경우의 수는 두 가지 원리에서 출발해요.
동시에 일어나지 않으면 두 수를 더해요(합의 법칙).
버스 2노선 또는 지하철 3노선이면 총 5가지예요.
왜 경우의 수를 배울까?
경우의 수는 확률과 통계의 바탕이에요.
게임 확률이나 보안 비밀번호도 여기서 시작해요.
순서가 있으면 순열, 없으면 조합으로 풀려요.
🔎 「경우의 수」가 무슨 말이죠?
어떤 일이 일어날 수 있는 모든 가짓수를 말해요.
동전을 던지면 앞면과 뒷면의 2가지 경우가 나와요.
주사위를 던지면 1부터 6까지 6가지 경우가 생겨요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 합의 법칙·곱의 법칙으로 경우의 수를 구한다. ② 순열 ₙPᵣ = n!/(n−r)!을 계산한다. ③ 조합 ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)을 계산한다. ④ 이웃하거나 특정 조건이 있는 경우의 수를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 주사위 1개·동전 1개를 동시에 던지면 경우는?
② 1, 2, 3을 늘어놓는 방법은 몇 가지?
① 6×2=12가지(곱의 법칙) · ② 3×2×1=6가지. 경우의 수의 두 원리가 다 들어 있어요.
합의 법칙과 곱의 법칙 — 경우의 수 두 원리
🔎 「합의 법칙」이 무슨 말이죠?
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 써요.
A 또는 B 중 하나를 선택하는 경우의 수는 둘을 더해요.
기호로는 m + n가지로 나타냅니다.
사건이 잇달아 일어날 때는 두 수를 곱해요(곱의 법칙).
셔츠 3벌과 바지 4벌을 짝지어 입으면 총 12가지예요.
기억해요 — 또는(한쪽만 선택) → 더하기(+), 그리고(차례로 연결) → 곱하기(×)🔎 「곱의 법칙」은 왜 곱하나요?
첫 번째 선택지마다 다음 선택이 나뭇가지처럼 뻗어나가요.
셔츠 3벌 각각에 바지 4벌씩 짝지을 수 있어요.
그래서 4개씩 3묶음이 생겨 3 × 4 = 12가지가 돼요.
🔎 두 사건이 겹칠 때는 어떻게 더할까요?
두 사건이 동시에 일어나는 경우가 있다면 그냥 더하면 안 돼요.
겹친 부분이 두 번 세어지기 때문이에요.
주사위에서 2의 배수(3개) 또는 3의 배수(2개)를 셀 때, 눈금 6은 겹치므로 한 번 빼주어야 해요(3 + 2 − 1 = 4가지).
왜 '또는'은 더하고 '그리고'는 곱할까?
'또는'은 두 갈래 길 중 한쪽만 골라 한 번 가는 것이므로 선택지를 합쳐 세요(m + n). 반면 '그리고'는 첫 단계의 m가지 각각마다 다음 단계의 가지가 n개씩 뻗어 나가므로 n개짜리 묶음이 m개 생겨 곱셈(m × n)이 됩니다.합의 법칙 적용 조건 놓치기
합의 법칙은 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때만 바로 더할 수 있어요. 동시에 일어나는 경우가 있으면 두 경우의 수를 더한 뒤 겹치는 경우의 수를 한 번 빼 주어야 해요.순열 — 순서가 있는 선택
순서를 생각하며 나열하는 수를 순열이라 해요.
n개에서 r개를 택해 나열하며, ₙPᵣ로 써요.
🔎 「순열」이 무슨 말이죠?
순서대로 줄을 세운다는 뜻의 한자말이에요(순서 순, 벌일 열).
대표 2명을 뽑을 때는 순서가 상관없지만,
반장 1명과 부반장 1명을 뽑을 때는 순서가 중요해요.
첫 자리에 n가지, 다음 자리에 (n−1)가지를 놓아요.
하나씩 줄여가며 r개의 숫자를 곱해요.
5명 중 반장·부반장은 ₅P₂ = 5 × 4 = 20가지예요.
기억해요 — 순열 = 순서 있음. n개에서 하나씩 줄여가며 r번 곱해요🔎 「계승(팩토리얼, !)」이 무슨 말이죠?
1부터 n까지의 자연수를 차례로 모두 곱한 값이에요.
기호로는 느낌표를 붙여 n!로 나타내요.
예를 들어 3! = 3 × 2 × 1 = 6이에요.
