터는 어떻게 0과 1로 논리를 계산하나요?
전기가 통하면 1(참), 안 통하면 0(거짓)으로 신호를 보내요.
직렬연결은 둘 다 켜져야 통하는 AND(교집합) 회로가 돼요.
병렬연결은 둘 중 하나만 켜져도 통하는 OR(합집합) 회로랍니다.
수학사 속 집합론의 탄생과 러셀의 역설
19세기 후반 독일의 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 "무한에도 크기가 다르다"는 충격적인 사실을 집합을 통해 증명했습니다. 자연수 집합과 짝수 집합은 일대일대응이 가능해 크기(농도)가 같지만, 실수의 집합은 자연수의 집합보다 훨씬 '더 큰 무한'임을 대각선 논법으로 밝혔습니다.
이후 버트런드 러셀이 "스스로를 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"이라는 러셀의 역설(Russell's Paradox)을 제시하며 집합론의 기초를 뒤흔들었고, 수학자들은 이를 계기로 '분명한 조건'을 갖춘 공리계(ZFC 공리계)를 구축하여 현대 수학의 완벽한 반석을 완성했습니다.
코시-슈바르츠 부등식과 벡터 내적
실수 a, b, x, y에 대하여 (a²+b²)(x²+y²) ≥ (ax+by)² (등호는 ay = bx, 즉 a/x = b/y일 때 성립).
증명 아이디어: 전개하여 좌변에서 우변을 빼면 (ay − bx)² ≥ 0이 되어 실수의 제곱이 0 이상이라는 기본 원리로 깔끔하게 증명됩니다.
기하학적 본질: 두 2차원 벡터 u⃗ = (a, b)와 v⃗ = (x, y)의 내적 공식 u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cosθ에서, |cosθ| ≤ 1이므로 양변을 제곱하면 (u⃗·v⃗)² ≤ |u⃗|²|v⃗|²이 바로 코시-슈바르츠 부등식이 됩니다!
스스로 풀어요 (3단계)
원소·부분집합·기본 연산부터. 벤다이어그램을 직접 그려 확인해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 집합 문제는 벤다이어그램부터 그리면 거의 보여요. 「더 간결하게」: 명제는 막히면 대우로 바꿔요 — 원명제와 참거짓이 같으니 안전해요.
객관식 진단 퀴즈 — 집합과명제
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 부분집합의 개수
원소 개수 n 3 개
🎲 새 문제로 무한 연습 — 합집합·교집합·진부분집합 즉석 생성
누를 때마다 숫자가 바뀌는 맞춤형 문제예요. 공식이 손에 익을 때까지 풀어 보세요.
전체집합 U(n(U)=30)의 두 부분집합 A, B에서 n(A)=16, n(B)=13, n(A∩B)=5일 때, n(A∪B)와 n((A∪B)ᶜ)를 구하시오.
🏆 특목고·영재 대비 — 대칭차집합과 귀류법(√2의 무리수 증명)
1. 대칭차집합: A △ B = (A − B) ∪ (B − A)
합집합에서 교집합을 뺀 영역이에요.
‘한쪽에만 속하는 원소’의 모임입니다.
A △ A = ∅ 성질을 써서 풀어요.
2. 귀류법: √2의 무리수 증명
결론을 부정해 유리수 q/p라 놓아요.
제곱하면 p, q가 모두 짝수가 돼요.
서로소라는 가정에 모순이 생겨 참이 증명돼요.
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1부분집합 2ⁿ개(진부분집합 2ⁿ−1개) · 합집합 A∪B(또는) · 교집합 A∩B(그리고) · 서로소 A∩B=∅ · 차집합 A−B=A∩Bᶜ.
- 2드모르간: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ — 여집합 씌우면 ∪↔∩.
- 3개수 공식: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B).
- 4대우(~q→~p)는 원명제와 참거짓 일치. p→q 참 ⟺ P⊂Q (작은 P는 충분조건, 큰 Q는 필요조건). 양수에서 산술·기하 (a+b)/2 ≥ √(ab).
이 단원의 말·기호
- 부분집합·진부분집합
- A의 모든 원소가 B에도 있으면 A⊂B(개수 2ⁿ). 자기 자신을 뺀 것은 진부분집합(2ⁿ−1개).
- 조건제시법·서로소
- {x | 조건} 꼴로 원소의 성질을 제시하는 방법. 공통 원소가 없을 때(A∩B=∅) 두 집합은 서로소.
- 드모르간 법칙
- 여집합을 분배하면 합집합(∪)과 교집합(∩)이 서로 뒤바뀜.
- 진리집합·대우
- 조건 p를 참이 되게 하는 원소의 집합 P. p→q의 대우 ~q→~p는 원명제와 참거짓이 항상 같음.
- 필요·충분조건
- p→q가 참(P⊂Q)일 때 p는 충분조건, q는 필요조건. 양방향 모두 참(P=Q)이면 필요충분조건.
내 말로 설명하기
명제를 증명할 때 왜 대우를 써도 되는지 설명해 봐요.
예시 — 명제 p→q와 그 대우 ~q→~p는 논리적으로 동치(참거짓이 항상 일치)예요. 그래서 p→q를 직접 보이기 어려울 때 ~q에서 출발해 ~p를 이끌어 내면, 원명제를 증명한 것과 똑같아요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.