왜 집합·명제를 배울까?
집합은 수학의 공용어예요. 확률·함수·통계의 정의가 모두 집합으로 쓰여요. 명제는 참인지 거짓인지, 무엇이 무엇을 보장하는지 논리적으로 따지는 법이에요. 법률·프로그래밍·증명의 바탕이 되는 생각의 도구랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 집합을 기호로 나타내고 부분집합을 판단한다. ② 합·교·여집합과 드모르간 법칙으로 집합을 연산한다. ③ 명제의 역·이·대우를 만들고 참·거짓을 판단한다. ④ 필요충분조건을 진리집합으로 따지고 간단한 명제를 증명한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① {1,2,3}의 부분집합은 몇 개?
② 「비가 오면 땅이 젖는다」가 참일 때, 땅이 안 젖었다면 비는?
① 2³=8개 · ② 비가 안 왔다(대우). 원명제와 대우는 참거짓이 항상 같아요.
집합 — 분명히 모을 수 있는 것들의 모임
어떤 기준으로 분명하게 구분되는 대상들의 모임을 집합이라 해요. 집합을 이루는 하나하나를 원소라 하고, a가 집합 A의 원소이면 a ∈ A로 써요. 집합 A의 모든 원소가 B에도 있으면 A는 B의 부분집합(A ⊂ B)이에요. 원소가 n개인 집합의 부분집합은 2ⁿ개예요.
기억해요 — 원소 ∈ 집합, 부분집합 ⊂. 부분집합 개수 = 2ⁿ
왜 집합·명제를 배울까
집합은 수학의 공용어예요. 확률·함수·통계의 정의가 모두 집합으로 쓰여요. 명제는 논리적으로 따지는 법이에요. 법률·프로그래밍·증명 — 「참인지 거짓인지, 무엇이 무엇을 보장하는지」 따지는 힘의 바탕이에요.공집합과 원소 0개
원소가 하나도 없는 집합을 공집합 ∅이라 해요. 공집합은 모든 집합의 부분집합이에요. 또 {0}은 원소 0을 가진 집합이라 공집합이 아니에요 — 0과 ∅은 달라요.집합의 연산 — 합·교·여집합과 드모르간
합집합 A∪B = A 또는 B에 속한 원소. 교집합 A∩B = A 그리고 B 모두에 속한 원소. 여집합 Aᶜ = 전체집합 U에서 A를 뺀 것. 차집합 A−B = A에서 B를 뺀 것. 드모르간 법칙: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ — 여집합을 씌우면 ∪와 ∩이 뒤바뀌어요.
기억해요 — 합집합=또는, 교집합=그리고. 드모르간: 여집합 씌우면 ∪↔∩ 뒤집힘
📺📺 영상으로 보기교집합과 합집합▶
📺 움직이는 개념 — 교집합과 합집합
두 집합이 겹치며 교집합·합집합·개수 공식이 드러나요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
기억 그림 · 진리집합의 포함관계
명제 「p이면 q」가 참 ⟺ 진리집합 P ⊂ Q. 조건이 좁을수록(P 작을수록) 더 강한 조건이에요.
명제 — 참·거짓을 가릴 수 있는 문장
참·거짓이 분명한 문장을 명제라 해요. 「p이면 q」(p→q)에서 p를 가정, q를 결론이라 해요. 역(q→p), 이(~p→~q), 대우(~q→~p). 핵심: 원명제와 대우는 참·거짓이 항상 같아요. 그래서 증명이 어려울 때 대우를 대신 증명해요. q가 성립하기 위해 p가 꼭 필요하면 p는 q의 필요조건, p이면 반드시 q이면 p는 충분조건이에요.
기억해요 — 원명제 ⟺ 대우(참거짓 일치). p→q 참이면 p는 충분, q는 필요
①필요·충분
p→q 참: p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건. p⟺q이면 필요충분조건.
②진리집합
조건 p의 진리집합 P. p→q 참 ⟺ P⊂Q. 「모든 P는 Q 안에」를 그림으로 확인해요.
③대우 증명
p→q를 직접 못 보이면 ~q→~p(대우)를 증명. 둘은 참거짓이 같아 안전해요.
④절대부등식
모든 실수에서 성립하는 부등식. (실수)²≥0과 산술·기하 평균이 강력한 도구예요.
산술·기하 평균
a>0, b>0일 때 (a+b)/2 ≥ √(ab) (등호는 a=b). 두 양수의 합이 일정하면 두 수가 같을 때 곱이 최대, 곱이 일정하면 같을 때 합이 최소예요. 최댓값·최솟값 문제의 단골 도구.「모든」과 「어떤」
「모든 x에 대해 p」는 단 하나의 반례로 거짓이 돼요. 「어떤 x에 대해 p」는 단 하나의 예만 찾으면 참. 부정하면 둘이 서로 바뀌어요 — 「모든」의 부정은 「어떤 ~」.스스로 풀어요 (3단계)
원소·부분집합·기본 연산부터. 벤다이어그램을 직접 그려 확인해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 집합 문제는 벤다이어그램부터 그리면 거의 보여요. 「더 간결하게」: 명제는 막히면 대우로 바꿔요 — 원명제와 참거짓이 같으니 안전해요.
객관식 진단 퀴즈 — 집합과명제
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 부분집합의 개수
원소 개수 n 3 개
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1합집합 A∪B (또는) · 교집합 A∩B (그리고) · 여집합 Aᶜ.
- 2드모르간: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ — 여집합 씌우면 ∪↔∩.
- 3개수 공식: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B).
- 4대우(~q→~p)는 원명제와 참거짓이 같음. p→q 참 ⟺ 진리집합 P⊂Q.
이 단원의 말·기호
- 부분집합
- A의 모든 원소가 B에도 있으면 A⊂B. 개수 2ⁿ.
- 드모르간 법칙
- 여집합을 씌우면 합집합과 교집합이 뒤바뀜.
- 대우
- p→q의 ~q→~p. 원명제와 참거짓이 항상 같음.
- 필요충분조건
- p→q와 q→p가 모두 참. p⟺q.
내 말로 설명하기
명제를 증명할 때 왜 대우를 써도 되는지 설명해 봐요.
예시 — 명제 p→q와 그 대우 ~q→~p는 논리적으로 동치(참거짓이 항상 일치)예요. 그래서 p→q를 직접 보이기 어려울 때 ~q에서 출발해 ~p를 이끌어 내면, 원명제를 증명한 것과 똑같아요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.