🔎 팩토리얼 공식과 왜 0! = 1 인가요?
₅P₂ = 5 × 4는 전체 5!에서 3!을 나눈 것과 같아요.
일반적으로 ₙPᵣ = n!/(n−r)! 공식이 돼요.
이 공식에 r = n을 넣으면 분모가 0!이 되므로, 모순이 없도록 0! = 1, ₙP₀ = 1로 약속해요.
기억 그림 · 3명 중 2명 순열 = 6가지
순열은 선택할 때마다 남은 수가 하나씩 줄어요. n, n−1, n−2, …를 r번 곱해요.
📺📺 영상으로 보기3명 중 2명 순서 선택▶
📺 움직이는 개념 — 3명 중 2명 순서 선택
트리가 가지치기되며 모든 경우가 나타나요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
조합 — 순서 없는 선택
순서 상관없이 고르기만 하는 수를 조합이라 해요.
n개 중 r개를 택하며 ₙCᵣ로 써요.
🔎 「조합」이 무슨 말이죠?
순서와 상관없이 팀을 짜거나 모으는 것을 뜻해요.
영어로 Combination(콤비네이션)이라 앞 글자 C를 써요.
누가 먼저 뽑혔는지는 따지지 않고 모임 결과만 봐요.
뽑힌 r명이 줄 서는 r!가지는 똑같은 1가지 모임이에요.
그래서 순열 ₙPᵣ을 r!로 나누어 구해요.
5명 중 대표 2명은 ₅C₂ = 10가지예요.
기억해요 — 조합 = 순열 ÷ r! (줄 세운 순서를 하나로 묶어 없애기)🔎 왜 조합은 r! 로 나누나요?
가, 나, 다 3명 중 대표 2명을 뽑을 때를 볼까요?
(가, 나)와 (나, 가)는 순열에서는 서로 다른 2가지예요.
하지만 대표 선발에서는 똑같은 {가, 나} 1팀이에요.
자리 바꾸는 2! = 2가지씩 묶어 나누므로 ₃P₂ / 2! = 3가지가 돼요.
🔎 조합의 대칭 성질은 왜 성립하나요?
10명 중 청소할 8명을 뽑는 경우(₁₀C₈)를 생각해 봐요.
이것은 청소 안 하고 집에 갈 2명을 뽑는 것(₁₀C₂)과 똑같아요.
그래서 항상 ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ이 성립해요.
①핵심 차이
순열: "반장·부반장"처럼 역할이 다름. 조합: "대표 2명"처럼 자격이 같음. 순서가 있는지 먼저 확인해요.
②조합 공식
ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!). n=r이면 1, r=0이면 1. ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ 대칭 성질!
③이웃하는 순열
이웃해야 하는 것들을 한 묶음(1개)으로 보고 먼저 줄 세운 뒤, 묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수를 곱해요.
④이웃하지 않는 순열
이웃해도 되는 것을 먼저 줄 세운 뒤, 그 사이사이와 양 끝 빈자리에 이웃하면 안 되는 것을 끼워 넣어요.
🔎 이웃하는 순열은 왜 한 묶음으로 묶나요?
A와 B가 꼭 붙어 있어야 한다면 둘을 큰 보자기 하나로 묶어요.
그러면 둘이 절대로 떨어지지 않고 하나의 사람처럼 움직여요.
먼저 줄을 세운 뒤 묶음 속에서 A, B가 자리 바꾸는 2!을 곱해줘요.
🔎 이웃하지 않아야 할 때는 왜 끼워 넣나요?
이웃하면 안 되는 대상을 처음부터 세우려면 빈틈을 세기 힘들어요.
아무 조건 없는 다른 사람들을 먼저 편안하게 줄 세워요.
그 사이사이와 양 끝 빈자리에 한 명씩 쏙쏙 넣으면 절대 이웃하지 않아요.
🔎 「여사건」은 언제 쓰면 좋은가요?
문제에 '적어도 하나는 ~'이라는 말이 나올 때 아주 강력해요.
하나하나 모든 경우를 다 구해서 더하려면 너무 복잡해요.
대신 전체 경우의 수에서 완전히 반대인 사건을 빼면 한 줄로 풀려요.
조합의 활용 — 반대 경우(여사건) 빼기
‘적어도 한 명’처럼 경우를 일일이 나누기 복잡할 때는 전체 경우의 수 − 반대 사건(여사건, 조건이 전혀 일어나지 않는 사건)으로 구하면 편해요. 예를 들어 "A, B 둘 다 함께 포함되지는 않는 경우(적어도 한 명은 제외)"는 전체 경우에서 (A, B가 모두 포함되는 경우)를 빼면 바로 구해져요.파스칼의 삼각형
ₙCᵣ + ₙCᵣ₊₁ = ₙ₊₁Cᵣ₊₁. 위 두 항을 더하면 아래 항이 나와요. 파스칼의 삼각형이 바로 조합 수의 표예요.실생활 속 경우의 수 — 알고리즘과 현실의 조합론
경우의 수는 단순한 주사위 던지기가 아니에요.
스마트폰 비밀번호와 최단 경로에도 쓰여요.
식당 코스 메뉴와 스포츠 선수 선발에도 쓰입니다.
곱의 법칙과 정보 보안: 매 자리마다 0부터 9까지 10가지 선택지가 연속으로 이어지므로 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10,000가지입니다. 컴퓨터는 1초에 수십만 번을 대입할 수 있으므로 4자리 핀 번호는 순식간에 뚫립니다. 자릿수를 늘리거나 문자 종류를 섞으면 곱의 법칙에 의해 경우의 수가 폭발적으로 늘어나 안전한 보안이 완성됩니다.
수형도(Tree Diagram)와 곱의 법칙: 사건이 연달아 일어날 때 각 단계마다 뻗어 나가는 나뭇가지의 수를 곱하는 것이 곱의 법칙의 본질입니다. 3 × 4 × 2 = 24가지 코스는 매 단계의 선택이 다음 단계의 선택지 수에 영향을 주지 않으므로 곱셈 하나로 명쾌하게 정리됩니다.
계승(Factorial, !)의 폭발적 증가: 순서가 있는 일렬 나열은 한 명씩 뽑힐 때마다 선택할 수 있는 후보가 1명씩 줄어듭니다. 9명의 선수를 배치하는 것만으로 경우의 수는 9! = 362,880가지에 달하며, 10명이면 362만 가지로 10배 폭증합니다. 이처럼 계승 연산은 경우의 수가 급격히 불어나는 수학적 원리를 보여줍니다.
칸막이 모델(조합의 응용): 똑같은 사탕을 나눌 때는 칸막이 자리를 골라요. 전체 12자리 중 칸막이 2자리를 고르는 조합 ₁₂C₂ = 66가지예요.
🔎 칸막이 모델이 왜 조합인가요?
사탕 10개와 칸막이 2개를 합치면 총 12개의 자리가 생겨요.
12개의 자리 중에서 칸막이가 들어갈 2자리만 쏙 고르면 돼요.
칸막이끼리는 구별이 없으므로 조합 ₁₂C₂로 바로 계산돼요.
원탁 배열의 원리: 원탁을 돌렸을 때 겹치는 똑같은 배치가 4개씩 있어요. 따라서 4!/4 = 3! = 6가지가 돼요.
🔎 원탁에 둘러앉을 때는 왜 1을 빼나요?
원탁은 빙글빙글 돌리면 자리가 겹쳐서 첫 자리가 어디든 똑같아요.
그래서 기준이 되는 1명을 먼저 자리에 딱 고정해 두어요.
그러면 남은 (n−1)명만 순서대로 앉히면 되므로 (n−1)!이 돼요.
최단 경로와 조합: 총 7번의 이동 중 위쪽(↑)으로 갈 3번의 자리를 골라요. 나머지 자리는 자동으로 오른쪽(→)이 되므로 조합 ₇C₃ = 35가지예요.
🔎 길찾기 최단 경로는 왜 조합으로 푸나요?
가로 4번과 세로 3번, 총 7번을 이동해야 도착해요.
7번의 이동 순서 중에서 위쪽으로 갈 3자리만 정하면 끝나요.
남은 자리는 무조건 오른쪽이 되므로 조합 ₇C₃과 완전히 같아요.
로또 6/45와 조합의 위력: 1부터 45까지 서로 다른 45개의 숫자 중 순서에 상관없이 6개를 뽑는 모든 방법의 수는 ₄₅C₆ = 8,145,060가지입니다. 매주 1게임을 살 때 1등에 당첨될 확률은 약 814만 분의 1로, 벼락을 맞아 다칠 확률보다도 훨씬 낮습니다. 순서가 없으므로 순열 ₄₅P₆(약 58.6억)을 6!(720)으로 나누어 경우의 수를 대폭 압축하는 조합의 본질을 보여줍니다.
틀리기 쉬운 함정 베스트 5 — 경우의 수 오답 탈출
합의 법칙에서 겹치는 사건 빼먹기
예: "1부터 20까지 자연수 중 2의 배수 또는 3의 배수의 개수"
- 2의 배수: 10개, 3의 배수: 6개.
- 자주 하는 오답: 10 + 6 = 16개 (틀림!)
- 바른 풀이: 6의 배수(공배수, 2와 3의 공통)가 중복 계산되었으므로 20 이하 6의 배수(6, 12, 18) 3개를 빼야 합니다: 10 + 6 − 3 = 13개!
순열과 조합 구별: 순서가 결과에 영향을 주는가?
가장 본질적인 질문을 던지세요: "뽑힌 대상의 순서를 바꾸면 다른 사건인가, 같은 사건인가?"
- 5명 중 이어달리기 1번 주자, 2번 주자를 뽑을 때: 순서가 바뀌면 완전히 다른 배치이므로 순열 ₅P₂ = 20.
- 5명 중 청소 당번 2명을 뽑을 때: A와 B를 뽑으나 B와 A를 뽑으나 똑같은 청소 당번이므로 조합 ₅C₂ = 10.
이웃하는 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우 놓치기
A, B를 포함한 5명이 한 줄로 설 때 A, B가 이웃하는 경우:
- A, B를 한 묶음(1명)으로 보고 전체 4명을 줄 세우는 4! = 24가지만 구하고 끝내면 오답입니다!
- 묶음 안에서 (A, B)와 (B, A)로 자리를 바꾸는 2! = 2가지를 반드시 곱해 4! × 2! = 48가지로 구해야 합니다. (참고: 원탁에 앉힐 때도 기준 1명을 고정하면 대칭성이 깨지므로 남은 사람은 일반 직선 순열로 세워야 합니다.)
'적어도' 문제에서 전체 경우의 수와 여사건 잘못 정의하기
"적어도 남학생 1명이 포함되도록 3명 선발" 문제의 경우:
- 바른 여사건: "남학생이 0명, 즉 3명 모두 여학생으로만 선발"
- 올바른 식: (전체에서 3명 뽑는 경우) − (여학생 중에서만 3명 뽑는 경우)
- 자주 하는 오답: 남학생 1명을 먼저 뽑아 두고 남은 사람들 중에서 2명을 뽑는 방식은 동일한 조합이 중복 카운트되어 실제보다 훨씬 큰 수가 나옵니다.
조합으로 모둠(조)을 나눌 때 인원수가 같은 조의 중복 누락
6명을 2명, 2명, 2명의 3개 모둠(조)으로 나눌 때:
- ₆C₂ × ₄C₂ × ₂C₂ = 15 × 6 × 1 = 90 (틀림!)
- 왜 틀릴까요? 세 조의 인원수가 2명으로 모두 같기 때문에, 조에 이름이 없는 한 세 조가 뽑히는 순서가 뒤바뀌는 3! = 6가지가 모두 똑같은 1가지 모둠 구성이 됩니다.
- 바른 계산: ₆C₂ × ₄C₂ × ₂C₂ / 3! = 90/6 = 15가지!
스스로 확인 — 개념 굳히기 8문답
문제를 읽고 머릿속으로 답을 떠올린 뒤 [답 확인]을 눌러 점검해 보세요.
Q1. 0! (0 팩토리얼)의 정의된 값은 얼마인가요?
Q2. 서로 다른 7권의 책 중 3권을 책꽂이에 나란히 꽂는 경우의 수는?
Q3. 10명 중에서 대표 3명을 선발하는 조합 ₁₀C₃의 계산 결과는?
Q4. 조합의 대칭 성질 ₁₀C₇은 ₁₀Cᵣ에서 r이 몇일 때와 같으며, 그 값은 얼마인가요?
Q5. A, B를 포함한 5명의 학생이 한 줄로 설 때, A와 B가 서로 이웃하여 서는 방법의 수는?
Q6. 6명의 학생 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수와 대표 2명을 뽑는 경우의 수는 각각 얼마인가요?
Q7. 동전 3개를 동시에 던질 때, '적어도 하나는 앞면'이 나오는 경우의 수는?
Q8. 남학생 4명, 여학생 3명 중에서 남학생 2명과 여학생 2명을 뽑아 4명의 대표단을 구성하는 경우의 수는?
A1. 1입니다 (순열 공식 ₙPₙ = n!/(n−n)! = n!/0! = n!이 모순 없이 성립하기 위해 0! = 1로 약속합니다).
A2. 순열 ₇P₃ = 7 × 6 × 5 = 210가지.
A3. ₁₀C₃ = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120가지.
A4. ₁₀C₁₀₋₇ = ₁₀C₃ = 120 (10명 중 남을 3명을 고르는 것과 같습니다).
A5. A, B를 한 묶음으로 보면 4명을 줄 세우는 4! = 24가지에 묶음 안에서 A, B가 자리를 바꾸는 2! = 2가지를 곱해 24 × 2 = 48가지.
A6. 회장·부회장(순서 있음): ₆P₂ = 6 × 5 = 30가지 / 대표 2명(순서 없음): ₆C₂ = (6 × 5) / (2 × 1) = 15가지.
A7. 전체 경우의 수 2³ = 8에서 모두 뒷면인 1가지를 뺀 8 − 1 = 7가지.
A8. 남학생 4명 중 2명을 뽑는 ₄C₂ = 6가지와 여학생 3명 중 2명을 뽑는 ₃C₂ = 3가지를 곱해 6 × 3 = 18가지.
A2. 순열 ₇P₃ = 7 × 6 × 5 = 210가지.
A3. ₁₀C₃ = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120가지.
A4. ₁₀C₁₀₋₇ = ₁₀C₃ = 120 (10명 중 남을 3명을 고르는 것과 같습니다).
A5. A, B를 한 묶음으로 보면 4명을 줄 세우는 4! = 24가지에 묶음 안에서 A, B가 자리를 바꾸는 2! = 2가지를 곱해 24 × 2 = 48가지.
A6. 회장·부회장(순서 있음): ₆P₂ = 6 × 5 = 30가지 / 대표 2명(순서 없음): ₆C₂ = (6 × 5) / (2 × 1) = 15가지.
A7. 전체 경우의 수 2³ = 8에서 모두 뒷면인 1가지를 뺀 8 − 1 = 7가지.
A8. 남학생 4명 중 2명을 뽑는 ₄C₂ = 6가지와 여학생 3명 중 2명을 뽑는 ₃C₂ = 3가지를 곱해 6 × 3 = 18가지.
스스로 풀어요 (3단계)
합의·곱의 법칙·기본 순열·조합부터. 경우를 직접 나열해 확인해 봐요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 순열인지 조합인지 헷갈리면 "순서가 의미 있는가?"를 먼저 물어봐요. ‘더 간결하게’: 어려운 경우는 전체 − 여사건, 이 방향이 훨씬 빠를 때가 많아요.
객관식 진단 퀴즈 — 경우의수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 순열 ₙPᵣ
전체 n 5 명
뽑을 r 2 명
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1합의 법칙: A 또는 B → m+n. 곱의 법칙: A 그리고 B → m×n.
- 2순열 ₙPᵣ = n!/(n−r)! — 순서 있는 선택.
- 3조합 ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!) — 순서 없는 선택. ₙCᵣ=ₙPᵣ÷r!.
- 4이웃 조건: 한 묶음으로 보고 배열한 뒤 묶음 속 자리바꿈을 곱함. 적어도 조건: 전체 − 반대 사건(여사건).
이 단원의 말·기호
- 합의 법칙
- 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 경우의 수 = 합.
- 곱의 법칙
- 두 사건이 차례로 일어날 때 경우의 수 = 곱.
- 계승(n!)
- 1부터 n까지의 자연수를 차례로 곱한 값. 0! = 1로 약속함.
- 순열
- 순서를 고려해 선택. ₙPᵣ=n!/(n−r)!.
- 조합
- 순서 무관 선택. ₙCᵣ=n!/(r!(n−r)!).
- 여사건
- 어떤 사건이 일어나지 않는 반대 사건. ‘적어도 ~’ 문제는 전체 경우에서 여사건을 빼서 구함.
내 말로 설명하기
순열과 조합의 차이를 친구에게 설명해 봐요.
예시 — “대표 2명이면 조합(누가 뽑혔는지만 중요). 반장·부반장이면 순열(같은 2명이어도 역할 순서가 다르면 다른 경우). 그래서 ₅C₂는 ₅P₂를 2!로 나눈 거야.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.